Warum ein komplexes Skalarfeld und sein komplexes Konjugat als zwei verschiedene Felder behandeln?

Question

Warum ein komplexes Skalarfeld und sein komplexes Konjugat als zwei verschiedene Felder behandeln?

Physik
Feldtheorie
Komplexe-zahlen
Quantenfeldtheorie
Variationsrechnung
Lagrange-formalismus

BMS

Ich bin neu in QFT, daher kann es sein, dass einige Begriffe falsch sind.

Viele QFT-Bücher bieten ein Beispiel für die Ableitung von Bewegungsgleichungen für verschiedene freie Theorien. Ein Beispiel ist für ein komplexes Skalarfeld:

{L.}_{kompl scaclar} = (\partial_{μ} ϕ^{*}) (\partial^{μ} ϕ) - - m^{2} ϕ^{*} ϕ .

Der übliche "Trick", um die Bewegungsgleichungen zu erhalten, ist die Behandlung

ϕ

ϕ

ϕ

und

ϕ^{*}

ϕ^{*}

ϕ^{*}

ϕ^{*}

ϕ^{*}

als separate Felder. Auch nach diesem Trick behandeln die Autoren sie als separate Felder in ihrer Terminologie. Dies geschieht manchmal, bevor den Kommutierungsbeziehungen eine zweite Quantisierung auferlegt wird, so dass

ϕ

ϕ

ϕ

ist (noch) kein Feld von Operatoren. (Insbesondere folge ich der Formulierung von QFT in diesem Buch von Robert D. Klauber, "Student Friendly Quantum Field Theory". )

Was ist die Motivation für diese Methode, die beiden Felder als getrennt zu behandeln? Ich möchte intuitiv behandeln $ϕ^{*}$ $ϕ^{*}$ $ϕ^{*}$ $ϕ^{*}$ $ϕ^{*}$ als einfach das komplexe Konjugat von $ϕ,$ $ϕ,$ $ϕ,$ nicht als separates Feld und arbeiten ausschließlich mit $ϕ$ $ϕ$ $ϕ$ .

Ist es einfach eine Abkürzung, um die Bewegungsgleichungen zu erhalten?

(◻ + m^{2}) ϕ = 0 (◻ + m^{2}) ϕ^{*} = 0 ?

Ich verstehe auch, dass man schreiben könnte $ϕ = ϕ_{1} + i ϕ_{2}$ $ϕ = ϕ_{1} + i ϕ_{2}$ $ϕ = ϕ_{1} + i ϕ_{2}$ $ϕ = ϕ_{1} + i ϕ_{2}$ $ϕ = ϕ_{1} + i ϕ_{2}$ $ϕ = ϕ_{1} + i ϕ_{2}$ $ϕ = ϕ_{1} + i ϕ_{2}$ $ϕ = ϕ_{1} + i ϕ_{2}$ $ϕ = ϕ_{1} + ich ϕ_{2}$ wo die zwei tiefgestellten Felder real sind, wie hier gemacht wird ; Vielleicht spricht dies meine Frage auf eine Weise an, die ich nicht verstehe.

auxsvr

Sie sind separate Felder. Sie sind linear unabhängig, der Vektorraum, den sie bilden, hat die Dimension 2.

Antworten (3)

Warum ein komplexes Skalarfeld und sein komplexes Konjugat als zwei verschiedene Felder behandeln?

Sie sind separate Felder. Sie sind linear unabhängig, der Vektorraum, den sie bilden, hat die Dimension 2.

Qmechanic · Answer 1

TL; DR: Ja, es ist nur eine Abkürzung. Der Hauptpunkt ist, dass die komplexierte Karte

\begin{matrix} (EIN) & (\begin{matrix} ϕ \\ ϕ^{*} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & ich \\ 1 & - - ich \end{matrix}) (\begin{matrix} ϕ_{1} \\ ϕ_{2} \end{matrix}) \end{matrix}

ist eine bijektive Karte: $C^{2} \to C^{2}$ $C^{2} \to C^{2}$ $C^{2} \to C^{2}$ $C^{2} \to C^{2}$ $C^{2} \to C^{2}$ $C^{2} \to C^{2}$ $C^{2} \to C^{2}$ $C^{2} \to C^{2}$ ${C.}^{2} \to {C.}^{2}$ .

