Pauli-Prinzip für sehr weit voneinander entfernte Teilchen

Hier ist eine lange Antwort, die zu einem mathematischen Maß für die Relevanz des Pauli-Prinzips führt. Der Quantenzustand eines Elektrons wird nicht nur durch seine Energie, seinen Drehimpuls (Größen, die zu guten oder ungefähren Quantenzahlen führen) bestimmt. Auch die Position ist Teil der Gleichung. Nun ist die Position in QM nicht nur ein einfacher Vektor wie in der klassischen Mechanik, sie wird durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung bestimmt. Eine solche Wahrscheinlichkeitsverteilung mag eine exotische Form haben, muss aber einige elementare Regeln für [physikalisch relevante] Wahrscheinlichkeitsverteilungen erfüllen:

1. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen in einem bestimmten Volumen befindet, ist dann durch das Integral der Wahrscheinlichkeitsverteilung über dieses Volumen gegeben. Beachten Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen an einer bestimmten Position befindet, null ist (einige mögen sagen, dass es unendlich klein ist ).

   Sie können sehen, dass dies wahr ist, wenn Sie den Betrag berücksichtigen$N$Die Anzahl der Positionen, an denen sich das Partikel befinden könnte, ist unendlich (wenn der Raum dicht ist, was wir annehmen), und Sie fragen sich, ob es sich darin befindet$1$besondere Stellung. Die Chance, dass das stimmt, ist$1/N = 1/\infty = 0$.

2. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Teilchen überhaupt irgendwo sind, muss sein$1$. Wir können mit hundertprozentiger Sicherheit sagen, dass das Teilchen irgendwo ist . Mathematisch ausgedrückt wird dies dadurch ausgedrückt, dass das Integral der Wahrscheinlichkeit über das gesamte Volumen sein muss$1$.

3. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung muss sich gut verhalten. Dies bedeutet normalerweise, dass es kontinuierlich sein muss (keine Sprünge haben darf) und für unendlich große Argumente verschwinden muss (dies ist eine Anforderung, die mit der vorherigen einhergeht, da eine nicht verschwindende Verteilung nicht integrierbar wäre$1$über den ganzen Raum).

Nun ist in QM die Wahrscheinlichkeitsverteilung durch den quadratischen Modul der Wellenfunktion gegeben,$|\psi(\vec{r},t)|^2$. Wenn$\psi(\vec{r},t)$eine exakte Wellenfunktion ist, enthält sie alle Informationen über die Teilchen, die sie beschreibt. Nehmen wir an, es ist exakt und beschreibt den Zustand des Elektrons numero uno. Nehmen wir außerdem an, dass das Elektron Numero Duo durch die exakte Wellenfunktion beschrieben wird$\phi(\vec{r},t)$.

Wir haben also sicherlich zwei Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die mit dieser Situation verbunden sind. Ein Wesen$|\psi(\vec{r},t)|^2$, das andere$|\phi(\vec{r},t)|^2$. Es gibt jedoch noch eine andere Wahrscheinlichkeit, mit der wir uns beschäftigen könnten: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Elektron Numero Duo in einem bestimmten Volumen befindet, wenn man die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Elektron Numero Uno berücksichtigt? Dies ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit, die wir als Integral über das Produkt beider Wellenfunktionen berechnen können, wobei die erste komplex konjugiert ist:

$$\langle\phi(\vec{r},t)|\psi(\vec{r},t)\rangle = \int_{V}{\phi^*(\vec{r},t)\psi(\vec{r},t) d\vec{r}}$$

Ich habe die herkömmliche Notation für diese Wahrscheinlichkeit auf der linken Seite der Gleichung verwendet. Die rechte Seite wird manchmal als Überlappungsintegral bezeichnet, weil der Integrand ein Maß dafür ist, wie stark sich beide Wellenfunktionen überlappen. Beachten Sie, dass es die normale Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes Teilchen wird, wenn wir das Überlappungsintegral einer Wellenfunktion mit sich selbst nehmen.

Das hilft unserer Intuition über das Pauli-Prinzip. Wenn das Überlappungsintegral ist$1$, müssen sich die Elektronen in mindestens einer Quantenzahl, zB ihrem Spin, unterscheiden. Wenn es in der Nähe ist$1$, sollte es höchst unwahrscheinlich sein, dass die Elektronen im gleichen Zustand gefunden werden. Je kleiner das Überlappungsintegral wird, desto weniger streng gilt das Pauli-Ausschlussprinzip. Das klingt seltsam, weil das Pauli-Prinzip in seiner bekannten Form [keine zwei identischen Fermionen dürfen gleichzeitig denselben Quantenzustand einnehmen] sehr streng und gesetzmäßig aussieht. Aber das ist das Problem mit der bekannten Form.

