Ich bin Physiker und arbeite jetzt mit Computern. Ich studiere GR in meiner Freizeit, um den Stoff frisch zu halten. Im Wikipedia-Artikel über die Mathematik von GR kann man Folgendes lesen:
Der Begriff „allgemeine Kovarianz“ wurde in der frühen Formulierung der allgemeinen Relativitätstheorie verwendet, wird aber heute von vielen als Diffeomorphismus-Kovarianz bezeichnet. Obwohl die Diffeomorphismus-Kovarianz nicht das bestimmende Merkmal der Allgemeinen Relativitätstheorie ist und Kontroversen über ihren gegenwärtigen Status in der GR bestehen bleiben , ist die in dem Prinzip implizierte Invarianzeigenschaft physikalischer Gesetze in Verbindung mit der Tatsache, dass die Theorie im Wesentlichen geometrischen Charakter hat (unter Verwendung von Geometrien, die sind nicht euklidisch) schlugen vor, die allgemeine Relativitätstheorie in der Sprache der Tensoren zu formulieren. [Meine Kursivschrift.]
Weiß jemand, auf welche Art von Kontroverse der/die Autor(en) abzielen? Ist nicht allgemeine Kovarianz, ähm ... Diffeomorphismus-Kovarianz, ein Grundprinzip von GR?
UPDATE: Offensichtlich gibt es keine "richtige" Antwort auf eine Frage wie diese (es sei denn, Sie sind zufällig der Autor des besagten Artikels und könnten daher mit der Welt teilen, was Sie interessiert). Jedenfalls scheint es keine weithin bekannte, heftig diskutierte Kontroverse bezüglich der allgemeinen Kovarianz zu geben.Trotzdem habe ich mich entschieden, Rons Antwort zu akzeptieren.
UPDATE 2: Ich habe die Annahme aufgrund des verlinkten Artikels von Prof. Norton. Ich denke, dass Rons Antwort aus praktischen Gründen immer noch gültig ist, aber ich möchte diesen Artikel zuerst überprüfen. Allerdings sollte niemand den Atem anhalten und darauf warten, dass ich das herausfinde. :)
Die Kontroverse beruht auf der Tatsache, dass die Aussage "Die Gesetze der Physik sollten im Allgemeinen kovariant sein" sehr auffällig und aussagekräftig ist, sie beinhaltet das Äquivalenzprinzip, das beschleunigte Bewegung und ein lokales Gravitationsfeld in Beziehung setzt. Aber wenn es formuliert wird als "Die Gesetze der Physik sollten bei Koordinatenänderungen unveränderlich sein", wird es trivial einfach zu erfüllen--- alle Gesetze der Physik können in beliebigen Koordinaten beschrieben werden, indem man einfach die Koordinaten ändert! Wenn Sie beispielsweise die Laplace-Gleichung haben, können Sie die Koordinaten ändern und die Laplace-Gleichung in elliptischen oder sphärischen Koordinaten neu ausdrücken.
Leute, die glauben, dass die Physik wie Mathematik ist, würden gerne ein mathematisches Axiom angeben, das dem physikalischen Prinzip der "allgemeinen Kovarianz" entspricht, und sie identifizieren dieses Axiom als "Die Gesetze der Physik müssen in beliebigen Koordinaten ausdrückbar sein" und da diese Aussage trivial und inhaltsfrei ist, schlussfolgern sie, dass General Covariance inhaltsfrei ist, daher die Kontroverse.
Diese Kontroverse ist nicht so interessant. Die Aussage der Allgemeinen Kovarianz beginnt mit dem Äquivalenzprinzip, das besagt, dass ein lokal beschleunigtes Koordinatensystem einem Gravitationsfeld entspricht. Da die dynamische Größe, die die lokale Beschleunigung bestimmt, die Metrik und die zugehörige Verbindung ist, schließen Sie daraus, dass die Verbindung und die Metrik das Gravitationsfeld und das Potential sind. Dann formulieren Sie Bewegungsgesetze für das Feld und das Potential. Die Bewegungsgleichungen müssen vernünftig sein – keine instabilen außer Kontrolle geratenen Lösungen, positive Energie kleiner Störungen. Dann wählt das Prinzip der geringsten Anzahl von Ableitungen (Skalierung der relevantesten Terme) GR plus vielleicht einige topologische Terme aus.
