Was sind die genauen Aussagen von Shouryya Ray zu Teilchendynamikproblemen, die von Newton aufgeworfen wurden und von denen dieser Nachrichtenartikel behauptet, dass sie gelöst wurden?

Dieser Thread (physicsforums.com) enthält einen Link zu Shouryya Rays Poster , in dem er seine Ergebnisse präsentiert.

Das Problem besteht also darin, die Flugbahn eines Teilchens unter dem Einfluss der Schwerkraft und des quadratischen Luftwiderstands zu finden. Die maßgeblichen Gleichungen, wie sie auf dem Poster erscheinen:

$$\dot u(t) + \alpha u(t) \sqrt{u(t)^2+v(t)^2} = 0 \\ \dot v(t) + \alpha v(t) \sqrt{u(t)^2 + v(t)^2} = -g\text,$$

vorbehaltlich der Anfangsbedingungen$v(0) = v_0 > 0$und$u(0) = u_0 \neq 0$.

So (es lässt sich leicht ableiten) in seiner Notation$u(t)$ist die horizontale Geschwindigkeit,$v(t)$ist die vertikale Geschwindigkeit,$g$ist die Erdbeschleunigung, und$\alpha$ist ein Luftwiderstandsbeiwert.

Anschließend schreibt er die Lösungen auf

$$u(t) = \frac{u_0}{1 + \alpha V_0 t - \tfrac{1}{2!}\alpha gt^2 \sin \theta + \tfrac{1}{3!}\left(\alpha g^2 V_0 \cos^2 \theta - \alpha^2 g V_0 \sin \theta\right) t^3 + \cdots} \\ v(t) = \frac{v_0 - g\left[t + \tfrac{1}{2!} \alpha V_0 t^2 - \tfrac{1}{3!} \alpha gt^3 \sin \theta + \tfrac{1}{4!}\left(\alpha g^2 V_0 \cos^2 \theta - \alpha^2 g V_0 \sin \theta\right)t^4 + \cdots\right]}{1 + \alpha V_0 t - \tfrac{1}{2!}\alpha gt^2 \sin \theta + \tfrac{1}{3!}\left(\alpha g^2 V_0 \cos^2 \theta - \alpha^2 g V_0 \sin \theta\right) t^3 + \cdots}\text.$$

Aus dem Diagramm unter dem Foto von Newton sieht man das$V_0$ist die Anfangsgeschwindigkeit, und$\theta$ist der anfängliche Elevationswinkel.

Das Poster (oder zumindest der sichtbare Teil) gibt keine Auskunft über die Herleitung der Lösung. Aber einiges ist zu sehen:

• Er verwendet gleich zu Beginn die Substitution$\psi(t) = u(t)/v(t)$.

• Es gibt einen Abschnitt namens "...öße der Bewegung". Das erste Wort ist verdeckt, aber eine qualifizierte Schätzung wäre "Erhaltungsgröße der Bewegung", was als "erhaltene Größe der Bewegung" übersetzt werden würde. Hier erscheint die von David Zaslavsky beschriebene Erhaltungsgröße, modulo einige Vorzeichenprobleme.

• Dieser Abschnitt scheint jedoch ein Unterabschnitt des größeren Abschnitts "Aus der Lösung ablesbare Eigenschaften" oder "Properties that can see from the solution" zu sein. Das scheint zu implizieren, dass die Lösung das Erhaltungsgesetz impliziert, anstatt dass die Lösung aus dem Erhaltungsgesetz abgeleitet wird. Der Text in diesem Abschnitt gibt wahrscheinlich einen Hinweis, aber er ist nur teilweise sichtbar, und mein Deutsch ist eingerostet. Ich freue mich, wenn jemand anderes versucht, es zu verstehen.

• Ebenfalls Teil des größeren Abschnitts sind Unterabschnitte, in denen er aus seiner Lösung (a) die Flugbahn für klassische, widerstandsfreie Projektile, (b) einige "Lamb-Näherung" oder "Lamb-Approximation" ableitet.

• Der nächste Abschnitt heißt „Verallgemeneirungen“ oder „Verallgemeinerungen“. Hier scheint er zwei weitere Probleme mit dem Widerstand der Form zu berücksichtigen$\alpha V^2 + \beta$, bei höhenabhängigem Horizontalwind. Ich bin mir nicht sicher, was die Ergebnisse hier sind.

• Die Diagramme links scheinen die Genauigkeit und Konvergenz seiner Reihenlösung zu demonstrieren, indem sie mit Runge-Kutta verglichen werden. Obwohl der Text etwas verschwommen ist und mein Deutsch wieder eingerostet ist, bin ich mir nicht sicher.

