Operative Definition der Teilchenrotation

Die Frage in Kürze: Was bedeutet es operativ, ein Elektron zu drehen?

Ausarbeitung/Hintergrund: Ich versuche zu verstehen, wie die Darstellungstheorie auf die Quantenmechanik angewendet werden kann. Ein Stolperstein für viele Lernende, mich eingeschlossen, ist der Spin. Zufälligerweise kenne ich bereits die Geschichte darüber, wie SO ⁡ ( N ) ist nicht einfach verbunden, wie seine doppelte Abdeckung Drehen ⁡ ( N ) einfach verbunden ist und wie einige Darstellungen der letzteren nicht durchkommen SO ⁡ ( N ) . Obwohl ich kein Experte in Darstellungstheorie bin, kenne ich die Grundlagen und kann bei Bedarf selbst mehr lernen.

Mein Problem besteht vielmehr darin, genau zu verstehen, wie experimentelle Tatsachen und Verfahren uns eine Darstellung geben. (In diesem Sinne geht es bei meiner Frage nicht wirklich um Elektronen oder gar um Quantenmechanik, da die spezielle Relativitätstheorie auch Darstellungstheorie "ist", aber mein Unverständnis wird im Fall des Spins besonders akut.)

Die Ausstellungen, die ich mir angesehen habe, sagen normalerweise so etwas wie "Wenn Sie ein Elektron drehen, verwandelt sich die Wellenfunktion wie ein Spinor", aber das ist nur hilfreich, wenn ich es weiß

  1. was es bedeutet, ein Teilchen zu drehen; Und
  2. wie man zumindest im Prinzip von der physikalischen Situation zu ihrer mathematischen Beschreibung übersetzt.

Ich habe mich hier nach Fragen umgesehen, aber sie sind entweder ziemlich fortgeschritten (QFT-Zeug) oder konzentrieren sich auf die mathematische Maschinerie im Gegensatz dazu, wie diese Maschinerie mit den tatsächlichen Operationen an Laborgeräten übereinstimmt. Beispielsweise schreibt Eric Zaslow in einem anderen Thread:

Stellen Sie sich vor, Sie gehen zum Ruhesystem eines massiven Teilchens. In diesem Rahmen herrscht Rotationssymmetrie, was bedeutet, dass die Lie-Algebra der Rotationen auf die Wellenfunktion wirkt. Die Wellenfunktion ist also ein Vektor in einer Darstellung von Lie(SO(3)) = Lie(SU(2)). "Spin" ist die Bezeichnung dafür, um welche Darstellung es sich genau handelt. Beachten Sie, dass, obwohl SO(3) und SU(2) eine Lie-Algebra teilen, sie sich als Gruppen unterscheiden, und dass es eine Tatsache des Lebens ist ("die Verbindung zwischen Spin und Statistik"), dass einige Teilchen -- Fermionen, mit halb- integraler Spin - transformieren unter Darstellungen von SU(2), während andere - Bosonen mit integralem Spin - transformieren unter SO(3).

Zaslows Antwort

Dies ist klar gesagt, versucht aber nicht, hier auf meine Bedenken einzugehen, wie sich Operationen im Labor in Lie-Gruppen-/Algebra-Aktionen im Zustandsraum übersetzen.

Um meine Verwirrung noch deutlicher auszudrücken: Wenn ich akzeptiere, und das tue ich, dass der Zustandsraum eines Teilchens ist C 2 oder besser gesagt die Projektivierung C P 1 , dann jede Lie-Gruppe, auf die wirkt C 2 wirkt auf den Zustandsraum des Teilchens. Die Existenz einer Aktion ist also eindeutig nicht die ganze Geschichte. Der verbleibende Teil der Geschichte ist die operative Bedeutung der Gruppe ... denke ich. :)

Also noch einmal, aber mit anderen Worten: Wenn der Theoretiker auf eine Elektronenwellenfunktion mit einem bestimmten Element einwirkt Drehen ⁡ ( 3 ) , was macht der Experimentator?

