Wie lang und wie breit eine Kurve ist, hängt ganz von drei Dingen ab:

1. Was ist die wahre Fluggeschwindigkeit.
2. Wie groß ist der Querneigungswinkel der Kurve?
3. Während der Wende wird ein Horizontalflug beibehalten.

Da es am einfachsten zu berechnen ist und vermutlich das, was Sie beabsichtigt haben, nehmen wir an, dass Nr. 3 wahr ist (Horizontalflug). Wenn Sie jedoch wirklich schnell wenden müssen, erhalten Sie beim Wenden in einer Abfahrt eine enge Kurve ohne die zusätzlichen G-Kräfte.

Die Reisegeschwindigkeit für eine 747 hängt von der Höhe, der Generation, den Unternehmensrichtlinien usw. ab, aber wir gehen für dieses Beispiel von Mach 0,85 aus, was im Stadion zu liegen scheint. Wenn wir sagen, dass es bei normalen atmosphärischen Bedingungen in 35.000 Fuß kreuzt, kommt das auf 490 Knoten TAS heraus.

Wählen Sie als Nächstes einen Querneigungswinkel aus. Ein vernünftiger Querneigungswinkel für dieses Flugzeug mit Passagieren an Bord ist 25°, und Sie könnten wahrscheinlich mit 30° davonkommen. Alles, was darüber hinausgeht, wird die Fahrgäste beschweren. Wenn es sich um einen Notfall handelt, können Sie natürlich etwas Höheres in Betracht ziehen. Denken Sie daran, je höher der Querneigungswinkel ist, desto stärker sind die G-Kräfte, die von den Menschen im Inneren und dem Flugzeug selbst, das strukturelle Einschränkungen hat, zu spüren sind. Die G-Kraft kann berechnet werden mit:

$$gforce = \frac{1}{\cos(bank)}$$

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Wählen wir als Beispiel eine Neigung von 25°, da dies am realistischsten ist.

Radius

Berechnen Sie den Radius der Kurve mit dieser Formel, leicht modifiziert von Wikipedia , um nmi anstelle von Fuß anzugeben:

$$Radius\ of\ turn\ in\ nautical\ miles= \frac{velocity^2}{68579 \times \tan(bank)}$$

Was uns gibt:

$$7.51nmi = \frac{490^2}{68579 \times \tan(25°)}$$

Die Kurve selbst wäre also etwa 15 Seemeilen breit (≈ 91.000 Fuß), ohne den Wind zu berücksichtigen.

Zurückgelegte Entfernung

Unter Verwendung der Grundgeometrie beträgt die für eine 180°-Kurve zurückgelegte Distanz$d = r\pi$(halber Kreisumfang), also:

$$23.59= 7.51\pi$$

Das gibt uns 23,59 nautische Meilen zurückgelegt.

Dauer

$$time\ in\ minutes = \frac{distance \times 60}{TAS}$$

Daher würde es bei 490 Knoten (Seemeilen pro Stunde) und 25° Querneigung etwa 2 Minuten und 53 Sekunden dauern, um die Kurve zu vollenden.

$$2.89 = \frac{23.59 \times 60}{490}$$

Sie können die Ergebnisse für jede gewünschte Geschwindigkeit und jeden gewünschten Querneigungswinkel durchgehen und berechnen. Dies gilt unabhängig vom jeweiligen Flugzeugtyp.

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Wenden in einer Abfahrt

Ihre bearbeitete Frage fragt, wie viel Höhe verloren gehen würde, wenn es sich nicht um eine ebene Kurve handeln würde. Auch auf diese Frage gibt es keine pauschale Antwort, da es ganz darauf ankommt, wie man das Manöver ausführt.

