Die in QM verwendete Wahrscheinlichkeitstheorie unterscheidet sich aus folgendem Grund wesentlich von der üblicherweise verwendeten: Der Ereignisraum ist nicht-distributiv (genauer gesagt nicht-boolesch ), und diese Tatsache beeinflusst die bedingte Wahrscheinlichkeitstheorie tiefgreifend . Die Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt, wenn B eintritt, wird in der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie anders berechnet als in der Quantentheorie, wenn A und B quanteninkompatible Ereignisse sind . In beiden Fällen ist die Wahrscheinlichkeit ein Maß auf einem Gitter , aber im klassischen Fall ist das Gitter ein Boolesches (a$\sigma$-Algebra), im Quantenfall nicht.

Um klarer zu sein, die klassische Wahrscheinlichkeit ist eine Karte$\mu: \Sigma(X) \to [0,1]$so dass$\Sigma(X)$ist eine Klasse von Teilmengen der Menge$X$einschließlich$\emptyset$, abgeschlossen in Bezug auf das Komplement und die zählbare Vereinigung, und so dass$\mu(X)=1$Und:

$$\mu(\cup_{n\in \mathbb N}E_n) = \sum_n \mu(E_n)\quad \mbox{if $E_k \in \Sigma(X)$ with $E_p\cap E_q= \emptyset$ for $p\neq q$.}$$ Die Elemente von$\Sigma(X)$sind die Ereignisse, deren Wahrscheinlichkeit ist$\mu$. In dieser Ansicht zum Beispiel, wenn$E,F \in \Sigma(X)$,$E\cap F$wird logisch interpretiert als das Ereignis "$E$UND$F$". Ähnlich$E\cup F$entspricht "$E$ODER$F$" Und$X\setminus F$hat die Bedeutung von „NICHT$F$" und so weiter. Die Wahrscheinlichkeit von$P$Wenn$Q$gegeben ist, bestätigt $$\mu(P|Q) = \frac{\mu(P \cap Q)}{\mu(Q)}\:.\tag{1}$$

Betrachtet man stattdessen ein Quantensystem, so gibt es „Ereignisse“, also elementare „ja/nein“-Aussagen, die experimentell prüfbar sind und nicht durch logische Operatoren UND und ODER verknüpft werden können.

Ein Beispiel ist$P=$"Die$x$Bestandteil des Spins dieses Elektrons ist$1/2$" Und$Q=$"Die$y$Komponente ist$1/2$". Es gibt kein experimentelles Gerät, dem man einen Wahrheitswert zuordnen kann$P$Und$Q$ gleichzeitig , so dass elementare Sätze wie "$P$Und$Q$" keinen Sinn machen. Satzpaare wie$P$Und$Q$oben sind physikalisch inkompatibel .

In Quantentheorien (die elementarste Version nach von Neumann) werden die Ereignisse eines physikalischen Systems durch die orthogonalen Projektoren eines trennbaren Hilbert-Raums dargestellt$H$. Der Satz${\cal P}(H)$dieser Operatoren ersetzt die klassische$\Sigma(X)$.

Im Allgemeinen ist die Bedeutung von$P\in {\cal P}(H)$ist so etwas wie "der Wert des Observablen".$Z$gehört zur Teilmenge$I \subset \mathbb R$"für einige beobachtbar$Z$und einige eingestellt$I$. Es gibt ein Verfahren zum Integrieren einer solchen Klasse von Projektoren, die auf realen Teilmengen gekennzeichnet sind, um einen selbstadjungierten Operator zu konstruieren$\hat{Z}$dem Beobachtbaren zugeordnet$Z$, und das ist nichts anderes als die physikalische Bedeutung des Spektralzerlegungssatzes .

Wenn$P, Q \in {\cal P}(H)$, gibt es zwei Möglichkeiten:$P$Und$Q$ pendeln oder nicht .

Von Neumanns grundlegendes Axiom besagt, dass Kommutativität die mathematische Entsprechung der physikalischen Kompatibilität ist .

Wenn$P$Und$Q$pendelt,$PQ$Und$P+Q-PQ$immer noch sind orthogonale Projektoren, dh Elemente von${\cal P}(H)$.