Notation in dieser Antwort: In dieser Antwort lassen Sie $ϕ, ϕ^{*} \in C$ $ϕ, ϕ^{*} \in C$ $ϕ, ϕ^{*} \in C$ $ϕ, ϕ^{*} \in C$ $ϕ, ϕ^{*} \in C$ $ϕ, ϕ^{*} \in C$ $ϕ, ϕ^{*} \in C.$ bezeichnen zwei unabhängige komplexe Felder. Lassen $\bar{ϕ}$ $\bar{ϕ}$ $\bar{ϕ}$ $\bar{ϕ}$ $\bar{ϕ}$ $\bar{ϕ}$ $\bar{ϕ}$ $\bar{ϕ}$ $\bar{ϕ}$ bezeichnen das komplexe Konjugat von $ϕ$ $ϕ$ $ϕ$ .

I) Beginnen wir mit dem Anfang. Stellen Sie sich vor, wir betrachten eine Feldtheorie eines komplexen Skalarfeldes $ϕ$ $ϕ$ $ϕ$ . Wir erhalten eine Lagrange-Dichte

\begin{matrix} (B) & L. = L. (ϕ, \bar{ϕ}, \partial ϕ, \partial \bar{ϕ}) \end{matrix}

das ist ein Polynom in $ϕ$ $ϕ$ $ϕ$ , $\bar{ϕ}$ $\bar{ϕ}$ $\bar{ϕ}$ $\bar{ϕ}$ $\bar{ϕ}$ $\bar{ϕ}$ $\bar{ϕ}$ $\bar{ϕ}$ $\bar{ϕ}$ und Raumzeitableitungen davon. Wir können ein komplexes Feld immer in Real- und Imaginärteile zerlegen

\begin{matrix} (C) & ϕ \equiv ϕ_{1} + ich ϕ_{2}, \end{matrix}

wo $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R.$ . Daher können wir die Lagrange-Dichte (B) als Theorie zweier realer Felder umschreiben

\begin{matrix} (D) & L. = L. (ϕ_{1}, ϕ_{2}, \partial ϕ_{1}, \partial ϕ_{2}) . \end{matrix}

II) Wir können auf mindestens drei Arten fortfahren:

Variieren Sie die Aktion wrt. die zwei unabhängigen reellen Variablen $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R.$ .
Ursprünglich $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R.$ sind natürlich zwei reale Felder. Aber wir können sie komplexieren, die Aktion variieren. die zwei unabhängigen komplexen Variablen $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in C$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in C$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in C$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in C$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in C$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in C$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in C$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in C$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in C$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in C$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in C.$ , wenn wir am Ende der Berechnung die beiden realen Bedingungen auferlegen
$\begin{matrix} (E) & ich m (ϕ_{1}) = 0 = ich m (ϕ_{2}) . \end{matrix}$
Oder gleichwertig können wir das komplexe konjugierte Feld ersetzen $\bar{ϕ} \to ϕ^{*}$ $\bar{ϕ} \to ϕ^{*}$ $\bar{ϕ} \to ϕ^{*}$ $\bar{ϕ} \to ϕ^{*}$ $\bar{ϕ} \to ϕ^{*}$ $\bar{ϕ} \to ϕ^{*}$ $\bar{ϕ} \to ϕ^{*}$ $\bar{ϕ} \to ϕ^{*}$ $\bar{ϕ} \to ϕ^{*}$ $\bar{ϕ} \to ϕ^{*}$ $\bar{ϕ} \to ϕ^{*}$ $\bar{ϕ} \to ϕ^{*}$ $\bar{ϕ} \to ϕ^{*}$ in der Lagrange-Dichte (B) mit einer unabhängigen neuen komplexen Variablen $ϕ^{*}$ $ϕ^{*}$ $ϕ^{*}$ $ϕ^{*}$ $ϕ^{*}$ dh behandeln $ϕ$ $ϕ$ $ϕ$ und $ϕ^{*}$ $ϕ^{*}$ $ϕ^{*}$ $ϕ^{*}$ $ϕ^{*}$ Variieren Sie als zwei unabhängige komplexe Variablen die Aktion wrt. die zwei unabhängigen komplexen Variablen $ϕ, ϕ^{*} \in C$ $ϕ, ϕ^{*} \in C$ $ϕ, ϕ^{*} \in C$ $ϕ, ϕ^{*} \in C$ $ϕ, ϕ^{*} \in C$ $ϕ, ϕ^{*} \in C$ $ϕ, ϕ^{*} \in C.$ , wenn wir am Ende der Berechnung die komplexe Bedingung auferlegen
$\begin{matrix} (F) & ϕ^{*} = \bar{ϕ} . \end{matrix}$

III) Die Euler-Lagrange-Gleichungen, die wir über die beiden Methoden (1) und (2) ableiten, sind offensichtlich genau gleich. Die Euler-Lagrange-Gleichungen, die wir über die beiden Methoden (2) und (3) ableiten, sind nur lineare Kombinationen voneinander mit Koeffizienten, die durch die konstante Matrix aus Gl. (EIN).