• Hier eine grobe Übersetzung des ersten Teils der „Zusammanfassung und Ausblick“ mit entsprechenden Haftungsausschlüssen zur Richtigkeit:

• Zum ersten Mal eine vollständig analytische Lösung eines lange ungelösten Problems
• Verschiedene hervorragende Eigenschaften; insbesondere konservierte Menge$\Rightarrow$grundlegende [...] Gewinnung tiefer neuer Erkenntnisse durch die vollständigen analytischen Lösungen (vor allem [...] sollen Perspektiven und Annäherungen gewonnen werden)
• Konvergenz der Lösung numerisch nachgewiesen
• Lösungsskizze für zwei Verallgemeinerungen

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EDIT: Zwei Professoren der TU Dresden, die die Arbeit von Herrn Ray gesehen haben, haben einige Kommentare geschrieben:

Kommentare zu einigen neueren Arbeiten von Shouryya Ray

Dort werden die von ihm gelösten Fragen eindeutig angegeben, so dass alle offenen Fragen beantwortet werden sollten.

EDIT2: Ich sollte hinzufügen: Ich bezweifle nicht, dass Shouryya Ray ein sehr intelligenter junger Mann ist. Die von ihm angegebene Lösung kann vielleicht mit Standardmethoden erhalten werden. Ich glaube jedoch, dass er die Lösung entdeckte, ohne sich bewusst zu sein, dass die Methoden Standard waren, eine wirklich bemerkenswerte Leistung. Ich hoffe, dass ihn dieses Ereignis nicht entmutigt hat; Zweifellos wird er eines Tages ein erfolgreicher Physiker oder Mathematiker sein, sollte er diesen Weg einschlagen.

Es ist in der Tat ziemlich schwierig, Informationen darüber zu finden, warum genau dieses Projekt so viel Aufmerksamkeit auf sich gezogen hat. Was ich aus Kommentaren auf verschiedenen Websites und einigen Bildern (hauptsächlich diesem ) zusammengefügt habe, ist, dass Shouryya Ray die folgende Bewegungskonstante für Projektilbewegungen mit quadratischem Widerstand entdeckt hat:

$$\frac{g^2}{2v_x^2} + \frac{\alpha g}{2}\left(\frac{v_y\sqrt{v_x^2 + v_y^2}}{v_x^2} + \sinh^{-1}\biggl|\frac{v_y}{v_x}\biggr|\right) = \text{const.}$$

Dies gilt für ein Teilchen, das einer quadratischen Widerstandskraft ausgesetzt ist,

$$\vec{F}_d = -m\alpha v\vec{v}$$

Es lässt sich leicht verifizieren, dass die Konstante konstant ist, indem man die zeitliche Ableitung nimmt und die Bewegungsgleichungen einsetzt

$$\begin{align}\frac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}t} &= -\alpha v_x\sqrt{v_x^2 + v_y^2} \\ \frac{\mathrm{d}v_y}{\mathrm{d}t} &= -\alpha v_y\sqrt{v_x^2 + v_y^2} - g\end{align}$$

Die vorherrschende Meinung ist, dass dies vorher nicht bekannt war, obwohl einige Leute behaupten, es in alten Lehrbüchern gesehen zu haben (allerdings nie mit einer Referenz, also nehmen Sie es für was Sie wollen).

Ich habe nichts Konkretes darüber gehört, wie dies in die Praxis umgesetzt werden könnte, obwohl dies vielleicht Teil der technischen Details des Projekts ist. Es ist bereits möglich, ballistische Flugbahnen mit Luftwiderstand mit sehr hoher Genauigkeit mit numerischen Methoden zu berechnen, und das Vorhandensein dieser Konstante führt meines Wissens nicht direkt zu einer neuen Methode zur Berechnung von Flugbahnen.

I) Hier möchten wir eine hamiltonsche Formulierung eines Punktteilchens in einem konstanten Gravitationsfeld mit quadratischem Luftwiderstand geben

$$\tag{1} \dot{u}~=~ -\alpha u \sqrt{u^2+v^2}, \qquad \dot{v}~=~ -\alpha v \sqrt{u^2+v^2} -g.$$

Das$u$und$v$sind die horizontale bzw. vertikale Geschwindigkeit. Ein Punkt oben kennzeichnet die zeitliche Differenzierung$t$. Die beiden positiven Konstanten$\alpha>0$und$g>0$kann durch Skalierung der drei Variablen auf eins gesetzt werden

$$\tag{2} t'~=~\sqrt{\alpha g}t, \qquad u'~=~\sqrt{\frac{\alpha}{g}}u, \qquad v'~=~\sqrt{\frac{\alpha}{g}}v.$$

Siehe z. B. Ref.-Nr. [1] für eine allgemeine Einführung in Hamiltonsche und Lagrangesche Formulierungen.