In dieser Situation,$PQ$entspricht "$P$UND$Q$", wohingegen$P+Q-PQ$entspricht "$P$ODER$Q$“ und so weiter, insbesondere „NICHT$P$" wird immer als der orthogonale Projektor auf interpretiert$P(H)^\perp$(der orthogonale Unterraum von$P(H)$), und jeder klassische Formalismus gilt so. Tatsächlich hat eine maximale Menge paarweise kommutierender Projektoren formale Eigenschaften, die mit denen der klassischen Logik identisch sind: ist ein Boolean$\sigma$-Algebra.

In diesem Bild ist ein Quantenzustand eine Karte, die die Wahrscheinlichkeit zuordnet$\mu(P)$Das$P$ist zu jedem experimentell verifiziert$P\in {\cal P}(H)$. Es muss genügen:$\mu(I)=1$Und

$$\mu\left(\sum_{n\in \mathbb N}P_n\right) = \sum_n \mu(P_n)\quad \mbox{if $P_k \in {\cal P}(H)$ with $P_p P_q= P_qP_p =0$ for $p\neq q$.}$$

Der gefeierte Satz von Gleason stellt fest, dass, wenn$\text{dim}(H)\neq 2$, die Maßnahmen$\mu$sind alle in Form$\mu(P)= \text{tr}(\rho_\mu P)$für einen gemischten Zustand$\rho_\mu$(ein positiver Spurklassenoperator mit Einheitsspur), zweideutig bestimmt durch$\mu$. In der konvexen Menge von Zuständen sind die extremalen Elemente die reinen Standardzustände . Sie sind bis auf eine Phase durch Einheitsvektoren bestimmt$\psi \in H$, so dass mit einer trivialen Berechnung (Vervollständigung$\psi_\mu$zu einer orthonormalen Basis von$H$und Verwenden dieser Basis zum Berechnen der Spur),

$$\mu(P) = \langle \psi_\mu | P \psi_\mu \rangle = ||P \psi_\mu||^2\:.$$

(Heutzutage gibt es eine verallgemeinerte Version dieses Bildes, in der die Menge${\cal P}(H)$durch die Klasse der beschränkten positiven Operatoren in ersetzt$H$(die sogenannten "Effekte") und der Satz von Gleason wird durch den Satz von Busch mit einer sehr ähnlichen Aussage ersetzt.)

Die Quantenwahrscheinlichkeit ist daher für einen gegebenen allgemein gemischten Zustand durch die Karte gegeben$\rho$,

$${\cal P}(H) \ni P \mapsto \mu(P) =\text{tr}(\rho_\mu P)$$

Es ist klar, dass, sobald man sich mit physikalisch inkompatiblen Sätzen beschäftigt , (1) nicht gelten kann, nur weil es nichts Ähnliches gibt$P \cap Q$in der Menge der physikalisch sinnvollen Quantensätze. All das liegt daran, dass der Raum der Ereignisse${\cal P}(H)$ist jetzt ein nicht-kommutativer Satz von Projektoren, was zu einem nicht-booleschen Gitter führt.

Die Formel, die (1) ersetzt, lautet jetzt:

$$\mu(P|Q) = \frac{\text{tr}(\rho_\mu QPQ)}{\text{tr}(\rho_\mu Q)}\tag{2}\:.$$

Darin,$QPQ$ist ein orthogonaler Projektor und kann interpretiert werden als "$P$UND$Q$" (dh,$P\cap Q$) wann $P$Und$Q$kompatibel sind. Auch in diesem Fall gilt (1). (2) führt zu allen "seltsamen Dingen", die in Quantenexperimenten (wie im Doppelspaltexperiment) auftauchen. Aus (2) ergibt sich insbesondere, dass in der QM Wahrscheinlichkeiten durch Kombination komplexer Wahrscheinlichkeitsamplituden berechnet werden .

