Warum verwendet man Kreuzprodukte in der Physik?

Das ist eine großartige Frage. Die Punkt- und Kreuzprodukte erscheinen sehr mysteriös, wenn sie einem neuen Schüler zum ersten Mal vorgestellt werden. Warum hat zum Beispiel das Skalarprodukt (Punkt) einen Kosinus und das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) einen Sinus und nicht umgekehrt? Und warum tauchen diese beiden sehr nicht offensichtlichen Arten der "Multiplikation" von Vektoren in so vielen verschiedenen Kontexten auf?

Die grundlegende Antwort (die leider für neue Studenten möglicherweise nicht sehr zugänglich ist) lautet, dass es nur zwei algebraisch unabhängige Tensoren gibt, die bei beliebigen Drehungen unveränderlich sind$n$Dimensionen (wir sagen, dass sie "$\mathrm{SO}(n)$invariant"). Dies sind das Kronecker-Delta$\delta_{ij}$und das Levi-Civita-Symbol$\epsilon_{ijk \cdots}$. Das Kontrahieren zweier Vektoren mit diesen Symbolen ergibt das Punkt- bzw. Kreuzprodukt (letzteres funktioniert nur in drei Dimensionen). Da die Gesetze der Physik isotrop (dh rotationsinvariant) zu sein scheinen, ist es sinnvoll, dass jede physikalisch nützliche Methode zum Kombinieren physikalischer Größen wie Vektoren ebenfalls isotrop sein sollte. Das Punkt- und das Kreuzprodukt erweisen sich als die einzigen zwei möglichen multilinearen Optionen.

(Warum multilineare Karten in der Physik so nützlich sind, ist eine noch tiefere und grundlegendere Frage, aber welche Antworten auf diese Frage zufriedenstellend sind, ist wahrscheinlich von Natur aus Ansichtssache.)

Ein Kreuzprodukt ist stark mit einem anderen Konzept verwandt, dem Außenprodukt (oder Keilprodukt). Ein äußeres Produkt ist ein sehr natürliches Produkt, das in der Algebra vorkommt. Das äußere Produkt zweier Vektoren ist ein Bivektor, dessen Richtungen sehr natürlich sind (während das Drehmoment als Vektor im rechten Winkel zur Kraft und zum Hebelarm steht, ist es im äußeren Produkt einfach ein Bivektor, der durch zwei Richtungen definiert ist - die Kraft und die linken Arm).

Leider lassen sich Außenprodukte früh nur schwer vermitteln. Sie nehmen viel Mathematik. Kreuzprodukte sind viel einfacher zu erklären. Und wie sich herausstellt, sind Kreuzprodukte und äußere Produkte in 3 Dimensionen isometrisch. Sie verwandeln sich auf die gleiche Weise. Wenn Sie mit Cross-Produkten rechnen, erhalten Sie die gleiche Antwort wie bei Außenprodukten. Dies funktioniert nicht in allen Dimensionen (Kreuzprodukte sind eine dreidimensionale Sache, während Außenprodukte in einer beliebigen Anzahl von Dimensionen hergestellt werden können), aber es funktioniert in 3 Dimensionen, und viel Physik wird in drei Dimensionen durchgeführt!

Ich konzentriere mich auf die Geometrie von Kreuzprodukten

Kreuzprodukte werden verwendet, wenn wir uns für den Momentarm einer Menge interessieren. Das ist der Mindestabstand eines Punktes zu einer Linie im Raum.

1. Die Entfernung zu einem Strahl vom Ursprung . Ein Strahl entlang des Einheitsvektors$\boldsymbol{e}$geht durch einen Punkt$\boldsymbol{r}$im Weltraum.

   $$d = \| \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{e} || \tag{1}$$

   $d$ist der senkrechte Abstand zum Strahl (auch als Momentenarm der Linie bekannt).