Ein Grund, warum Sie möglicherweise in einer Kurve absteigen müssen, ist, dass der erhöhte Auftrieb zu einem erhöhten induzierten Luftwiderstand führt und die Flugzeugtriebwerke möglicherweise nicht genug Leistung haben, um dies zu kompensieren, was zu einer verringerten Fluggeschwindigkeit und möglicherweise zu einem Strömungsabriss führt. In diesem Fall sind die Gleichungen zur Berechnung des Wenderadius genau die gleichen wie im Horizontalflug. Die Menge an verlorener Höhe hängt von der Sinkrate ab, die erforderlich ist, um die Fluggeschwindigkeit aufrechtzuerhalten, die je nach verfügbarer Triebwerksleistung, Gewicht des Flugzeugs und der Widerstandskurve bei der gegebenen Geschwindigkeit und AoA variiert. Die Antwort von Peter Kämpf gibt ein Beispiel dafür, wie dies für eine 747 in einer 1,5-Gramm-Kurve aussehen könnte.

Eine andere Version eines Kurvenabstiegs wäre ein beschleunigter Abstieg. Der Vorteil in diesem Fall wäre, dass Kurven ohne zusätzliche G-Kräfte gefahren werden könnten. Der Nachteil ist, dass Sie nach unten beschleunigen, anstatt mit einer konstanten Geschwindigkeit abzusteigen. Dies kann sehr schnell außer Kontrolle geraten und wäre nur für sehr kurze Runden gut.

Um diese katastrophale Option zu veranschaulichen, schauen wir uns an, was bei einer 1-Grad-Kurve bei denselben 25° und 490 Knoten TAS passieren würde. Da die Mathematik komplizierter ist, ist es einfacher, über diesen Teil in metrischen Einheiten zu sprechen. Hier ist eine Umrechnungstabelle:

1 nautical mile = 1852 meters
1 knot = 0.514444 meters per second
1 foot = 0.3048 meters

Erstens wird, um ein konstantes 1 g beizubehalten, der Auftriebsvektor einfach in der Kurve gedreht (anstatt gedreht und erhöht zu werden, um die Höhe beizubehalten). Daher ist die Größe unseres Auftriebsvektors gleich der Beschleunigung aufgrund der Schwerkraft nahe der Erdoberfläche. Wir runden das auf 9,8 m/s/s auf.

Beschleunigung nach innen

Unsere Beschleunigung in Richtung Kurvenmitte$a_c$(der Teil unseres Auftriebsvektors, der nach innen statt nach oben zeigt) kann unter Verwendung der folgenden Gleichung bestimmt werden wo$\theta$ist der Querneigungswinkel:

$$\sin(\theta) = \frac{a_c}{g}$$

Auflösen für$a_c$:

$$a_c = g\sin(\theta)$$

Deshalb

$$4.142 = 9.8\sin(25°)$$

Radius

Also 4,142 Meter pro Sekunde pro Sekunde, wie schnell wir bei 25° Querneigung und 1 g in Richtung Kurvenmitte beschleunigen werden. Mit diesen Informationen können wir zusammen mit unserer bekannten Geschwindigkeit den Radius der Kurve berechnen, indem wir diese Gleichung verwenden$v$ist unsere Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde, und$R$ist der Radius in Metern:

$$R = \frac{v^2}{a_c}$$

Setzen Sie unsere Nummern ein:

$$15341 = \frac{(490 \times 0.514444)^2}{4.142}$$

Das ergibt einen Radius von 15341 Metern (8,28 Seemeilen).

Zurückgelegte Entfernung

Jetzt, da wir unseren Radius haben, können wir berechnen, wie lange wir brauchen, um uns um 180° zu drehen. Dieser Teil ist die gleiche Gleichung wie zuvor.

$$48195 = 15341\pi$$

Das ergibt 48195 Meter (26 Seemeilen).

Dauer

Entfernung dividiert durch Geschwindigkeit ergibt Dauer.

$$t = \frac{d}{v}$$

In unserem Fall:

$$191.2\ seconds = \frac{48195}{490 \times 0.514444}$$

Es dauert also 3 Minuten und 11 Sekunden, um die Runde zu beenden.