(2) stützt sich nur auf das Reduktionspostulat von Neumann-Luders, das besagt, dass, wenn das Ergebnis der Messung von$P\in {\cal P}(H)$ist JA, wenn der Zustand war$\mu$(dh,$\rho_\mu$), das der Zustand unmittelbar nach der Messung ist$\mu'$verbunden sein mit$\rho_{\mu'}$mit

$$\rho_{\mu'} := \frac{P\rho_\mu P}{\text{tr}(\rho_\mu P)}\:.$$

NACHTRAG . Tatsächlich ist es möglich, den Begriff der logischen Operatoren UND und ODER für alle Elementpaare in zu erweitern${\cal P}(H)$und das war das Programm von von Neumann und Birkhoff (die Quantenlogik ). In der Tat nur die Gitterstruktur von${\cal P}(H)$erlaubt es, oder besser ist es. Mit diesem erweiterten Begriff von UND und ODER "$P$UND$Q$" ist der orthogonale Projektor auf$P(H)\cap Q(H)$während "$P$ODER$Q$“ ist der Orthogonalprojektor auf den Abschluss des Raums$P(H)+Q(H)$. Wenn$P$Und$Q$tauschen Sie diese Begriffe von UND und ODER auf die Standardbegriffe aus. Aber mit den erweiterten Definitionen${\cal P}(H)$wird zu einem Verband im eigentlichen mathematischen Sinne, wobei die partielle Ordnungsbeziehung durch die standardmäßige Einbeziehung abgeschlossener Unterräume gegeben ist ($P \geq Q$bedeutet$P(H) \supset Q(H)$). Der Punkt ist, dass die physikalische Interpretation dieser Erweiterung von UND und ODER nicht klar ist. Das resultierende Gitter ist jedoch nicht boolesch. Mit anderen Worten, diese erweiterten UND und ODER sind beispielsweise nicht distributiv wie die standardmäßigen UND und ODER (dies offenbart ihre Quantennatur). Aber auch unter Beibehaltung der Definition von „NICHT$P$" als Orthogonalprojektor auf$P(H)^\perp$, die gefundene Struktur von${\cal P}(H)$ist bekannt: A$\sigma$-vollständig, begrenzt, orthomodular, trennbar, atomar, irreduzibel und Überprüfung der Überdeckungseigenschaft, Gitter. Um 1995 wurde durch Solér eine Vermutung von Neumann endgültig bewiesen, dass es nur drei Möglichkeiten gibt, solche Gitter praktisch zu realisieren: Das Gitter orthogonaler Projektoren in einem trennbaren komplexen Hilbertraum, das Gitter orthogonaler Projektoren in einem trennbaren Real Hilbert-Raum, das Gitter orthogonaler Projektoren in einem trennbaren quaternionischen Hilbert-Raum.

Der Satz von Gleason gilt in allen drei Fällen. Die Erweiterung auf den Quaternionc-Fall wurde von Varadarajan in seinem berühmten Buch 1 über die Geometrie der Quantentheorie erhalten, jedoch wurde eine Lücke in seinem Beweis in diesem veröffentlichten Artikel geschlossen, den ich mitverfasst habe 2

Unter der Annahme der Poincaré-Symmetrie, zumindest für Elementarsysteme (Elementarteilchen), kann der Fall von reellen und quaternionischen Hilbert-Räumen ausgeschlossen werden (hier ist ein Paar veröffentlichter Arbeiten, an denen ich zu diesem Thema mitverfasst habe: 3 und 4 ) .

NACHTRAG2 . Nach einer Diskussion mit Harry Johnston halte ich eine interpretative Bemerkung über den probabilistischen Gehalt des Zustands für erwähnenswert$\mu$innerhalb des Bildes, das ich oben illustriert habe. Im QM$\mu(P)$ist die Wahrscheinlichkeit, dass, wenn ich ein bestimmtes Experiment durchgeführt habe (um zu überprüfen$P$),$P$würde sich bewahrheiten. Es scheint hier einen Unterschied zum klassischen Wahrscheinlichkeitsbegriff zu geben, der auf klassische Systeme angewandt wird. Wahrscheinlichkeit bezieht sich dort hauptsächlich auf etwas bereits Vorhandenes (und auf unser unvollständiges Wissen darüber). In der oben vorgestellten Formulierung von QM bezieht sich Wahrscheinlichkeit stattdessen auf das, was passieren wird, wenn ...