Nun haben wir angenommen, dass die Wellenfunktionen exakt sind. Dies wäre in Ordnung gewesen, wenn die Partikel keine Möglichkeit gehabt hätten, miteinander zu interagieren. Wie auch immer sie es tun. Also müssen wir diese Interaktion modellieren. Electron numero uno beeinflusst numero duo und umgekehrt (wenig echtes Englisch in diesem Satz). Also behandeln wir jetzt beide Elektronen als ein einziges System, das durch eine abstrakte Wellenfunktion zweier räumlicher Argumente beschrieben wird$\Psi(\vec{r}_1,\vec{r}_2,t)$.

Mal sehen, was passiert, wenn wir beide Elektronen vertauschen. Dies wird manchmal so dargestellt, als ob wir „sie dazu bringen, die Plätze zu tauschen“, was den Anschein erweckt, als würden wir zwei kleine Bälle tauschen. Das ist natürlich ein schlechtes Bild wegen der heiklen Natur von Positionen im QM, über die wir vorhin gesprochen haben. Eine bessere Art, darüber nachzudenken, ist, sich vorzustellen, wir hätten alle Quantenzahlen (eigentlich nur den gesamten Zustand mit Ausnahme der Wahrscheinlichkeitsverteilungen) beider Elektronen geändert. Also lass uns das tun. Wir bezeichnen diesen Schalter als Schalter der räumlichen Argumente, was das erste Bild vorschlägt, aber dies dient lediglich der einfacheren Schreibweise.

Die Operation des Vertauschens der Zustände ist eine Permutation, wir nennen den Operator, der diese Aufgabe ausführt$\hat{P}$. Die Wirkung dieses Operators ist klar. Wir lassen die Zeitabhängigkeit fallen, da sie hier belanglos ist:

$$\hat{P}\Psi(\vec{r}_1,\vec{r}_2) = \Psi(\vec{r}_2,\vec{r}_1).$$

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung$|\Psi(\vec{r}_2,\vec{r}_1)| = |\Psi(\vec{r}_1,\vec{r}_2)|$muss durch diese Operation unverändert bleiben, also muss dies das bedeuten

$$\Psi(\vec{r}_2,\vec{r}_1) = \text{e}^{i\delta}\Psi(\vec{r}_1,\vec{r}_2).$$

Darüber hinaus sollte das erneute Umschalten der Elektronen die Wellenfunktion in ihre ursprüngliche Form zurückbringen, was bedeutet, dass

$$\text{e}^{2i\delta} = 1$$

oder

$$\text{e}^{i\delta} = \pm 1.$$

Das bedeutet also, dass der Vorgang des "Umschaltens" der Elektronen entweder die Wellenfunktion unverändert lässt oder einen Vorzeichenwechsel bewirkt. Beachten Sie, dass sich nichts in der obigen Diskussion auf die Tatsache stützt, dass dies Elektronen sind, die wir beschreiben. Das gilt also für zwei allgemeine Teilchen. Nun ist die erste Option (kein Vorzeichenwechsel beim Umschalten) mit Bosonen assoziiert, die zweite mit Fermionen. Für unsere Elektronen tritt also ein Vorzeichenwechsel auf. Das ist die Antisymmetrie, die Oaoa bereits in seiner Antwort betont hat. Aus dieser Eigenschaft erhalten wir eine Form für die Wellenfunktion:

$$\Psi(\vec{r}_1,\vec{r}_2) = A\left[\psi(\vec{r}_1)\phi(\vec{r}_2)-\psi(\vec{r}_2)\phi(\vec{r}_1)\right]$$

Beachten Sie, dass diese Wellenfunktion verschwindet, wenn$\psi = \phi$, dh wenn die Zustände beider Elektronen gleich sind.

Mit dieser antisymmetrischen Wellenfunktion können wir nun herausfinden, welche Beziehung zwischen dem Pauli-Prinzip (oder der Antisymmetrie der Zwei-Elektronen-Wellenfunktion) und dem Abstand zwischen den Elektronen besteht. Berechnen wir dazu den durchschnittlichen quadratischen Abstand zwischen ihnen. Dies ist gegeben durch (nehmen wir zur Vereinfachung der Notation 1D an)

$$\langle\Psi(x_1,x_2)|(x_1-x_2)^2|\Psi(x_1,x_2)\rangle \equiv \langle(x_1-x_2)^2\rangle = \langle x_1^2\rangle + \langle x_2^2\rangle - 2 \langle x_1x_2\rangle$$

Die „ungemischten“ Erwartungswerte lassen sich recht einfach berechnen und sind natürlich gleich. Zusammen geben sie nach

$$\langle x_1^2\rangle + \langle x_2^2\rangle = \langle\psi|x^2|\psi\rangle + \langle\phi|x^2|\phi\rangle.$$

