Wie kann ich mit einem Magneten eine Büroklammer anheben?

Wichtig dabei ist, dass ein magnetischer Dipol, wie ein Dauermagnet oder induzierter Magnetismus in eisenhaltigem Material, ein ungleichmäßiges Feld erzeugt .

Die potentielle Energie eines magnetischen Dipols$\vec\mu$in einem Magnetfeld$\vec B$Ist

Der Gradient eines Skalarprodukts hat jedoch eine überraschend komplizierte Erweiterung , die Sie überprüfen können, indem Sie alle Komponententerme erweitern.

1. Wenn$\vec \mu, \vec B$parallel sind, verspürt der Dipol eine Kraft in zunehmender Richtung$|B|$

2. Wenn$\vec\mu, \vec B$antiparallel sind, spürt der Dipol eine Kraft in abnehmender Richtung$|B|$

3. Wenn$\vec\mu, \vec B$nicht parallel sind, spürt der Dipol ein Drehmoment, das ihn dazu bringt, sich mit dem Feld auszurichten.

Das ist so ziemlich meine Erfahrung mit Permanentmagneten. Damit sich Permanentmagnete abstoßen, müssen Sie ihre Rotation irgendwie einschränken; Was sie gerne tun, ist, sich umzudrehen und anzuziehen. Induzierter Magnetismus (z. B. Büroklammern) ist das Ergebnis vieler mikroskopisch kleiner Rückstellmomente.

Sie können das gleiche Ergebnis finden, indem Sie feststellen, dass die in einem Volumenelement gespeicherte Energie ein magnetisches Feld ist$dU = (\vec H \cdot \vec B) d^3x$, und Finden der Anordnung von Magneten, die das Volumen des starken Feldes minimiert. Dies ist relativ intuitiv für parallele Dipole, die Ende an Ende ausgerichtet sind und ein starkes Feld im leeren Raum zwischen den Magneten haben, und auch für antiparallele Dipole, die Seite an Seite angeordnet sind, wo sich die "Rückkehrfelder" zwischen den Dipolen addieren. Um die abstoßenden Fälle zu sehen, müssen Sie jedoch ein unordentliches Integral über die Randfelder durchführen, um zu bestätigen, dass die Konfigurationen mit entfernten Dipolen weniger gespeicherte Energie haben als die Konfigurationen mit nahen, aber nicht überlappenden Dipolen.

Was das Argument angeht, dass die Lorentzkraft

Ich möchte der akzeptierten Antwort eine Ergänzung hinzufügen. Die akzeptierte Antwort ist eine ausgezeichnete Ableitung, die auf physikalischen Prinzipien basiert, aber nachdem ich sie gelesen hatte, kam ich nicht umhin, das Gefühl zu haben, dass die Antwort viel abstrakter ist als die Frage. Dadurch fühlt es sich an, als würde das Mysterium von der ursprünglichen Frage „Wie können magnetische Kräfte funktionieren?“ entfernt. zu "Warum ist die potentielle Energie eines magnetischen Dipols gegeben durch$-\vec{\mu} \cdot \vec{B}$?" Nun, natürlich ist es möglich, die letztere Frage auf verschiedene Weise zu beantworten (z. B. könnte man diese Antwort für eine Stromschleife nehmen und die Schleife dann unendlich klein machen). Ich möchte jedoch dieses Problem ansprechen aus rein intuitiver Sicht und verwenden nichts als die Lorentz-Kraft und die Maxwell-Gleichungen.

Bevor ich beginne, möchte ich anmerken, dass mehrere Antworten hier und anderswo das grundlegende Problem angesprochen haben, nämlich dass ein Dipol nicht dasselbe ist wie ein geladenes Teilchen. (Sehr locker gesprochen kann man sich einen Dipol als einen Strom oder mehrere sich bewegende geladene Teilchen vorstellen, deren elektrische Nettoladung Null ist und die in einer bestimmten Konfiguration festsitzen. Man kann also die geleistete "Arbeit" den Kräften zuschreiben, die die halten Dipol zusammen, oder, je nach betrachtetem Fall, zu Kräften, die eine Ansammlung von Dipolen zusammenhalten, oder zu anderen Kräften, die für eine bestimmte Situation spezifisch sind.) Obwohl dies klar auf den grundlegenden Fehler in der Argumentation hinweist, gibt es immer noch keine konkrete Aussage geistiges Bild dafür, wie die Lorentz-Kraft dazu führt, dass die Arbeit verrichtet wird.