IV) Der Vollständigkeit halber erwähnen wir, dass die komplexierte Theorie [dh die Theorie, die wir erhalten würden, wenn wir Bedingung (E) oder äquivalent Bedingung (F) nicht auferlegen] typischerweise nicht einheitlich ist und daher als QFT schlecht definiert ist. Erinnern Sie sich zunächst daran, dass wir normalerweise verlangen, dass die Lagrange-Dichte real ist.

Verweise:

Sidney Coleman, QFT-Notizen ; p. 56-57.

Nikos M. · Answer 2

Natürlich ist die Antwort von @ QMechanic richtig.

Ich möchte einen sehr einfachen Grund zeigen, warum dies so ist (und auch auf mögliche Verallgemeinerungen hinweisen).

Zuallererst jede komplexe Zahl $z = a + b i$ $z = a + b i$ $z = a + b i$ $z = a + b i$ $z = ein + b ich$ ist zweidimensional und jeder Teil (der Realteil $a$ $a$ $ein$ oder der Imaginärteil $b i$ $b i$ $b ich$ ) können völlig unabhängig voneinander sein. Infolgedessen kann eine komplexe Zahl in komprimierter Form 2 Zahlen darstellen . Darüber hinaus bedeutet dies auch, dass eine komplexe Zahl, die für jede der Dimensionen vollständig bestimmt werden soll, ebenfalls bestimmt werden muss .

Auf der anderen Seite aus jeder komplexen Zahl $z = a + b i$ $z = a + b i$ $z = a + b i$ $z = a + b i$ $z = ein + b ich$ (zusammen mit seinem komplexen Konjugat $\bar{z} = a - b i$ $\bar{z} = a - b i$ $\bar{z} = a - b i$ $\bar{z} = a - b i$ $\bar{z} = a - b i$ $\bar{z} = a - b i$ $\bar{z} = ein - - b ich$ ) kann man 2 reelle Zahlen berechnen ( $a$ $a$ $ein$ , $b$ $b$ $b$ ) wie:

ein = (z + \bar{z}) /. 2

b = (z - - \bar{z}) /. 2 ich

Schon seit $a$ $a$ $ein$ und $b$ $b$ $b$ kann völlig unabhängig voneinander sein, so kann $z$ $z$ $z$ und $\bar{z}$ $\bar{z}$ $\bar{z}$ $\bar{z}$ $\bar{z}$ .

Es gibt eine vollständige Symmetrie der Darstellung (wenn ein solcher Begriff verwendet werden kann).

Dies bedeutet, dass in QFT (zum Beispiel) anstatt Variationen an der $a$ $a$ $ein$ , $b$ $b$ $b$ In realen Feldern kann man äquivalent (aus dem gleichen Grund) Variationen des $z$ $z$ $z$ , $\bar{z}$ $\bar{z}$ $\bar{z}$ $\bar{z}$ $\bar{z}$ komplexe Felder und so weiter.

AKTUALISIEREN:

Um ein bisschen mehr in die abstrakte Mathematik einzusteigen.

Komplexe Konjugation ist (der natürliche) Automorphismus des Feldes komplexer Zahlen . Weiterhin das komplexe Konjugat einer komplexen Zahl $z$ $z$ $z$ kann aus keiner analytischen Funktion von abgeleitet werden $z$ $z$ $z$ (grob bedeutet rationale Funktionen von $z$ $z$ $z$ und Potenzreihen). Dies macht den Komplex weiter konjugiert $\bar{z}$ $\bar{z}$ $\bar{z}$ $\bar{z}$ $\bar{z}$ natürlicher Kandidat für die Behandlung als separates Feld.

Quiz: Wie viele Komponenten werden benötigt, um die Geschwindigkeit zu berechnen? $v = d x / d t$ $v = d x / d t$ $v = d x / d t$ $v = d x / d t$ $v = d x / d t$ $v = d x / d t$ $v = d x /. d t$ eines Objekts mit Position $x$ $x$ $x$ und können diese als unabhängig angesehen werden? Oder mit anderen Worten, die Position zu kennen $x$ $x$ $x$ (zu einer bestimmten Zeit $t$ $t$ $t$ ), können wir auch Geschwindigkeit kennen $v$ $v$ $v$ (zur gleichen Zeit) ??