NACHTRAG3 . Für$n=1$der Satz von Gleason ist gültig und trivial. Für$n=2$Es gibt ein bekanntes Gegenbeispiel.$\mu_\nu(P)= \frac{1}{2}(1+ (v \cdot n_P)^3)$Wo$v$ist ein Einheitsvektor in$\mathbb R^3$Und$n_P$ist der Einheitsvektor in$\mathbb R^3$dem Orthogonalprojektor zugeordnet$P: \mathbb C^2 \to \mathbb C^2$in der Bloch-Sphäre:$P= \frac{1}{2} \left(I+\sum_{j=1}^3 n_j \sigma_j \right)$.

NACHTRAG4 . Aus Sicht der Quantenwahrscheinlichkeit hat das Reduktionspostulat von Neumann-Luders eine sehr natürliche Interpretation. Nehme an, dass$\mu$ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß über dem Quantengitter${\cal P}(H)$einen Quantenzustand darstellen und davon ausgehen, dass die Messung von$P \in {\cal P}(H)$, auf diesem Zustand, hat ein Ergebnis$1$. Der Zustand nach der Messung wird daher dargestellt durch$\mu_P(\cdot) = \mu(P \cdot P)$, gerade im Hinblick auf das oben genannte Postulat.

Das ist leicht zu beweisen$\mu_P : {\cal P}(H) \to [0,1]$ist das einzige Wahrscheinlichkeitsmaß so dass

$$\mu_P(Q) = \frac{\mu(Q)}{\mu(P)} \quad \mbox{if $Q \leq P$}\:.$$

Nach etwas mehr Nachdenken gibt es einen eindeutigen philosophischen Unterschied mit praktischen Implikationen. Das Zweispaltexperiment liefert dafür ein gutes Beispiel.

In einem klassischen Universum ging jedes einzelne Photon, das auf den Bildschirm traf, entweder durch Schlitz A oder durch Schlitz B. Auch wenn wir uns nicht die Mühe gemacht haben, dies zu messen, ist das eine oder andere dennoch passiert, und wir können es sinnvoll definieren$P(A)$Und$P(B)$.

Wenn wir uns in einem Quantenuniversum nicht die Mühe gemacht haben zu messen, durch welchen Schlitz ein Photon gegangen ist, dann ist es nicht wahr, dass es durch den einen oder anderen Schlitz gegangen ist. Man könnte sagen, es ging durch beide, obwohl selbst das nicht ganz stimmt; Alles, was wir wirklich sagen können, ist, dass es "durch die Schlitze gegangen" ist.

(Die Frage, durch welchen Spalt ein Photon im Zweispaltexperiment gegangen ist, ist wie die Frage nach der Religion des Photons. Es ist einfach keine sinnvolle Frage.)

Das bedeutet, dass$P(A)$Und$P(B)$einfach nicht existieren. Hier kommt eine der praktischen Implikationen ins Spiel: Wenn Sie QM nicht richtig verstehen [ich lüge hier ein bisschen; Ich komme darauf zurück], dann können Sie immer noch eine Wahrscheinlichkeit berechnen, dass das Teilchen durch Schlitz A gegangen ist, und eine Wahrscheinlichkeit, dass es durch Schlitz B gegangen ist. Und wenn Sie dann versuchen, die übliche Mathematik auf diese Wahrscheinlichkeiten anzuwenden, tut es das nicht funktionieren, und dann fängst du an zu sagen, dass die Quantenwahrscheinlichkeit nicht denselben Regeln folgt wie die klassische Wahrscheinlichkeit.

(Eigentlich berechnen Sie, was die Wahrscheinlichkeiten für diese Ereignisse gewesen wären, wenn Sie sich entschieden hätten, sie zu messen. Da Sie dies nicht getan haben, sind sie bedeutungslos, und die Mathematik trifft nicht zu.)

Also: Der philosophische Unterschied besteht darin, dass beim Studium von Quantensystemen im Gegensatz zu klassischen Systemen die Wahrscheinlichkeit, dass etwas passiert wäre, wenn Sie es gemessen hätten, im Allgemeinen nicht aussagekräftig ist, es sei denn, Sie hätten es tatsächlich getan; Die praktische Folge ist, dass Sie nachverfolgen müssen, was Sie gemessen oder nicht gemessen haben, um eine ungültige Berechnung zu vermeiden.