Intuitives Argument

Stellen Sie sich der Einfachheit halber vor, dass ein Stabmagnet aus einer Ansammlung magnetischer Dipole besteht, die alle parallel zu den liegen$z$Achse. Jeder dieser magnetischen Dipole kann durch eine infinitesimale Stromschleife ersetzt werden, daher ist es vernünftig, sich vorzustellen, dass der gesamte Magnet durch eine große Stromschleife in einer durch definierten Ebene ersetzt wird$z=\textrm{const}$. Das gibt uns den Vorteil, uns den Magneten als eine Ansammlung sich bewegender Teilchen vorzustellen, sodass wir uns auf die Lorentzkraft beziehen können. Das einfachste Modell einer solchen Stromschleife ist ein Widerstandsdraht, der an einer Batterie befestigt ist.

Anstatt die Wechselwirkung zwischen dieser Stromschleife und einer Büroklammer oder einem zweiten Stabmagneten zu betrachten, wollen wir das Problem vereinfachen, indem wir postulieren, dass es ein externes, zeitinvariantes Magnetfeld gibt, dessen Quelle weit entfernt ist. Die Frage ist, ob dieses Magnetfeld an der Stromschleife arbeiten kann.

Betrachten Sie drei Fälle:

1. Das externe Magnetfeld$\vec{B}$hat eine Komponente, die nicht in der ist$z$Richtung.

   In diesem Fall ist es sehr einfach, ein Bild zu zeichnen und anhand des Lorentz-Gesetzes zu bestätigen, dass die Schleife typischerweise eine Nettokraft oder ein Nettodrehmoment erfährt und daher daran gearbeitet wird. Dies wird hier quantitativ untersucht .

   • Betrachten Sie den Fall, in dem die Schleife ein Kreis ist und$\vec{B}$enthält eine Komponente, die radial nach außen geht. Es wird eine Nettokraft in der geben$z$Richtung.

   • Betrachten Sie den Fall, wo$\vec{B}$ist einheitlich. Es wird ein Nettodrehmoment, aber keine Nettokraft geben.

2. Das externe Magnetfeld$\vec{B}$ist parallel zu$z$, variiert aber im Raum im Wert.

   Dies ist eine Verletzung der Maxwell-Gleichungen, die erfordern$\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = \frac{\partial B_z}{\partial z} = 0$. Also können wir diesen Fall ignorieren.

3. Das externe Magnetfeld$\vec{B}$ist parallel zu$z$und einheitlich. In diesem Fall gibt es weder eine Nettokraft noch ein Nettodrehmoment, also gibt es kein zu erklärendes Rätsel.

zusätzliche Kommentare

Es gibt ein paar Details, die ich durch das Schreiben des obigen Arguments berücksichtigen musste.

Näheres zu Fall 2

Erstens kann die Interpretation von Fall 2 etwas komplizierter sein als das, was ich oben geschrieben habe. Dies liegt an der Idealisierung des Drahtes als eindimensional. Man könnte den Draht so anordnen, dass auf dem Draht$\vec{B}$ist parallel zu$z$und hat eine konstante Größe, aber$\vec{B}$kommt drauf an$x$Und$y$so dass$\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0$, Und$B_z$Änderungen aus dem Draht. (Ich bin mir nicht ganz sicher, ob der Bau eines solchen$\vec{B}$das global befriedigt$\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0$ist möglich, aber ich gehe im Moment davon aus, dass es so ist.)

Die Kraft in diesem Fall wäre die gleiche wie in Fall 3, dh

Bezug zum Modell eines Dipols als infinitesimale Drahtschleife

Ein weiterer zu berücksichtigender Punkt ist, wie sich die in dieser Antwort vorgestellten Argumenttypen auf den Ausdruck beziehen, der in der akzeptierten Antwort für einen infinitesimalen Dipol angegeben ist. Dort für einen Dipol mit$\vec{\mu} = \mu \hat{z}$, die Kraft auf den Dipol ist gegeben durch$\mu \partial_z B_z \hat{z}$. Im letzten Absatz habe ich jedoch zugegeben, dass es zumindest für eine endliche Schleife möglich sein kann, ein Magnetfeld zu entwickeln, bei dem ähnliche Bedingungen erfüllt sind, aber die Kraft null ist.