2. Der Momentarm der Kraft (Drehmomentvektor) . Eine Kraft$\boldsymbol{F}$entlang$\boldsymbol{e}$verursacht das folgende Drehmoment um den Ursprung

   $$\boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F}\;\; \rightarrow \| \boldsymbol{\tau} \| = d\, \| \boldsymbol{F} \| \tag{2}$$

3. Der Momentenarm der Rotation (Geschwindigkeitsvektor) . Eine Drehung$\boldsymbol{\omega}$um die Achse$\boldsymbol{e}$bewirkt, dass sich der a-Körper am Ursprungsort umbewegt

   $$\boldsymbol{v} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{\omega}\;\; \rightarrow \| \boldsymbol{v} \| = d\, \| \boldsymbol{\omega} || \tag{3}$$

4. Der Momentarm des Momentums (Winkelmomentum) . Ein klassisches Teilchen mit Impuls$\boldsymbol{p}$entlang$\boldsymbol{e}$Drehimpuls um den Ursprung hat

   $$\boldsymbol{L} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p} \;\; \rightarrow \| \boldsymbol{L} \| = d\, \| \boldsymbol{p} \| \tag{4}$$

Es ist wirklich viel einfacher als die anderen Antworten es bisher gemacht haben. Wir verwenden das Kreuz- und Punktprodukt (und all die andere Mathematik), weil sie es uns ermöglichen, ziemlich einfache mathematische Modelle (dh die Gesetze der Physik) zu erstellen, die genau darstellen, was das Universum tatsächlich tut.

Kreuzprodukte werden häufig mit Pseudovektoren (auch bekannt als axiale Vektoren) verwendet. Weniger mit Vektoren (auch bekannt als Polarvektoren). Hier hilft es, den Unterschied zwischen axialen und polaren Vektoren zu verstehen.

Sowohl axiale als auch polare Vektoren würden Mathematiker als Vektoren betrachten. Beide sind ein Satz von 3 Koordinaten. Sie werden oft als Pfeile gezeichnet. Sie können wie Pfeile addiert und mit Zahlen multipliziert werden.

Physiker brauchen etwas mehr, um eine Größe als Vektor zu betrachten. Sie müssen eine physikalische Größe darstellen, die sich in der richtigen Weise umwandelt, wenn Sie die Basis ändern.

Polarvektoren repräsentieren Größen wie Entfernung, Geschwindigkeit, Beschleunigung und Kraft. Diese können die Bewegung eines Punktteilchens mit einer Größe und Richtung beschreiben.

Axialvektoren stellen einen anderen Satz von Größen dar, wie Winkelgeschwindigkeit und Drehimpuls. Diese beschreiben Dinge wie eine Drehbewegung in einer Ebene. Sie sind eine Größe und Orientierung der Ebene. Dies entspricht einer Bewegung um eine Achse. Sie werden oft durch einen Pfeil dargestellt, wobei der Pfeil parallel zur Achse und senkrecht zur Ebene verläuft. Ebenenorientierung umfasst die Idee von im Uhrzeigersinn vs. gegen den Uhrzeigersinn. Dies wird dargestellt, indem der Pfeil auf die eine oder andere Seite der Ebene gelegt wird, wie es die Rechte-Hand-Regel vorschreibt.

Axiale Vektoren entstehen oft als Produkt zweier senkrecht zueinander stehender polarer Vektoren.$\vec\omega = (\vec r \times \vec v)/r^2$.

Bei einem starren Objekt, das an einer Achse befestigt ist, kann sich jeder Punkt nur mit bewegen$v$senkrecht zu$r$. Aber ein freies Teilchen kann sich in jede Richtung bewegen. Für diesen Fall greift das Kreuzprodukt die Komponente aus$v$das steht senkrecht dazu$r$, die Komponente, die zur Rotation um die Achse beiträgt. Das Ergebnis ist ein Vektor senkrecht zu$v$Und$r$nach der Rechten-Hand-Regel.

Das Magnetfeld ist ein axialer Vektor. Siehe Warum ist das B-Feld ein axialer Vektor? für mehr. Das heißt, ein Strom erzeugt a$B$Feld um ihn herum, beschrieben durch magnetische Feldlinien. Bei einem geradlinigen Strom sind die Feldlinien eben und kreisförmig. Bei komplexeren Strömen sind es immer geschlossene Kurven. An jedem Punkt ist die Feldlinie die "Achse", die senkrecht zur Ebene des Magnetfelds steht.

Magnetkraft wird erzeugt, wenn sich eine Ladung in der Ebene bewegt$B$. Das heißt, wenn sich eine Ladung senkrecht zur "Achse" von B bewegt. Diese wird von eingefangen$\vec F = q\vec v \times \vec B$.