Abwärtsbeschleunigung

Der letzte Wert, den wir brauchen, bevor wir den Höhenverlust in der Kurve berechnen können, ist zu berechnen, wie schnell wir in dieser Kurve in Richtung Boden beschleunigen werden. Lassen Sie uns zuerst den Aufwärtsanteil unseres Auftriebsvektors berechnen:

$$a_u = g\cos(\theta)$$

Deshalb

$$8.882 = 9.8\cos(25°)$$

Unser Auftriebsvektor beschleunigt uns mit 8,882 m/s/s nach oben, während die Schwerkraft versucht, uns mit -9,8 m/s/s nach unten zu ziehen. Das ergibt einen Nettovektor von -0,918 m/s/s.

Höhe verloren

Dieser Teil erfordert ein wenig Kalkül, da sich unsere Sinkgeschwindigkeit beschleunigt. Das Integral der Beschleunigung ist die Geschwindigkeit ($v = at$), und das Integral der Geschwindigkeit ist die Entfernung:

$$d = \frac{at^2}{2}$$

Berechnen wir also die Änderung der vertikalen Entfernung (Höhe):

$$-16780 = \frac{-0.918 \times 191.2^2}{2}$$

Theoretisch verlor unser Flugzeug also 16.780 Höhenmeter (55.052 Fuß). Da wir zu Beginn nur 35.000 Fuß in der Luft waren, sind das natürlich ziemlich schlechte Nachrichten für uns. Abgesehen davon, dass Sie auf den Boden aufschlagen, würden Sie auch fast strukturelle Schäden an der Flugzeugzelle riskieren, da in diesem Beispiel 490 Knoten als Geschwindigkeit über Grund angesehen werden, aber die Gesamtgeschwindigkeit am Ende der Kurve höher wäre (etwa 596 Knoten). aufgrund der Sinkrate.

Sie werden auch feststellen, dass die Kurve länger dauerte als im Horizontalflug, vorausgesetzt, wir hatten überhaupt die Höhe zu verlieren. Dies liegt daran, dass die Größe des Auftriebsvektors kleiner war.

Sie können gerne mit anderen Geschwindigkeiten und Querneigungswinkeln experimentieren, und Sie könnten auch mit Kurven mit höherem g experimentieren (einfach ersetzen$g$in den Gleichungen mit$2g$oder ähnliches). In einigen Fällen mit mehr als 1 g können Sie tatsächlich an Höhe gewinnen, obwohl es unwahrscheinlich ist, dass eine 747 ein Manöver mit hohem g aushält, das an Höhe gewinnt.

Betrachten Sie als schnelles zweites Beispiel eine 2-g-Kurve mit 80 ° Querneigung bei 400 Knoten:

$$a_c = 19.302 = 2g\sin(80°) \\ R = 2193.8 = \frac{400 \times 0.514444}{a_c} \\ d = 6892 = R\pi \\ t = 33.5 seconds \\ a_u = 3.404 = 2g\cos(80°)$$

Das ergibt einen Gesamthöhenverlust von 3589 Metern (11.775 Fuß) über 33,5 Sekunden. Am Ende der Kurve hätten Sie jedoch eine Sinkrate von 214 Metern (703 Fuß) pro Sekunde. Das sind über 42.000 Fuß pro Minute. Davon ließe sich in der verbleibenden Höhe wahrscheinlich noch etwas erholen, aber angenehm wäre es nicht.

Um Wendegeschwindigkeiten zu berechnen, beginnen Sie am besten mit einem Lastfaktor$n_z$oder Rollwinkel$\Phi$und berechnen Sie alle anderen Parameter mit diesen Formeln:

$$n_z = \frac{1}{cos \,\Phi}$$ Radius: $$R = \frac{v^2}{g\cdot tan\,\Phi}$$ Winkelgeschwindigkeit (rad/sec): $$\Omega = \frac{v}{R} = \frac{g\cdot tan\,\Phi}{v}$$

Ein Verkehrsflugzeug im Reiseflug fliegt nahe am lokalen maximalen Auftrieb, sodass es keine steile Kurve aushalten kann. Wenn Sie mehr als ein paar Prozent von 1 g ziehen, werden stärkere Stöße am oberen Flügel verursacht, was zu einem steilen Anstieg des Luftwiderstands führt und das Flugzeug sogar zum Abwürgen bringen kann. Dies wird als Hochgeschwindigkeitsstillstand bezeichnet. Glücklicherweise wird es extrem schnell besser, wenn das Flugzeug etwas langsamer wird. Bei zu starker Verlangsamung kommt es jedoch zu einem Strömungsabriss bei niedriger Geschwindigkeit, da beide durch einen kleinen Geschwindigkeitsbereich getrennt sind, wenn in Luft mit geringer Dichte bei hoher Machzahl geflogen wird.