Der Schlüssel hier ist zu erkennen, dass die Maxwell-Gleichungen für einen infinitesimalen Dipol eine sehr starke Einschränkung auf die Beziehung zwischen setzen$\partial_z B_z$und die anderen Feldkomponenten entlang des Drahtes. Nehmen Sie der Einfachheit halber den Fall, in dem der Draht eine Radiusschleife ist$a$im Flugzeug$z=0$und wir werden daran interessiert sein, wo die Grenze zu nehmen$a$ist sehr klein. In der Mitte der Schleife,$\vec{B}(\vec{0})=B_0 \hat{z}$. eNehmen Sie außerdem an, dass das Magnetfeld radialsymmetrisch ist. Ich werde Zylinderkoordinaten verwenden und unterdrücken$\phi$(wegen Symmetrie) und$z$(weil uns nur das Flugzeug interessiert$z=0$). Auf der Schleife hat das Feld die Form

Der Punkt ist, dass Maxwells Gleichungen erfordern, dass Sie keinen Wert ungleich Null haben dürfen$\partial_z B_z$ohne auch eine von Null verschiedene Ableitung für andere Komponenten des Magnetfelds zu haben, und wir haben bereits gesehen, wie die anderen Komponenten eine Kraft in der verursachen können$z$Richtung.

Es ist eine experimentelle Tatsache , dass Atome und Moleküle magnetische Momente haben. Auch Elementarteilchen mit Spin haben magnetische Momente sowie Protonen und Neutronen.

Nicht die klassische Mechanik wird das Verhalten von Atomen und Molekülen beschreiben, sondern die Quantenmechanik.

Quantenmechanische theoretische Modelle des Magnetismus existieren, und schon früh in der Geschichte der Physik für den Ferromagnetismus .

Sie sind also keine wirklich neuen Konzepte, sondern so alt wie die Quantenmechanik.

Bearbeiten, um zu antworten:

Eine Büroklammer besteht aus geladenen Teilchen: Elektronen und Kernen. Magnetfelder können geladene Teilchen nicht bearbeiten.

Aber sie können an magnetischen Dipolmomenten arbeiten.

Der Magnet übt jedoch eine unbestreitbare Anziehungskraft auf die Büroklammer aus, und diese Kraft kann sie in einem Potentialtopf anheben, also funktioniert sie.

Ein magnetisches Potential kann makroskopisch definiert werden.

Ein magnetisches Dipolmoment in einem Magnetfeld besitzt potentielle Energie, die von seiner Ausrichtung in Bezug auf das Magnetfeld abhängt. Da magnetische Quellen von Natur aus Dipolquellen sind, die man sich als Stromschleife mit Strom I und Fläche A vorstellen kann, wird die Energie üblicherweise als magnetisches Dipolmoment ausgedrückt:

Die Energie wird als Skalarprodukt ausgedrückt und impliziert, dass die Energie am niedrigsten ist, wenn das magnetische Moment mit dem Magnetfeld ausgerichtet ist. Der Energieunterschied zwischen ausgerichtet und anti-ausgerichtet ist

Der Ausdruck für magnetische potentielle Energie kann aus dem Ausdruck für das magnetische Drehmoment in einer Stromschleife entwickelt werden.

Diese Beziehungen für eine endliche Stromschleife erstrecken sich auf die magnetischen Dipole von Elektronenbahnen und auf die intrinsischen magnetischen Momente, die mit Elektronenspin und Kernspin verbunden sind.

Der Magnet übt jedoch eine unbestreitbare Anziehungskraft auf die Büroklammer aus, und diese Kraft kann sie in einem Potentialtopf anheben, also funktioniert sie.

Es stimmt, dass die Lorentzkraft keine Arbeit verrichten kann. Wie andere darauf hingewiesen haben, kann ein ungleichmäßiges Magnetfeld an intrinsischen Dipolen arbeiten. Ich denke, dass noch etwas anderes hervorgehoben werden sollte: Das Magnetfeld kann am elektrischen Feld arbeiten, das dann an geladenen Teilchen arbeitet. Siehe: das Phänomen der magnetischen Induktion, bei dem ein sich änderndes Magnetfeld ein elektrisches Feld erzeugt, das funktioniert.