Warum ist der Kollaps der Wellenfunktion immer nicht unitär?

Question

Warum ist der Kollaps der Wellenfunktion immer nicht unitär?

Physik
Einheitlichkeit
Quantenmechanik

Benutzer9875

Der 'Kollaps der Wellenfunktion' bei der Messung wird üblicherweise als nicht-einheitliche Transformation bezeichnet, da er die Norm des Zustandsvektors nicht bewahrt. In der Tat, wenn eine lineare Überlagerung wie $\psi + \phi$ zusammenbricht, sagen wir einfach $\phi$ , Dann $||\psi+\phi|| \neq ||\phi||$ .

Aber was wenn $\psi + \phi$ stürzt ein $\alpha \phi$ Wo $\alpha$ ist so das $||\alpha \phi|| = ||\psi + \phi||$ . Dann bleibt die Norm erhalten, und $\alpha \phi$ unterscheidet sich nur von $\phi$ durch eine Konstante, stellt also den gleichen Zustand wie dar $\phi$ . Wäre diese Art des Zusammenbruchs nicht eine einheitliche Transformation, und wenn ja, warum können nicht alle Arten des Staatszusammenbruchs so behandelt werden?

Ján Lalinský

"als nicht-einheitliche Transformation, da sie die Norm des Zustandsvektors nicht beibehält" Dies ist nicht der Grund, warum der Kollaps nicht-einheitlich ist. Der Grund ist, dass viele verschiedene Psi-Funktionen funktionieren

ψ

$\psi$ enden in einer der Eigenfunktionen des Operators, der der gemessenen Größe entspricht, und der Prozess ist somit irreversibel; man kann aus dem resultierenden Zustand nicht auf den ursprünglichen Zustand schließen. Zum Beispiel, wenn Spin-Projektion

s_{z}

$s_z$ gemessen wird, alles möglich

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$ entweder zu gehen

| z + ⟩

$|z+\rangle$ oder

| z - ⟩

$|z-\rangle$ .

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Warum ist der Kollaps der Wellenfunktion immer nicht unitär?

"als nicht-einheitliche Transformation, da sie die Norm des Zustandsvektors nicht beibehält" Dies ist nicht der Grund, warum der Kollaps nicht-einheitlich ist. Der Grund ist, dass viele verschiedene Psi-Funktionen funktionieren $\psi$ enden in einer der Eigenfunktionen des Operators, der der gemessenen Größe entspricht, und der Prozess ist somit irreversibel; man kann aus dem resultierenden Zustand nicht auf den ursprünglichen Zustand schließen. Zum Beispiel, wenn Spin-Projektion $s_z$ gemessen wird, alles möglich $|\psi\rangle$ entweder zu gehen $|z+\rangle$ oder $|z-\rangle$ .

udrv · Answer 1

Dafür gibt es zwei Gründe: 1) Eine einheitliche Transformation bewahrt die Norm $\left\|\psi \right\| = \langle \psi | \psi \rangle$ , aber nicht nur die Norm. 2) Eine Quantenmessung muss einen Zustand erzeugen, der durch eine wiederholte identische Messung nicht beeinflusst wird.

Im Allgemeinen eine einheitliche Transformation $U$ , $U^\dagger U = U U^\dagger = I$ , behält Überschneidungen bei:

⟨ U ϕ | U ψ ⟩ = ⟨ ϕ | U^{†} U | ψ ⟩ = ⟨ ϕ | ψ ⟩

$\langle U\phi | U\psi\rangle = \langle \phi |U^\dagger U |\psi \rangle = \langle \phi | \psi \rangle$ Angenommen, ein normalisierter Zustand lautet