Um Ihnen eine Vorstellung zu geben, welcher Lastfaktor durch welchen Wankwinkel verursacht wird, hier eine kleine Liste:

    Ω       load factor [g]
    0°        1.0
   10°        1.0154
   20°        1.0642
   30°        1.1547
   40°        1.3054
   50°        1.5557
   60°        2.0
   70°        2.9238
   80°        5.7588

Ich würde davon ausgehen, dass mehr als 20° Querneigung im Reiseflug nicht möglich sein werden. Da die 747 mit Mach 0,85 fliegen kann, bedeutet dies 500 kt oder 258 m/s in 30.000 Fuß. Der Radius für diese Kurve beträgt 18,65 km oder 10 Meilen. Verwenden Sie den Kehrwert der Winkelgeschwindigkeit, um die Sekunden pro Radiant zu berechnen: Fliegen einer 180°-Kurve ($\Omega = \pi$) dauert 227 s oder drei Minuten und 47 Sekunden.

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EDIT: Bret Copeland hat mich dazu inspiriert, einen weiteren Fall hinzuzufügen. Nicht so extrem, wie Terry es fliegen würde, aber es gibt Ihnen eine engere Kurve.

Oberhalb der Wende wurde ohne Sinken geflogen. Ich gehe davon aus, dass die 747 nicht viel mehr Auftrieb erzeugen kann, ohne in Kompressibilitätsprobleme zu geraten, was den Luftwiderstand massiv erhöhen würde. Wenn ich mir keine Sorgen um den Höhenverlust mache, kann ich den Energiegewinn durch das Sinken verwenden, um diesen zusätzlichen Widerstand zu kompensieren, und dann würde die Berechnung so aussehen:

Ausgehend von einer 1,5-g-Kurve mit 48° Querneigung muss das Flugzeug 50 % mehr Auftrieb erzeugen, was nur möglich ist, wenn der Pilot starkes Buffeting und Pitch-down (Mach Tuck) akzeptiert. Aber gehen wir mal davon aus, dass das möglich ist. Ich gehe davon aus, dass die Auftriebskurve weit über den Mach-Bruch hinausgeht und der Luftwiderstand sich mindestens verdoppelt. Unter Verwendung von Daten aus dieser Quelle und unter der Annahme einer Flugzeugmasse von m = 340 t werden zusätzlich zu der Leistung der Triebwerke weitere P = 9 MW Leistung pro Sekunde benötigt. Dies ist durch Absinken mit möglich$w = \frac{P}{m}$= 26,6 m/s. Dies ist ein Flugbahnwinkel von$atan(\frac{26.6}{258})$= 6°. (Es würde mich nicht überraschen, wenn die tatsächliche Zahl näher bei 10 ° liegt, aber ich habe derzeit keine guten aerodynamischen Daten zur Verfügung).

Der Wenderadius beträgt jetzt nur noch 6,11 km und die 180°-Wende ist nach 74,4 s = 1 Minute und 14 s abgeschlossen. Der Höhenverlust bei der 6°-Flugbahn beträgt 1980 m bzw. 6.500 ft. Eine genauere Lösung wäre die Tatsache, dass der Auftriebsbedarf mit dem Kosinus des Flugbahnwinkels sinkt, aber für eine Abschätzung erster Ordnung sind die Zahlen hier gut genug.

Dies behandelt das Flugzeug nicht genau so, wie es das Handbuch vorschlagen würde, aber der Typ hat schon eine schlechtere Behandlung überstanden .