(In klassischen Systemen sind die meisten syntaktisch gültigen Fragen sinnvoll; ich habe einige Zeit gebraucht, um auf das oben angegebene Gegenbeispiel zu kommen. In der Quantenmechanik sind die meisten Fragen nicht sinnvoll, und Sie müssen wissen, was Sie tun, um diejenigen zu finden, die das tun Sind.)

Beachten Sie, dass das Verfolgen, ob Sie etwas gemessen haben oder nicht, keine abstrakte Übung ist, die auf Fälle beschränkt ist, in denen Sie versuchen, die Wahrscheinlichkeitstheorie anzuwenden. Sie wirkt sich direkt und konkret auf das Experiment aus: Misst man beim Zweispalt-Experiment, durch welchen Spalt jedes Photon gegangen ist, verschwindet das Interferenzmuster .

(Noch kniffliger: Wenn Sie messen, durch welchen Schlitz jedes Photon gegangen ist, und dann die Ergebnisse dieser Messung ordnungsgemäß löschen, bevor Sie sich den Film ansehen, kommt das Interferenzmuster wieder zurück.)

PS: Es ist vielleicht unfair zu sagen, dass die Berechnung einer "Hätte"-Wahrscheinlichkeit bedeutet, dass Sie QM nicht richtig verstehen. Es kann einfach bedeuten, dass Sie sich bewusst für eine andere Interpretation entscheiden und es vorziehen, Ihre Vorstellung von Wahrscheinlichkeit nach Bedarf zu modifizieren oder zu verallgemeinern. Die Antwort von V. Moretti geht detailliert darauf ein, wie Sie dies tun könnten. Obwohl diese Art von Dingen interessant ist, scheint sie mir nicht von offensichtlichem Nutzen zu sein. (Es ist nicht klar, ob dies beispielsweise einen Einblick in das Verschwinden und Wiederauftauchen des oben beschriebenen Interferenzmusters gibt.)

Nachtrag: das ist nach der Diskussion in den Kommentaren deutlicher geworden. Es scheint, dass angenommen wird, dass die alternative Formulierung Vorteile haben könnte, wenn es um kompliziertere Szenarien geht (QFT auf gekrümmter Raumzeit wurde als ein Beispiel genannt). Das ist durchaus plausibel, und ich will sicher nicht andeuten, dass es der Arbeit an Wert fehlt; allerdings ist mir noch nicht klar, ob es als Alternative zum konventionellen Vorgehen beim Erlernen von Basic QM pädagogisch sinnvoll ist.

PPS: Je nach Interpretation kann es andere philosophische Unterschiede in Bezug auf die Natur oder den Ursprung der Zufälligkeit geben. Die bayessche Statistik ist meines Erachtens breit genug, dass diese Unterschiede nicht von großer Bedeutung sind, und selbst aus frequentistischer Sicht glaube ich nicht, dass sie praktische Auswirkungen haben.

Die Wahrscheinlichkeiten in QM sind durch die quadratischen Amplituden der relevanten Terme in der Wellenfunktion oder durch den Erwartungswert des relevanten Projektors oder POVM gegeben. Es ist jedoch nicht so, dass sich diese Zahlen immer so verhalten, wie es mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung vereinbar ist.

Wenn es beispielsweise zwei sich gegenseitig ausschließende Möglichkeiten für das Eintreten eines Ereignisses gibt, würde die Wahrscheinlichkeitsrechnung sagen, dass die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis die Summe der Wahrscheinlichkeiten ist, dass es auf jeder dieser Arten eintritt. Aber in Einzelphotonen-Interferenzexperimenten scheint das nicht zu funktionieren. Es gibt zwei Wege durch das Interferometer, das Photon kann nicht auf beiden Wegen gleichzeitig erfasst werden, also schließen sie sich gegenseitig aus, oder? Um also die Wahrscheinlichkeit zu erhalten, dass das Photon aus einem bestimmten Port am anderen Ende austritt, sollten Sie einfach die Wahrscheinlichkeit hinzufügen, dass es entlang jeder Route geht. Aber diese Berechnung gibt die falsche Antwort: Sie können jede beliebige Wahrscheinlichkeit erhalten, indem Sie die Pfadlängen ändern, siehe:

http://arxiv.org/abs/math/9911150 .

