Unschärferelation in der Quantenfeldtheorie

Es gibt einige Möglichkeiten, in QFT eine ähnliche Aussage wie in QM zu machen. In diesem Fall$X$Und$P$muss durch die analogen Objekte in der QFT ersetzt werden, den Feldoperator und seinen konjugierten Impuls. Betrachten Sie ein quantenskalares Feld$\phi$und die gleiche Zeit CCR:

$$[\phi(t, \vec{x}), \pi(t, \vec{y})] = i\hbar \delta(\vec{x}-\vec{y}) I \:.$$ Die strenge Version lautet: $$[\phi(t, f), \pi(t, g)] = i\hbar (f|g) I$$ Wo $f,g : \mathbb R^3 \to \mathbb R$sind räumliche Schmiertestfunktionen und $$(f|g)= \int _{\mathbb R^3} \overline{f(\vec{x})} g(\vec{x}) d^3x\:.$$ Mit dem gleichen Verfahren wie für Standard-CCR erhalten Sie es problemlos $$\Delta \phi(t, f)_\Psi \:\Delta \pi(t, g)_\Psi \geq \frac{\hbar}{2} |(f|g)|$$ für jeden normalisierten Vektorzustand $\Psi$die zur Domäne von gehört $\phi(t, f), \pi(t, g)$und ihre Kräfte zweiter Ordnung. Insbesondere sieht man das wenn $f$Und $g$disjunkte Stützen haben, $|(f|g)|=0$, so dass $\Delta \phi(t, f)_\Psi \:\Delta \pi(t, g)_\Psi \geq 0$, in Übereinstimmung mit der Tatsache, dass $\phi(t, f)$Und $\pi(t, g)$pendeln in dem fall...

Die Quantenfeldtheorie ist im Wesentlichen auf der Theorie der Quantenmechanik für endlich viele Freiheitsgrade modelliert. Mit den Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren kann man das Analogon zu den Orts- und Impulsoperatoren definieren$q$Und$p$wie die Schließungen von

$$q_0(x) = \frac1{\sqrt2}[a(x) - a(x)^*],\qquad p_0(x) = \frac i{\sqrt2}[a(x)+a(x)^*]$$ bzw. Die Heisenberg-Beziehungen sind dann $$[q(x),p(y)] = i (x,y)I,$$ für jedes Paar von Vektoren$x,y$im Einteilchen-Hilbert-Raum.

Dieselben Beziehungen kommen direkt aus den kanonischen Feldern$\phi$Und$\pi$, die die Heisenberg-Beziehungen zu einem bestimmten Zeitpunkt erfüllen, sagen wir$t=0$. Durch die Wahl einer orthonormalen Basis$\{e_n\}$des Einteilchen-Hilbert-Raums eingestellt werden kann

$$q_k = \phi(e_k),\qquad p_k=\pi(e_k),$$ woher $$[q_i,q_k]=[p_i,p_k] = 0,\qquad [q_i,p_k] = i\delta_{ik}I.$$

Da die Unbestimmtheitsrelationen direkt aus den Heisenberg-Relationen stammen, hat man sie für die Freiheitsgrade der Theorie, aber es gibt keine Verbindung zwischen ihnen und den Koordinaten der Raumzeit.