II) Definiere zwei kanonische Variablen ( verallgemeinerter Ort und Impuls) als

$$\tag{3} q~:=~ -\frac{v}{|u|}, \qquad p~:=~ \frac{1}{|u|}~>~0.$$

(Die Position$q$ist (bis auf Zeichen) Shouryya Ray$\psi$variabel und das Momentum$p$ist (bis auf einen multiplikativen Faktor) Shouryya Ray 's$\dot{\Psi}$Variable. Wir nehmen an$^\dagger$der Einfachheit halber das$u\neq 0$.) Dann werden die Bewegungsgleichungen (1).

$$\tag{4a} \dot{q}~=~ gp,$$ $$\tag{4b} \dot{p}~=~ \alpha \sqrt{1+q^2}.$$

III) Gleichung (4a) legt nahe, dass wir identifizieren sollten$\frac{1}{g}$mit Masse

$$\tag{5} m~:=~ \frac{1}{g},$$

sodass wir den Standardausdruck haben

$$\tag{6} p~=~m\dot{q}$$

für den Impuls eines nichtrelativistischen Punktteilchens. Lassen Sie uns außerdem die kinetische Energie definieren

$$\tag{7} T~:=~\frac{p^2}{2m}~=~ \frac{gp^2}{2}.$$

IV) Gleichung (4b) und das zweite Newtonsche Gesetz legen nahe, dass wir eine modifizierte Hookesche Kraft definieren sollten

$$\tag{8} F(q)~:=~ \alpha \sqrt{1+q^2}~=~-V^{\prime}(q),$$

wobei das Potential durch (minus) die Stammfunktion gegeben ist

$$V(q)~:=~ - \frac{\alpha}{2} \left(q \sqrt{1+q^2} + {\rm arsinh}(q)\right)$$ $$\tag{9} ~=~ - \frac{\alpha}{2} \left(q \sqrt{1+q^2} + \ln(q+\sqrt{1+q^2})\right).$$

Beachten Sie, dass dies einer instabilen Situation entspricht, da die Kraft$F(-q)~=~F(q)$ist eine gerade Funktion, während das Potential$V(-q) = - V(q)$ist eine monotone ungerade Funktion der Position$q$.

Es ist verlockend, eine Winkelvariable zu definieren$\theta$wie

$$\tag{10} q~=~\tan\theta,$$

so dass die entsprechende Kraft und das Potential angezeigt werden

$$\tag{11} F~=~\frac{\alpha}{\cos\theta} , \qquad V~=~- \frac{\alpha}{2} \left(\frac{\sin\theta}{\cos^2\theta} + \ln\frac{1+\sin\theta}{\cos\theta}\right).$$

V) Der Hamiltonoperator ist die gesamte mechanische Energie

$$H(q,p)~:=~T+V(q)~=~\frac{gp^2}{2}- \frac{\alpha}{2} \left(q \sqrt{1+q^2} + {\rm arsinh}(q)\right)$$ $$\tag{12}~=~\frac{g}{2u^2} +\frac{\alpha}{2} \left( \frac{v\sqrt{u^2+v^2}}{u^2} + {\rm arsinh}\frac{v}{|u|}\right).$$

Seit dem Hamiltonian$H$enthält keine explizite Zeitabhängigkeit, die mechanische Energie (12) bleibt in der Zeit erhalten, was Shouryya Rays erstes Bewegungsintegral ist.

$$\tag{13} \frac{dH}{dt}~=~ \frac{\partial H}{\partial t}~=~0.$$

VI) Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen sind Gl. (4). Angenommen, wir wissen es$q(t_i)$und$p(t_i)$zu irgendeinem Anfangszeitpunkt$t_i$, und wir würden gerne finden$q(t_f)$und$p(t_f)$in einem letzten Moment$t_f$.

Der Hamiltonian$H$ist der Generator der Zeitentwicklung. Wenn wir die kanonische zeitgleiche Poisson-Klammer einführen

$$\tag{14} \{q(t_i),p(t_i)\}~=~1,$$

dann (minus) lautet das Hamiltonsche Vektorfeld

$$\tag{15} -X_H~:=~-\{H(q(t_i),p(t_i)), \cdot\} ~=~ gp(t_i)\frac{\partial}{\partial q(t_i)} + F(q(t_i))\frac{\partial}{\partial p(t_i)}.$$