Der Experimentator dreht die Apparatur und damit das Koordinatensystem. Zum Beispiel könnte sie ein Magnetfeld in eine andere Richtung zeigen lassen.
@G.Smith Danke für deinen Kommentar! Wenn das Drehen des Geräts als Drehen des Teilchens gilt, sollte dies meiner Meinung nach als Antwort eingereicht werden. Schließlich hat eine rotierende Ausrüstung in der normalen Sprache eine Bedeutung, während das Drehen eines Punktteilchens dies nicht tut. Das ist also genau die Art der Operationalisierung, die ich mir erhofft hatte.
Ich denke nicht gerne daran, das Partikel zu drehen, weil ich nicht weiß, was das Drehen eines Punktpartikels bedeuten würde. Also denke ich darüber nach, die Wellenfunktion des Teilchens zu drehen (was im Allgemeinen eine erweiterte, nicht kugelsymmetrische Sache ist). Dies ist nur eine Drehung einer Funktion von drei Koordinaten, und mathematisch „aktives“ Drehen einer 3D-Funktion innerhalb eines festen Koordinatensystems und „passives“ Drehen des Koordinatensystems sind äquivalent.
Fair genug! :) Ich nehme an, die Leute, die über das Drehen der Partikel schreiben, sollten sich selbst erklären.

Antworten (2)

...wenn der Theoretiker auf eine Elektronenwellenfunktion mit einem bestimmten Element von Spin einwirkt ( 3 ), was macht der Experimentator?

Hier sind drei Szenarien. Die ersten beiden sind langweilig, und der dritte ist interessant. In allen drei Szenarien lassen Sie R bezeichnet das Element − 1 im Spin ( 3 ), was dem Identitätselement in SO( 3 ).

  • Erstes Szenario: Der Theoretiker verwendet ein Modell, in dem das Elektron das einzige Ding im Universum ist. In diesem Fall Bewerbung R zum Elektron ändert nur das Gesamtzeichen des Zustandsvektors. Da der Gesamtkoeffizient des Zustandsvektors keine physikalische Bedeutung hat, gibt es keinen Unterschied zwischen dem, was der Experimentator tut, um den ohne R Staat und die mit- R Zustand. (Ich versuche, dies sorgfältig zu formulieren, während ich immer noch prägnant bin.)

  • Zweites Szenario: Der Theoretiker verwendet ein realistischeres Modell, das viele Teilchen enthält. Lassen C † ( X ) bezeichnen den Operator, der an der Stelle ein Elektron erzeugt X . (Dies ist ein nichtrelativistisches Modell.) Der Theoretiker betrachtet einen Zustand der Form

    (1) C † ( X ) | ψ ⟩ ,
    Wo | ψ ⟩ ist der Zustand von allem anderen. Mal wieder bewerben R zum Elektron ändert nur das Gesamtzeichen des Zustandsvektors, weil es nur das Gesamtzeichen von ändert C † ( X ) . Es gibt also wieder keinen Unterschied zwischen dem, was der Experimentator tut, um das Ohne- R Version und die mit- R Version des Staates.

  • Drittes Szenario (das ist das interessante): Der Theoretiker betrachtet einen Zustand der Form

    (2) ( C † ( X ) + C † ( j ) ) | ψ ⟩ ,
    wo die Punkte X Und j weit voneinander entfernt sind, und dann gilt R nur für jedes Elektron, das sich zufällig in der Nähe befindet j . Das Ergebnis der Bewerbung R Ist
    (3) ( C † ( X ) − C † ( j ) ) | ψ ⟩ .
    Die Zustandsvektoren (2) und (3) sind nicht proportional zueinander, repräsentieren also unterschiedliche physikalische Zustände. Diesmal muss der Experimentator etwas anderes tun , um den Zustand (3) anstelle des Zustands (2) herzustellen.