Danke Nikos, ich mag diese Perspektive. Als Folgefrage: Eine allgemeine komplexe Differentialgleichung wie die Schrödinger-Gleichung reicht aus, um die evolutionären Eigenschaften eines Systems zu definieren. Was unterscheidet die KG-Gleichung? Warum werden hier zwei Gleichungen benötigt, während für die Schrödinger-Gleichung nur eine benötigt wird?
@BMS, ein kleines Lehrbuch über relativistische QFT, das ich hatte, sagt, sie reproduzieren einfach verschiedene Energie-Impuls-Beziehungen. Die Schrödinger-Gleichung gibt die nicht-relativistische Beziehung wieder $E = p^{2} / 2 m + V$ $E = p^{2} / 2 m + V$ $E = p^{2} / 2 m + V$ $E = p^{2} / 2 m + V$ $E = p^{2} / 2 m + V$ $E = p^{2} / 2 m + V$ $E = p^{2} / 2 m + V$ $E = p^{2} / 2 m + V$ $E. = p^{2} /. 2 m + V.$ während Klein-Gordon das Relativistische reproduziert $E^{2} = p^{2} + (m c^{2})^{2}$ $E^{2} = p^{2} + (m c^{2})^{2}$ $E^{2} = p^{2} + (m c^{2})^{2}$ $E^{2} = p^{2} + (m c^{2})^{2}$ $E^{2} = p^{2} + (m c^{2})^{2}$ $E^{2} = p^{2} + (m c^{2})^{2}$ $E^{2} = p^{2} + (m c^{2})^{2}$ $E^{2} = p^{2} + (m c^{2})^{2}$ $E^{2} = p^{2} + (m c^{2})^{2}$ $E^{2} = p^{2} + (m c^{2})^{2}$ $E^{2} = p^{2} + (m c^{2})^{2}$ $E^{2} = p^{2} + (m c^{2})^{2}$ $E^{2} = p^{2} + (m c^{2})^{2}$ $E^{2} = p^{2} + (m c^{2})^{2}$ $E^{2} = p^{2} + (m c^{2})^{2}$ $E^{2} = p^{2} + (m c^{2})^{2}$ ${E.}^{2} = p^{2} + (m c^{2})^{2}$ Diese Gleichung ist zweiter Ordnung, das heißt, sie kann Bosonen beschreiben (auf einfache Weise sind es die Bedingungen, unter denen die Gesamtenergie begrenzt ist), während die Dirac-Gleichung auch die relativistische em-Beziehung reproduziert, jedoch in erster Ordnung, die die Gesamtenergie begrenzt, für die sie geeignet ist Fermionen (Spin-Statistik-Theorem et al.)

Max K. · Answer 3

Ich möchte einen Kommentar abgeben, der die Dinge ein wenig verdeutlichen und vereinfachen kann.

In der komplexen Analyse [siehe z. B. "Einführung in die komplexe Analyse" von BV Shabat] per Definition Ableitungen über die komplexen Variablen $z$ $z$ $z$ und $\bar{z}$ $\bar{z}$ $\bar{z}$ $\bar{z}$ $\bar{z}$ sind gegeben durch:

def: \partial_{z} \equiv \frac{1}{2} (\partial_{ein} - - ich \partial_{b}) \partial_{\bar{z}} \equiv \frac{1}{2} (\partial_{ein} + ich \partial_{b}),

wo

a

a

ein

und

b

b

b

stehen für Real- und Imaginärteile von

z

z

z

entsprechend. Die Gleichheiten

\partial_{z} \bar{z} = 0 und \partial_{\bar{z}} z = 0

implizieren, dass die Variationen über z und

\bar{z}

\bar{z}

\bar{z}

\bar{z}

\bar{z}

sind unabhängig, während die Variablen

z

z

z

und

\bar{z}

\bar{z}

\bar{z}

\bar{z}

\bar{z}

(gegenseitig komplex konjugiert) sind nicht unabhängig. Es gibt keine Verdoppelung der Freiheitsgrade, aber man kann über das Feld variieren und es konjugiert betrachten, wenn man sie als unabhängig betrachtet.

Die Konjugate sind in dem Sinne unabhängig, dass es keine analytische Funktion gibt, die sie in Beziehung setzt. Um die zugrunde liegenden (möglicherweise unabhängigen) reellen Zahlen zu erhalten, braucht man außerdem beide $z$ $z$ $z$ und sein Konjugat. Dies macht sie (funktional) unabhängig. Eins kann nicht aus der anderen Analyse abgeleitet werden
@ Nikos M .: Was meinst du, wenn du sagst, dass man z und sein Konjugat braucht, wenn man die zugrunde liegenden reellen Zahlen erhalten will? Wenn ich eine komplexe Zahl bekomme, ist es dann nicht immer nur eine Überlagerung von "1" und "i"?

Warum ein komplexes Skalarfeld und sein komplexes Konjugat als zwei verschiedene Felder behandeln?

BMS

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Nikos M.

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Nikos M.

Max K.

Nikos M.

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