Kreuzprodukte sind von Natur aus nützlich, wenn Rotationen beschrieben werden . Schauen wir uns zunächst zwei verschiedene Möglichkeiten an, Rotationen in zu beschreiben$\mathbb{R}^{3}$.

Der erste Weg, dies zu tun, besteht darin, die Rotationsachse anzugeben , die durch eine Linie gegeben ist .$L$, In$\mathbb{R}^{3}$, und eine Größe (die den Winkel darstellt), die durch eine Zahl gegeben ist,$\theta$, In$\mathbb{R}$. Wenn ich einen Längenvektor auswähle$\theta$, entlang meiner Linie$L$, bekomme ich einen Vektor, sagen wir$x \in \mathbb{R}^{3}$.

Eine andere gute Möglichkeit, dies zu tun , besteht darin, die Ebene anzugeben, in der ich mich drehe, die ich durch zwei senkrechte Linien darstellen kann$\mathbb{R}^{3}$und eine Größe (die den Winkel darstellt), die wiederum eine Zahl in ist$\mathbb{R}$. Ich codiere diese Dinge, indem ich zwei Vektoren auswähle$v,w \in \mathbb{R}^{3}$, und sagen, dass die Größe durch das Produkt der Längen codiert ist$\|v \| \|w\|$. Dies bedeutet, dass viele verschiedene Paare von$v,w \in \mathbb{R}^{3}$Geben Sie die gleiche Drehung, aber das ist ok. (Ich kann sogar mehr unterschiedliche Paare zulassen, indem ich das nicht annehme$v$Und$w$senkrecht stehen, aber dann muss ich ihr Produkt durch die Fläche der von ihnen aufgespannten Parallelogramme ersetzen.)

Nun gibt uns das Kreuzprodukt eine Möglichkeit, zwischen diesen verschiedenen Arten der Codierung von Rotationen zu übersetzen. Um genau zu sein, wenn$x \in \mathbb{R}^{3}$und das Paar$v,w \in \mathbb{R}^{3}$beschreibe also dieselbe Drehung$x = v \times w$.

(Die Tatsache, dass viele verschiedene Paare$v,w \in \mathbb{R}^{3}$beschreiben die gleiche Drehung bedeutet, dass$x$kann auf viele verschiedene Arten als Kreuzprodukt geschrieben werden, dh es gibt viele$v',w' \in \mathbb{R}^{3}$so dass$v' \times w' = v \times w = x$.)

Nun, warum dies in der Physik auftaucht, hat keine so eindeutige Antwort, außer dass diese beiden unterschiedlichen Arten der Darstellung von Rotationen ihren Nutzen haben. Wenn Sie beispielsweise in Ihrem Beispiel von einer Ladung sprechen, die sich in einem elektrischen Feld bewegt, würde ich sagen, dass dies nur eine Tatsache der Natur ist, die experimentell festgestellt wurde.

Ein interessanter Nebeneffekt ist, dass Drehungen zusammengesetzt werden können, dh bei zwei Drehungen kann ich zuerst die eine und dann die andere machen, um eine dritte Drehung zu erhalten. Es könnte interessant sein, herauszufinden, wie dies in einem der Bilder funktioniert, die ich oben gegeben habe.

Das Kreuzprodukt ist die Darstellung der so(3)-Lie-Algebra. Dies bedeutet, dass infinitesimale Rotation durch das Kreuzprodukt dargestellt wird.

Ich bin mir nicht sicher, wie fortgeschritten Sie in Mathematik sind, daher ist es schwer zu wissen, wie viel Sie verbal hinzufügen sollen. Außerdem poste ich von einem Tablet aus, daher ist das Tippen umständlich.

Es gibt keine einheitliche Antwort, aber das Kreuzprodukt beinhaltet eine Art Drehung um eine Achse. Ob das eine physikalische Drehung oder eine mathematische Verschiebung ist, hängt von den Umständen ab.

Ein Ort, an dem das Kreuzprodukt ziemlich einfach zu verstehen ist, ist die Beziehung zwischen Drehimpuls, kinetischer Rotationsenergie und Drehmoment.

Lassen Sie mich wissen, ob Sie der Mathematik auf der Grundlage des Diagramms folgen können. Ich spreche von den Ableitungen in den Boxen. Das Zeug darunter ist unvollständig.