Die Frage ist, was muss der Experimentator anders machen, um (3) statt (2) vorzubereiten? Wenn wir "Elektron" in "Neutron" ändern, dann wurde dies tatsächlich in den in diesem Artikel besprochenen Neutroneninterferenzexperimenten getan:

Dies sind im Wesentlichen Zweispalt-Experimente mit einem makroskopischen Abstand zwischen den beiden Pfaden im Interferometer. Beugung in einem Kristall wurde als Ersatz für "Schlitze" verwendet. Die Magnete wurden so angeordnet, dass jedes Neutron, das einen der Pfade durchläuft, eine Präzession verursacht, und die Auswirkung auf das resultierende Zweischlitz-Interferenzmuster zeigt die Auswirkung der Vorzeichenänderung darunter 2 π Drehungen, die Spin-1/2-Teilchen charakterisieren. In diesem Experiment entspricht der Unterschied zwischen (2) und (3) dem Einschalten des Magnetfelds – oder allgemeiner dem Anpassen der Stärke des Magnetfelds, um zwischen (2) und (3) zu interpolieren.

(Übrigens war bei den oben zitierten Neutroneninterferenzexperimenten typischerweise immer nur ein Neutron im Interferometer – diese Experimente sind also gute Beispiele für Einzelteilchen-Selbstinterferenz.)

Wenn wir wollen, dass unser Modell Experimente wie dieses handhabt, brauchen wir eine Möglichkeit, Dinge zu konstruieren, die das Vorzeichen unter a ändern 2 π Drehung. Vertretungen der Rotationsgruppe Ö ( 3 ) mach das nicht. Die fundamentale Darstellung der Deckgruppe tut es.

Danke, das ist hilfreich und beantwortet meine Frage. Ich werde mir das Papier ansehen. Würden Sie in der Zwischenzeit der Aussage zustimmen, dass das Drehen eines Teilchens keine einfache, unmittelbare operative Bedeutung hat (im Gegensatz zu seiner Übersetzung) oder ist das eine Fehlinterpretation meinerseits?
@Melissa Ich habe keine klare Ja- oder Nein-Antwort - das übersteigt die Grenzen meiner Intuition! Das Beste, was ich (zumindest bisher) tun konnte, ist darüber nachzudenken, wie sich eine bestimmte Transformation auf einen Zustandsvektor auswirkt (wie das Anwenden einer Drehung auf nur einen der beiden Terme in einer Überlagerung) und dann darüber nachzudenken, wie der resultierende Zustandsvektor würde experimentell präpariert. Das qualifiziert sich wahrscheinlich nicht als "einfache, unmittelbare operative Bedeutung"; aber nur weil ich nicht an einen gedacht habe, heißt das nicht, dass es keinen gibt. Das ist eine großartige Frage!

Also noch einmal, aber mit anderen Worten: Wenn der Theoretiker auf eine Elektronenwellenfunktion mit einem bestimmten Element von Spin(3) einwirkt, was tut der Experimentator?

(Was ist Spin(3)?)

Meiner Meinung nach hat man zunächst den Karren vor dem Pferd.

Eine Theorie in physikalischen Modellen handelt, handelt nicht . Eine validierte Theorie hat eine rechnerische Entsprechung zum Experiment, aber nicht alle "Handlungen" in der Theorie führen zu einem beobachtbaren Effekt in einem Experiment.

Experimentatoren zeichneten 1922 das Verhalten von Silberatomen in Magnetfeldern auf, und dies wurde mit dem von einzelnen Elektronen korreliert. Dann verknüpfte die mathematische Modellierung das Verhalten zum Drehimpuls mit der Gruppenstruktur von SU(2) und dem Verhalten der Wellenfunktion unter dieser Algebra.

Dieses Modell wurde validiert, wenn es zur Vorhersage neuer Setups verwendet wurde. und wird bis jetzt kontinuierlich durch alle experimentellen Daten validiert.

Außerdem hielt die Spinhypothese die Drehimpulserhaltung ( Theorem von Noether ) bei Teilchenwechselwirkungen für möglich.

Danke für deine Antwort und für die Hinweise! Fakt ist, dass viele Ausführungen Formulierungen wie "wenn man ein Elektron dreht..." enthalten. Ich frage, was das bedeutet. Spin(3) ist die doppelte Abdeckung von SO(3). Es ist auch isomorph zu SU(2), aber das ist außergewöhnlich.
Operative Definition der Teilchenrotation
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