Es ergibt sich der „gemischte“ Erwartungswert

$$\langle x_1x_2\rangle = \langle\psi|x|\psi\rangle\langle\phi|x|\phi\rangle - |\langle\psi|x|\phi\rangle|^2.$$

Beachten Sie, dass der zweite Term darin der fermionischen Permutation entspricht$|\psi\rangle \leftrightarrow|\phi\rangle$. Diese Ergebnisse ergeben folgenden Ausdruck für den Erwartungswert des Abstandsquadrats zwischen den Elektronen:

$$\langle(x_1-x_2)^2\rangle = \langle\psi|x^2|\psi\rangle + \langle\phi|x^2|\phi\rangle - 2\langle\psi|x|\psi\rangle\langle\phi|x|\phi\rangle + 2|\langle\psi|x|\phi\rangle|^2.$$

Was kann man daraus lernen? Nun, für unterscheidbare Teilchen (z. B. ein Elektron und ein Myon), die sich nicht im selben Zustand befinden können, erhalten wir bis auf den letzten Term denselben Erwartungswert . Dieser Term wird als Austauschterm bezeichnet. Es scheint, dass die Elektronen im Durchschnitt weiter voneinander entfernt sind als beispielsweise ein Elektron und ein Myon. Wie viel weiter, wird durch die Umtauschfrist bestimmt. Beachten Sie, dass der Austauschterm Null ist, wenn es keine Überlappung zwischen den Wellenfunktionen gibt (die Zustände sind völlig unterschiedlich).

Dies bestätigt unsere frühere Intuition, nur haben wir jetzt ein mathematisches Rezept, um sie zu untermauern. Wir könnten sagen, dass das Pauli-Prinzip nicht viel beiträgt, wenn der durchschnittliche quadratische Abstand zwischen den Elektronen viel größer ist als der Austauschterm. Ist der Tauschbegriff mit den anderen Begriffen vergleichbar, ist das Pauli-Prinzip deutlich strenger.

So lautet das Pauli-Prinzip

• Die Wellenfunktion eines Systems identischer Teilchen mit ganzzahligem Spin hat denselben Wert, wenn die Positionen zweier beliebiger Teilchen vertauscht werden. Teilchen mit austauschsymmetrischen Wellenfunktionen werden Bosonen genannt;

• die Wellenfunktion eines Systems identischer Teilchen mit halbzahligem Spin ändert ihr Vorzeichen, wenn zwei Teilchen vertauscht werden. Teilchen mit unter Austausch antisymmetrischen Wellenfunktionen werden Fermionen genannt.

von der Wikipedia-Seite über das Spin-Statistik-Theorem . Die obige Aussage impliziert das Pauli-Ausschlussprinzip , wir werden zeigen, wie.

Stellen wir uns nun vor, dass unser Universum nicht größer ist als das System Erde-Mond (nur zum Verständnis von Rohstoffen). Lassen Sie uns ein Elektron beschreiben – ein Fermion, ein Spin$1/2$Teilchen, was immer Sie bevorzugen - auf der Erde mit einer orts-zeitabhängigen Wellenfunktion$\phi_{E}\left(x_{1}\right)$. Für Ware werde ich anmerken$x\equiv\left(x,y,z,t\right)$für alle Raum-Zeit-Parameter. Dasselbe gilt für das Elektron auf dem Mond, beschrieben von$\phi_{M}\left(x_{2}\right)$. Indizes$1$und$2$sind für letztere Verwendung, ich kann mir übrigens den gewünschten Bezugsrahmen aussuchen. Beachten Sie, dass sie mit den Indizes hochgradig redundant sind$E$und$M$. Das Pauli-Ausschlussprinzip besagt dann, dass die Vollwellenfunktion für die beiden Elektronen gilt

$$\Psi\left(x_{1},x_{2}\right) = \phi_{E}\left(x_{1}\right)\otimes\phi_{M}\left(x_{2}\right)-\phi_{M}\left(x_{1}\right)\otimes\phi_{E}\left(x_{2}\right)$$

wo die Indizes$E$und$M$sind jetzt bedeutungslos. Da das Tensorprodukt$\otimes$kommutativ ist, hat man insbesondere

$$\Psi\left(x_{1}=x_{2}\right) = 0$$

das ist das Pauli-Ausschlussprinzip!