Lassen Sie uns der Vollständigkeit halber erwähnen, dass in Bezug auf die ursprünglichen Geschwindigkeitsvariablen die Poisson-Klammer lautet

$$\tag{16} \{v(t_i),u(t_i)\}~=~u(t_i)^3.$$

Wir können eine formale Lösung für Position, Impuls und Kraft schreiben, als

$$q(t_f) ~=~ e^{-\tau X_H}q(t_i) ~=~ q(t_i) - \tau X_H[q(t_i)] + \frac{\tau^2}{2}X_H[X_H[q(t_i)]]+\ldots \qquad$$ $$\tag{17a} ~=~ q(t_i) + \tau g p(t_i) + \frac{\tau^2}{2}g F(q(t_i)) +\frac{\tau^3}{6}g \frac{g\alpha^2p(t_i)q(t_i)}{F(q(t_i))} +\ldots ,\qquad$$ $$p(t_f) ~=~ e^{-\tau X_H}p(t_i) ~=~ p(t_i) - \tau X_H[p(t_i)] + \frac{\tau^2}{2}X_H[X_H[p(t_i)]]+\ldots\qquad$$ $$~=~p(t_i) + \tau F(q(t_i)) +\frac{\tau^2}{2}\frac{g\alpha^2p(t_i)q(t_i)}{F(q(t_i))}$$ $$\tag{17b} + \frac{g\alpha^2\tau^3}{6} \left(q(t_i) + \frac{g\alpha^2 p(t_i)^2}{F(q(t_i))^3}\right) +\ldots ,\qquad$$ $$F(q(t_f)) ~=~ e^{-\tau X_H}F(q(t_i))$$ $$~=~ F(q(t_i)) - \tau X_H[F(q(t_i))] + \frac{\tau^2}{2}X_H[X_H[F(q(t_i))]] + \ldots\qquad$$ $$\tag{17c}~=~ F(q(t_i)) + \tau \frac{g\alpha^2p(t_i)q(t_i)}{F(q(t_i))} +\frac{g(\alpha\tau)^2}{2}\left(q(t_i) +\frac{g\alpha^2 p(t_i)^2}{F(q(t_i))^3}\right) +\ldots ,\qquad$$

und jeden Auftrag rechtzeitig kalkulieren$\tau:=t_f-t_i$, wir würden gerne. (Man beachte zur Kontrolle, dass wenn man (17a) nach der Zeit differenziert$\tau$, erhält man (17b) multipliziert mit$g$, und wenn man (17b) zeitlich differenziert$\tau$, erhält man (17c), vgl. Gl. (4).) Auf diese Weise können wir eine Taylorentwicklung in der Zeit erhalten$\tau$des Formulars

$$\tag{18} F(q(t_f)) ~=~\alpha\sum_{n,k,\ell\in \mathbb{N}_0} \frac{c_{n,k,\ell}}{n!}\left(\tau\sqrt{\alpha g}\right)^n \left(p(t_i)\sqrt{\frac{g}{\alpha}}\right)^k \frac{q(t_i)^{\ell}}{(F(q(t_i))/\alpha)^{k+\ell-1}}.$$

Die dimensionslosen universellen Konstanten$c_{n,k,\ell}=0$Null sind, wenn entweder$n+k$oder$\frac{n+k}{2}+\ell$sind keine gerade ganze Zahl. Wir haben einen geschlossenen Ausdruck

$$F(q(t_f)) ~\approx~ \exp\left[\tau gp(t_i)\frac{\partial}{\partial q(t_i)}\right]F(q(t_i)) ~=~ F(q(t_i)+\tau g p(t_i))$$ $$\tag{19} \qquad \text{for} \qquad ~ p(t_i)~\gg~\frac{ F(q(t_i))}{\sqrt{\alpha g}},$$

dh wenn wir den zweiten Term im Hamiltonschen Vektorfeld (15) ignorieren können.

VII) Die entsprechende Lagrange-Funktion ist

$$\tag{20} L(q,\dot{q})~=~T-V(q)~=~\frac{\dot{q}^2}{2g}+ \frac{\alpha}{2} \left(q \sqrt{1+q^2} + {\rm arsinh}(q)\right)$$

mit Lagrange-Bewegungsgleichung

$$\tag{21} \ddot{q}~=~ \alpha g \sqrt{1+q^2}.$$

Dies ist im Wesentlichen Shouryya Rays$\psi$Gleichung.

Verweise:

1. Herbert Goldstein, Klassische Mechanik.

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$^\dagger$Beachten Sie, dass wenn$u$irgendwann null wird, bleibt es in der Zukunft null, vgl. Gl. (1). Wenn$u\equiv 0$identisch, dann wird Gl. (1).

$$\tag{22} -\dot{v} ~=~ \alpha v |v| + g.$$

Die Lösung von Gl. (22) für negativ$v\leq 0$ist

$$\tag{23} v(t) ~=~ -\sqrt{\frac{g}{\alpha}} \tanh(\sqrt{\alpha g}(t-t_0)) , \qquad t~\geq~ t_0,$$

wo$t_0$ist eine Integrationskonstante. Im Algemeinen,

$$\tag{24} (u(t),v(t)) ~\to~ (0, -\sqrt{\frac{g}{\alpha}}) \qquad \text{for} \qquad t ~\to~ \infty ,$$

während

$$\tag{25} (q(t),p(t)) ~\to~ (\infty,\infty) \qquad \text{for} \qquad t~\to~ \infty.$$