a ψ + b ϕ

$a\psi + b\phi$ vor dem Zusammenbruch, für orthogonal und normalisiert

ψ

$\psi$ Und

ϕ

$\phi$ ,

⟨ ϕ | ψ ⟩ = 0

$\langle \phi | \psi \rangle = 0$ ,

⟨ ψ | ψ ⟩ = ⟨ ϕ | ϕ ⟩ = 1

$\langle \psi|\psi \rangle = \langle \phi|\phi \rangle = 1$ , Und

| a |^{2} + | b |^{2} = 1

$|a|^2 + |b|^2 = 1$ so dass

‖ a ψ + b ϕ ‖ = ⟨ a ψ + b ϕ | a ψ + b ϕ ⟩ = 1

$\left\|a\psi + b\phi \right\| = \langle a\psi + b\phi| a\psi + b\phi \rangle = 1$ . Lassen

a ψ + b ϕ

$a\psi + b\phi$ zusammenbrechen

ϕ

$\phi$ bei der Messung. Definitionsgemäß muss eine 2. identische Messung erfolgen

ϕ

$\phi$ unverändert. Wenn der Zusammenbruch eine einheitliche Entwicklung wäre, so dass

U (a ψ + b ϕ) = ϕ

$U(a\psi + b\phi) = \phi$ , dann die gleiche Messung weiter

ϕ

$\phi$ müsste dazu führen

U ϕ = ϕ

$U\phi = \phi$ . Das Einheitliche

U

$U$ würde in der Tat die Norm bewahren, da

‖ a ψ + b ϕ ‖ = ‖ U (a ψ + b ϕ) ‖ = ‖ ϕ ‖ = 1

U

$U$ sollte auch die Überlappung erhalten

⟨ ϕ | a ψ + b ϕ ⟩ = b

$\langle \phi | a\psi + b \phi \rangle = b$ , während stattdessen

⟨ U ϕ | U (A ψ + B ϕ) ⟩ = ⟨ ϕ | ϕ ⟩ = 1 > B

$\langle U\phi | U(a\psi + b \phi) \rangle = \langle \phi | \phi \rangle = 1 > b$ Da wir uns bereits um Normalisierungen gekümmert haben, gibt es keine Möglichkeit, den obigen Widerspruch durch eine Neuskalierung von zu beseitigen

ϕ

$\phi$ . Der Zusammenbruch kann also nicht einheitlich sein.

Ein schnellerer Weg, um zu derselben Schlussfolgerung zu gelangen, besteht darin, den Kollaps aus einem gemischten Anfangszustand zu betrachten $\rho$ , $\rho \neq \rho^2$ . Das Ergebnis des Zusammenbruchs wäre immer noch ein reiner Zustand, so in diesem Fall $U$ müsste einen gemischten Zustand in einen reinen Zustand überführen. Aber unitäre Transformationen nehmen immer reine Zustände in reine Zustände, also kann dies wiederum nicht funktionieren.

Wow, danke, ich helfe gerne. Bisher keine Bücher, fürchte ich. Was Kohärenz- und Informationsverlust betrifft, ja, absolut, obwohl Kohärenz ein relativer Begriff ist. Informationen funktionieren besser und das Argument ist unmittelbar für gemischte Zustände, in denen Informationen offensichtlich verloren gehen. Für reine Zustände sagt die Entropie als Info nicht viel aus, aber die Überlappung schon.
Schaue gleich mal rein, poste aber morgen. Als allgemeine Idee ist das Nehmen der partiellen Spur jedoch äquivalent zum Extrahieren einer partiellen Wahrscheinlichkeitsverteilung aus gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten.
@ user929304 Tut mir leid, dass ich es nicht geschafft habe, früher zu posten, aber schau mal bei physical.stackexchange.com/questions/204100/… und lass es mich wissen, wenn du weitere Fragen hast. Ich hoffe es hilft!

Timäus · Answer 2

Ein unitärer Operator bewahrt nicht nur Normen, er ist auch linear. Darin liegt das eigentliche Problem.

Er muss einen normalisierten Eigenzustand des Operators an sich selbst senden. Es müsste also jeden Zustand durch Linearität an sich selbst senden.

Warum ist der Kollaps der Wellenfunktion immer nicht unitär?

Benutzer9875

Ján Lalinský

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Timäus

Lorentz-Transformation, implementiert durch einen nicht einheitlichen Operator.

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