Wenn Sie versuchen, den mathematischen Ausdruck for in Worte zu fassen$\Psi\left(x_{1},x_{2}\right)$, es könnte sein:

Nehmen der Wellenfunktion$\phi_{E}$des einen Elektrons, das wir zuvor als auf der Erde befindlich identifiziert haben, und der Wellenfunktion$\phi_{M}$der anderen Elektronen, die wir zuvor als auf dem Mond befindlich identifiziert haben, und wenn sie ihre Plätze vertauschen, ergibt sich ein entgegengesetztes Vorzeichen für das Tensorprodukt$\phi_{E}\otimes\phi_{M}$sie alle zusammen beschreiben

Was meinen wir mit den Indizes$E$und$M$sind bedeutungslos? Nun, wenn Sie wissen , dass sich eines der Elektronen auf dem Mond befindet , während sich das zweite tatsächlich auf der Erde befindet, gibt es keine Möglichkeit, es zu finden$\Psi\left(x_{1}=x_{2}\right)$, da die beiden Elektronen niemals die Chance haben werden, sich zu treffen. (Ich hoffe, dass die Entfernung Erde-Mond ausreichte, um sich selbst zu überzeugen, ansonsten tun Sie das zwischen beliebigen Sternen, die Sie bevorzugen, bis Sie überzeugt sind ...)

Der entscheidende Punkt dahinter ist, dass wir es mit nicht unterscheidbaren Partikeln zu tun haben, wenn die Indizes$E$und$M$machen keinen physikalischen Sinn. Diese Indizes sind nur dazu da, Sinn zu machen$\Psi\left(x_{1},x_{2}\right)$, und definieren Sie die Antisymmetrie der Gesamtwellenfunktion richtig.

Eine wirklich klügere Denkweise wäre: Wenn Sie wirklich darauf bestehen, die beiden Elektronen (eines auf der Erde, eines auf dem Mond) durch eine eindeutige Wellenfunktion zu beschreiben, dann diese Wellenfunktion$\Psi\left(x_{1},x_{2}\right)$hat das Eigentum

$$\Psi\left(x_{1},x_{2}\right)=-\Psi\left(x_{2},x_{1}\right)$$

und besonders$\Psi\left(x_{1}=x_{2}\right) = 0$und das ist es. Dahinter steckt nichts Mystisches. Es ist eine mathematische Hilfe, weil der Begriff der Ununterscheidbarkeit wirklich schwer mit den Händen zu verstehen ist.

Was ist also der Grund für Antisymmetrie? Nun, ich gehe von vornherein davon aus, dass man ein Elektron lokalisieren kann. Das macht in der Quantenmechanik keinen Sinn, wo es doch nur um die Dichtewahrscheinlichkeit geht, irgendwo mal etwas zu finden, das berühmt ist$\Psi\left(x\right)$. So$\Psi\left(x_{1},x_{2}\right)$ist nur ungefähr die Wahrscheinlichkeit, ein Elektron an einer Raumzeitposition zu finden$x_{1}$ und ein zweites Elektron an der Raumzeitposition$x_{2}$.

Bitte sagen Sie uns, wenn Sie eine bessere Idee haben, dieses Ding zu modellieren :-)

Wenn Sie die beiden Elektronen mit einer einzigen Wellenfunktion ausdrücken können, gilt das Pauli-Ausschlussprinzip. Abgesehen von den einfachsten Systemen werden die Elektronen jedoch mit ihrer Umgebung interagieren und sich mit ihr verschränken. Jetzt haben Sie nicht länger eine Wellenfunktion von zwei Elektronen, sondern eine Wellenfunktion von zwei Elektronen plus die Unmenge anderer Teilchen, mit denen die Elektronen interagiert haben. In einem so komplexen System wird es keine einfache Korrelation zwischen den Spins der Elektronen mehr geben.

Bei einem Objekt, das so klein wie ein Atom oder Molekül ist, ist die Wechselwirkung zwischen den Elektronen weitaus größer als die Wechselwirkung mit dem Rest des Universums. Wenn Sie jedoch versuchen würden, ein Zweielektronensystem mit makroskopischen Dimensionen zu konstruieren, wäre die Wechselwirkung mit der Umgebung dominant und Sie würden die Korrelation zwischen den Elektronenspins verlieren.

Die Kommentare von Brian Cox sorgen für gutes Fernsehen, würden aber nur in unrealistisch vereinfachten Systemen gelten.

Antwort auf Kommentar:

Ich denke, Sie verwechseln vielleicht die Vorstellungen von Verstrickung und dem Pauli-Ausschlussprinzip. Wenn zwei Elektronen, eines auf der Erde und eines auf dem Mars, verschränkt sind und ich eine Messung am Elektron auf der Erde durchführe, wird das Elektron auf dem Mars sofort beeinflusst. Dies bereitet uns jedoch keine Probleme, da keine Information schneller als Licht übertragen wird. Das superluminale Verhalten wurde tatsächlich experimentell gemessen .