Dann haben Sie also das Problem zu erklären, unter welchen Umständen die Wahrscheinlichkeitsrechnung gilt.

Sie fragen nach frequentistischen Ansätzen zur Quantenwahrscheinlichkeit. Es gibt einige solcher Ansätze, zB - Hugh Everetts 1957er Aufsatz und seine Doktorarbeit. These:

http://www-tc.pbs.org/wgbh/nova/manyworlds/pdf/dissertation.pdf .

Ich denke, diese Argumente funktionieren nicht, weil der Frequenzansatz selbst nicht funktioniert. Warum sollte die relative Häufigkeit über eine unendliche Anzahl von Proben irgendetwas damit zu tun haben, was in einem Labor beobachtet wird? Und wenn es eine Erklärung gibt, warum beschäftigen wir uns dann mit diesem relativen Häufigkeitszeug, anstatt die eigentliche Erklärung zu verwenden? Die beste Erklärung dafür, warum es anwendbar ist, ist der entscheidungstheoretische Ansatz:

http://arxiv.org/abs/quant-ph/9906015

http://arxiv.org/abs/0906.2718 .

Den besten Versuch, die Umstände, unter denen sie gilt, zu erklären, bieten die Anforderungen, die die Quantenmechanik an die Umstände stellt, unter denen Informationen kopiert werden können:

http://arxiv.org/abs/1212.3245 .

Die Anwendung der Wahrscheinlichkeit in anderen Bereichen als der Quantenmechanik ist ein cleverer Weg, um Situationen zu modellieren, die so komplex sind, dass die genaue Analyse nicht durchführbar oder zumindest sehr langwierig ist.

Andererseits ist die Natur im QM von Natur aus probabilistisch. Wenn Sie eine Beobachtung machen, hat der Quantenzustand, in dem sich Ihr System befindet, eine Wahrscheinlichkeit für jedes mögliche Ergebnis. Es ist kein Trick mehr, Berechnungen anzustellen. Es ist ein Merkmal der Natur. Das ist der Unterschied.

Vielleicht finden Sie den Aufsatz Quantum Theory From Five Reasonable Axioms von Lucien Hardy interessant. In der Zusammenfassung heißt es:

In diesem Beitrag wird gezeigt, dass die Quantentheorie aus fünf sehr vernünftigen Axiomen abgeleitet werden kann. Die ersten vier dieser Axiome stimmen offensichtlich sowohl mit der Quantentheorie als auch mit der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie überein. Axiom 5 (das erfordert, dass es kontinuierliche reversible Transformationen zwischen reinen Zuständen gibt) schließt die klassische Wahrscheinlichkeitstheorie aus.

Es gibt einen wichtigen Unterschied, aber er ist nicht grundlegend.

In beiden Fällen ergibt sich die Wahrscheinlichkeit aus der Notwendigkeit, die Ergebnisse zweier inkompatibler Modelle zu vergleichen, die auf unterschiedlichen Maßstäben arbeiten, dem mikroskopischen und dem makroskopischen.

Darwin und Fowler haben vor langer Zeit gezeigt, wie man die klassische statistische Mechanik, den Hauptort in der klassischen Physik, wo Wahrscheinlichkeiten auftreten, von der Quantenmechanik ableiten kann. In gewissem Sinne ist die Quantenmechanik also grundlegend, und es gibt kein Problem, den klassischen Fall daraus abzuleiten. Fowler, Statistische Mechanik