Das Prinzip der Allgemeinen Kovarianz ist einfach, dass es keine a priori bevorzugte Metrik gibt, dass die Metrik durch lokale Bewegungsgleichungen wie das elektrische Potential bestimmt wird. Sie haben keine "wiederherstellende Kraft", die die Metrik auf +1, -1, -1, -1 oder einen anderen Wert zieht. Damit verletzt die folgende lächerliche Aktion die allgemeine Kovarianz:
Es gibt nicht viel mehr zur Allgemeinen Kovarianz, als explizite Tensoren wie die oben genannten zu verbieten.
Das Prinzip ist einfach, dass die Theorie geometrisch sein muss, ohne bevorzugte Hintergrundgeometrie. Dies wird heute von den Leuten betont, die Schleifen-Quantengravitation mögen.
Es hat nie eine wasserdichte, rigorose, prägnante und trockene Formulierung dessen gegeben, was man unter „allgemeiner Kovarianz“ versteht, daher die Kontroversen seit Einsteins Tagen. Siehe http://philpapers.org/rec/STATMO-5 und andere Artikel über die Philosophie der Physik. Die Antwort von Herrn Maimon beweist auch die Existenz einer Kontroverse, da er die Vorstellungen vieler Leute darüber kritisiert, was es als „inhaltsfrei“, dh nichtssagend, bedeutet. Und mit etwas Gerechtigkeit ... auf beiden Seiten. Es gibt auch Meinungsverschiedenheiten darüber, was das „Äquivalenzprinzip“ sagt, Herr Maimon hat dies wiederum in anderen Antworten auf verwandte, verknüpfte Fragen wie „ Wie schließt dieses Gedankenexperiment Schwarze Löcher nicht aus? » Prof. Geroch aus Chicago ( http://arxiv.org/abs/1005.1614) hat auf Missverständnisse sogar der Speziellen Relativitätstheorie hingewiesen und gezeigt, dass die Gesetze der Spec. Rel. nicht durch schnellere als leichte Kommunikation verletzt würde ... also sollte man vorsichtig sein, hier nur einen Standpunkt zu hören.
Es gibt sicherlich Kontroversen darüber, ob Diff(M) irgendeine Art von Eichgruppe ist (siehe http://www.mth.kcl.ac.uk/~streater/lostcauses.html von Prof. Streater , und es scheint sogar eine zu geben viel Verwirrung über den Unterschied zwischen einem Element von Diff(M), das global ist , und lokalen Änderungen von Koordinaten, die für das Prinzip der allgemeinen Kovarianz relevant sind (schließlich hat Einstein das Äquivalenzprinzip immer nur für eines angegeben). Koordinatenpatch, nicht für alle .)
Meiner Meinung nach hatte Einsteins Verständnis des Prinzips der allgemeinen Kovarianz einen physikalischen und einen mathematischen Teil. Der physikalische Teil war das Prinzip der Äquivalenz. Der mathematische Teil bestand darin, dass ein physikalisches Gesetz in Form von Größen mit gleichen Transformationseigenschaften bei lokalen Koordinatenänderungen geschrieben werden sollte. Tatsache ist, dass es anscheinend keinen eindeutigen Weg gibt, dies zu sagen, und Einstein hat keine völlig abstrakte Definition des Prinzips der Kovarianz gegeben, daher basiert meine Meinung darauf, was er getan hat. Schon zu seiner Zeit missverstanden Physiker das Prinzip der Äquivalenz und das Erfordernis der allgemeinen Kovarianz, einer von ihnen beschuldigte Einstein sogar, es verraten zu haben, siehe S. 237-239 von Band 6, englische Übersetzungsergänzung, von Einstein's Collected Papers .
