Irrationalität der Quadratwurzel aus 2

Ich stimme einigen Details der Interpretation bezüglich der Entdeckung der Irrationalität von nicht zu$\sqrt{2}$als Widerlegung des

Pythagoräer glauben, dass alle Zahlen als Verhältnis von 2 Zahlen konstruiert werden könnten.

Mein Verständnis ist, dass alle "archaische" griechische Mathematik die (implizite) Annahme teilte, dass bei zwei Größen zB zwei Längensegmente gegeben sind$a,b$, es ist immer möglich, ein Segment der "Einheitslänge" zu finden$u$so, dass es beides misst , dh so, dass [unter Verwendung moderner algebraischer Formeln, die der griechischen Mathematik völlig fremd sind]:

Aus dem obigen Fall der Annahme folgt, dass:

Die Annahme läuft darauf hinaus, dass das Verhältnis zwischen zwei Größen immer ein Verhältnis zwischen ganzen Zahlen ist (dh modern ausgedrückt: eine rationale Zahl).

Beachten Sie jedoch, dass für die griechische Mathematik die einzigen Zahlen die natürlichen sind und sie von Größen unterschieden werden müssen : einem Segment, einem Quadrat, ... die durch Zahlen "gemessen" werden.

Für die alten Griechen gibt es keine rationalen Zahlen; aber nur Größen messbar mit Vielfachen einer geeigneten Einheit eins.

Die Entdeckung der Existenz irrationaler Größen durch den Beweis, dass der Fall wo$a$ist die Seite des Quadrats und$b$seine Diagonale nicht als Verhältnis zwischen (natürlichen) Zahlen ausdrückbar ist, führt die griechische Mathematik zur Rücknahme der obigen (impliziten) Annahme, die wir als "Kommensurabilitätsannahme" bezeichnen können, und zur Axiomatisierung der Geometrie, dh dem systematischen Bemühen, explizit listet alle notwendigen Annahmen auf.

Laut diesem Link hat Hippasus der Legende nach zuerst die Irrationalität von entdeckt$\sqrt{2}$. Der zweite Link erwähnt tatsächlich eine Legende, die besagte, dass Anhänger von Pythagoras Hippasus ermordeten – der angeblich die Irrationalität von entdeckte$\sqrt{2}$auf einem Boot mitten auf dem Meer - indem er ihn sofort über Bord warf, nachdem er sie über seine Entdeckung informiert hatte.

Die Pythagoräer glaubten, dass alle Zahlen als Verhältnis von 2 Zahlen konstruiert werden könnten. (Dass sie rational waren) Also im Grunde war es eine große Sache, weil es dem Wissen widersprach. Ihre gesamte Arbeit basierte auf der Prämisse, dass rationale Zahlen alle Zahlen sind.

Jeder neue Beweis, der eine grundlegende Wahrheit völlig auf den Kopf stellt, wurde oft mit Spott beantwortet. Selbst in (relativ) modernen Zeiten galten imaginäre Zahlen als "fiktiv oder nutzlos, so wie es einst die Null und die negativen Zahlen waren".

Diese Legenden existieren, und das schon seit langem. Aber nur wenige spezialisierte Historiker des Fachs glauben, dass die Pythagoräer die Irrationalität entdeckt haben$\sqrt{2}$. Sehen:

Pythagoras vs. die Idee von Pythagoras

Es ist sehr schwer, die griechische Mathematik vor Euklid zu beurteilen, geschweige denn vor Platon, da es so wenige Beweise gibt. Die heute am meisten gelesene Einzelstudie darüber ist wahrscheinlich DH Fowlers Mathematics of Plato's Academy , und für das, was es wert ist, denke ich, dass er durchaus Recht haben könnte. Kurz gesagt argumentiert er, dass die Inkommensurabilität ein wohlbekanntes Thema war, das von griechischen Mathematikern leicht gehandhabt werden konnte, so weit zurück unsere Beweise uns führen können.

Die Tatsache, dass$\sqrt{2}$existierte und irrational ist, war ein Schlag für die alten Griechen, die nur an Zahlen glaubten, die sie bei Bedarf mit einer gewissen Genauigkeit berechnen konnten. Oder anders gesagt, sie waren mit rationalen Zahlen vertraut. Die Tatsache, dass andere Zahlen existierten, hätte die gleichen Gefühle in sich getragen wie und wenn wir zum ersten Mal auf Themen wie Zählbarkeit und Unzählbarkeit und die Kontinuumshypothese in der Mengenlehre stoßen. Auf den ersten Blick mag das alles wie ein Zirkelschluss und ein falsches Argument erscheinen, aber mit der Zeit gewöhnen wir uns daran. Und vielleicht auch die Griechen.

Was die Praktikabilität betrifft, wäre es für sie nicht sehr praktisch gewesen, da sie diese neuen Zahlen nicht mit einem gewissen Grad an Genauigkeit messen könnten, dass sie auch verwendet würden. Aber der springende Punkt beim Sammeln von Wissen ist nicht, wo dieses Wissen eingesetzt werden soll, sondern warum sollte dieses Wissen überhaupt existieren.