Formel für Symmetriefaktor

In ϕ 3 Theorie, gibt es eine Formel zur Bestimmung des Symmetriefaktors, wie sie für die gefunden wird ϕ 4 Theorie in irgendeinem Standardbuch der Quantenfeldtheorie?

Vielleicht finden Sie die folgenden Links interessant: arxiv.org/abs/hep-th/0108088 , mathoverflow.net/q/26897
Können Sie ein Beispiel für einen Lagrange geben? Und ein damit verbundenes Potenzial?
L = − 1 2 Z ϕ ∂ μ ϕ ∂ μ ϕ − 1 2 Z M M 2 ϕ 2 + 1 6 Z G G ϕ 3 + Y ϕ
Srednicki-Gl. (9.1)
Jedes QFT-Lehrbuch erklärt, wie man die Symmetriefaktoren für beliebige Felder, Wechselwirkungsknoten und Diagramme schreibt.

Antworten (1)

Peskin und Schroeder liefern eine hinreichend detaillierte Erklärung zur Berechnung von Symmetriefaktoren für Feynman-Diagramme. Die Arbeit von Palmer et al. Präsentieren Sie eine allgemeine Formel,

S = 1 R ( 1 2 ) D 1 ( 1 2 ! ) D 2 ( 1 3 ! ) D 3 ( 1 4 ! ) D 4

wo die Konstanten in ihrer Arbeit definiert sind, die ein Verständnis der Ableitung und ihrer Notation erfordern. Der Ausdruck gilt für QED, QCD und ϕ 3 , 4 Theorie, aber auf andere verallgemeinerbar. Für ein Diagramm wie (in ihrer Arbeit als Abbildung 1 betrachtet),

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Für diesen Fall, D 1 = D 3 = D 4 = 0 , R = 1 Und D 2 = 1 was ergibt, S = 1 / 2 wie erwartet. In Dongs Artikel für reale und komplexe Skalarfeldtheorien präsentiert er die allgemeine Formel

S = G 2 β 2 D ∏ N ( N ! ) a N

wo (Zitat aus der Zeitung): G ist die Anzahl der Knotenaustausche, die das Diagramm topologisch unverändert lassen, β ist die Anzahl der Linien, die einen Scheitelpunkt mit sich selbst verbinden, D ist die Anzahl der Doppelblasen, und a N ist die Anzahl der Knotenpaare, die durch verbunden sind N identische Zeilen.

Dies ist äußerst verwirrend, da die erste Formel eine Inverse einer ganzen Zahl erzeugt, während die zweite eine ganze Zahl erzeugt. Deutlich S − 1 ist in einem gemeint. Zweitens ist die Berücksichtigung externer Scheitelpunkte der schwierigste Teil und wird in keiner der Beschreibungen betont. Es scheint so G für dieses Diagramm ist 2 da du permutieren kannst B , C ohne die Topologie zu ändern. Die "Topologie" enthält jedoch die Labels Y , Z , also ist dieser Austausch eigentlich nicht erlaubt, also ist der einzige Beitrag von a 2 = 1.
In diesem Sinne ist Palmers Definition viel vorsichtiger formuliert: „ R ist die Anzahl der Möglichkeiten, die internen Indizes [Vertices] zu permutieren und einen identischen Satz von Propagatoren zu erzeugen". Diese Beschreibung macht deutlich, dass das Austauschen B Und C ist keine gültige Symmetrie.
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