Ich habe vielleicht die Referenz gefunden, die Sie gerne sehen würden, obwohl sie sehr ausführlich ist. http://www.pitt.edu/~jdnorton/papers/decades.pdf von Prof. Norton aus Pittsburgh spricht über viele der Missverständnisse und Meinungsverschiedenheiten über dieses Prinzip.
Verwandte Fragen Warum kann die Allgemeine Relativitätstheorie nicht in Form von physikalischen Variablen geschrieben werden? und Diff(M) und Anforderungen an GR-Beobachtbare
Ich denke, die "Kontroverse", auf die Bezug genommen wird, ist die Invarianz von GR unter aktiven Diffeomorphismen und ihre entsprechende Interpretation als Eichtheorie. Ein aktiver Diffeomorphismus ist so zu verstehen, dass die Punkte der Raumzeit-Mannigfaltigkeit herumbewegt werden, nicht nur als eine Umbenennung von Punkten mit neuen Koordinaten. GR hat die Eigenschaft, dass Sie, wenn Sie dies konsequent tun, Lösungen von Einsteins Gleichungen auf neue Lösungen von Einsteins Gleichungen abbilden (siehe einige Diskussionen zu Einsteins Loch-Argument , um ein Gefühl dafür zu bekommen). Wenn Sie sich dies als Eichfreiheit vorstellen, landen Sie damit, dass der Lösungsraum von Einsteins Gleichungen in Äquivalenzklassen unterteilt wird.
Traditionell sind in Eichtheorien die physikalischen Observablen eichinvariante Größen – in diesem Fall wären dies Größen, die unter aktiven Diffeomorphismen erhalten bleiben. Ich glaube nicht, dass ein vollständiger Satz solcher Größen bekannt ist, aber sie würden Dinge wie Integrale von Krümmungstensor-Invarianten über die gesamte Raumzeit enthalten. Diese Observablen sind im Allgemeinen nicht lokal und haben sich für explizite Berechnungen als nicht allzu nützlich erwiesen (soweit ich weiß).
Ich glaube nicht, dass diese sogenannte Kontroverse etwas Bedeutendes ist. Es scheint sich nur darum zu drehen, ob auf GR der Begriff "Eichtheorie" angewendet werden sollte oder nicht, da sich der Charakter der Theorie von anderen Eichtheorien unterscheidet, in denen die Eichsymmetrien faserweise in den relevanten Bündeln gelten.
BEARBEITEN: Ich habe die Frage falsch verstanden, daher befasst sich meine Antwort mit "Kontroversen über das Äquivalenzprinzip". Entschuldigung für das Chaos.
Nun ... das ist der Punkt. Wie Sie vielleicht wissen, können Einstein-Gleichungen aus dem Hilbert-Wirkungsprinzip abgeleitet werden. Wenn Sie nun Materie hinzufügen möchten, fügen Sie der Aktion ihren Lagrangian hinzu. Das starke Äquivalenzprinzip sagt Ihnen, dass Sie keine expliziten geometrischen Einheiten in Lagrangian von Materiefeldern verwenden können. Dies ist wie folgt zu verstehen. Nehmen wir an, Sie haben einen Lagrangian für ein Skalarfeld in der Minkowski-Raumzeit
Da im Vakuum die Skalarkrümmung R Null ist, könnte man versucht sein, sie in die Lagrangian einzubeziehen, und tatsächlich tun es die Leute - aus vielen Gründen. Sogar ich tue es manchmal, um einige interessante mathematische Implikationen einer solchen Wahl zu untersuchen. Dies jedoch starkes Äquivalenzprinzip, da physikalische Gesetze in inertialen Koordinatensystemen nicht mehr äquivalent sind! Kurz gesagt, Menschen sind versucht, GR andere physikalische Theorien hinzuzufügen, ohne Rücksicht auf die allgemeine Kovarianz, weil sie entweder nicht daran glauben oder weil solche Kopplungen manchmal interessanter sind als „normale“.
Nikos M.
Nikos M.