Aber ich werde sie trotzdem in der anderen Reihenfolge präsentieren. Wenn man in der klassischen Physik beispielsweise ein ideales Gas analysiert, ist das System von$10^{23}$Teilchen ist deterministisch. Und die Anzahl der Variablen ist 6 mal$10^{23}$. Dies ist die mikroskopische Ansicht des Systems als Ganzes. Man kann aber auch bestimmte Eigenschaften dieses Gases anhand einiger weniger thermodynamischer Variablen, Temperatur, Druck und Volumen, untersuchen, die einen Makrozustand beschreiben. Aber im Sinne dieser Beschreibung ist das System probabilistisch: man kennt nur die Wahrscheinlichkeiten, mit denen seine Moleküle eine gegebene Energie besitzen werden usw. Außerdem die Verbindung zwischen den beiden Beschreibungsebenen des Systems, der Mikroebene und der Makroebene -Level, erfolgt über die Messung . Die Messung der Geschwindigkeit eines Moleküls wird durch den langjährigen Mittelwert seiner Geschwindigkeit über seine Flugbahn modelliert. Dann stellt sich heraus, dass für alle normalMolekülen, liefert dieses Verfahren, vorausgesetzt, das System ist im Gleichgewicht, fast unabhängig davon, welches Molekül oder welche Flugbahn man untersucht, die gleiche Antwort, und Einstein definierte dies als die probabilistische Erwartung der Energie eines Moleküls. Siehe Jan von Plato, Creating Modern Probability. Es werden also nur den Messergebnissen Wahrscheinlichkeiten zugeordnet.

Nun gilt laut Feynman und anderen etwas Paralleles in der Quantenmechanik. Die Wahrscheinlichkeiten ergeben sich aus der Notwendigkeit, Mikrophänomene bis zur Makroebene zu verstärken, wo wir den Messapparat sehen können, eine Nadel auf einem Zifferblatt sehen, die auf eine Zahl auf dem Zifferblatt zeigt. (Schrödingers Gleichung ist selbst eine deterministische Gleichung und Wahrscheinlichkeiten gehen nur in die Messaxiome ein.) Die einzigen „Ereignisse“ im Sinne der mathematischen Wahrscheinlichkeitstheorie, also Dinge, denen Wahrscheinlichkeiten zugeordnet werden, sind Messergebnisse. Und auch hier hat die Messung etwas damit zu tun, den Zustand eines Mikrosystems in reduzierter Form in Makrozuständen anstatt in seinen Mikrozuständen zu beschreiben. Die Nadel auf dem Zifferblatt gehorcht wirklich den Gesetzen der Quantenmechanik: Sie hat eine Wellenfunktion, sie befindet sich in einem verschränkten Zustand usw.klassische Begriffe, die Makrobegriffe sind. Der Übergang von der Mikrobeschreibung des Teilchens im Sinne von Quantenkonzepten zu dieser reduzierten Beschreibung bringt Wahrscheinlichkeiten mit sich.

Welche Wahrscheinlichkeiten sind es nicht

Es ist ein Mythos, dass die Wahrscheinlichkeiten in der klassischen statistischen Mechanik auf Unwissenheit beruhen oder subjektiv sind. Sie kommen nur zustande, weil man seine Aufmerksamkeit auf die Normalzelle der Mikrozustände (Normalzelle im Sinne von Darwin und Fowler) beschränkt und Ausnahmezustände ignoriert. Die Definition von "normal" ist eine objektive: Zustände können in Zellen von Zuständen gruppiert werden: all jene Zustände, die dieselben zeitgemittelten Eigenschaften wie jeder andere besitzen. Die normale Zelle ist die größte Zelle. In der thermodynamischen Grenze ist die normale Zelle nicht nur die größte, sie ist die einzige mit positivem Volumen, alle anderen Zellen sind bloße Begrenzungen mit geringerer Dimension.

Es ist ein Mythos, dass die Wahrscheinlichkeiten in der Quantenmechanik irgendwie "nicht kommutativ" sind. Das Problem ist nicht, dass es nicht pendelnde Observable gibt. Wenn Sie den Impuls messen, ist der experimentelle Aufbau ziemlich eindeutig, und der Ereignisraum hängt vom physikalischen Aufbau ab und hat nur die Ergebnisse der Impulsmessung. Wenn die Messapparatur geeignet ist, den Impuls zu messen, dann sind es die Ergebnisse für die Position nichtVeranstaltungen. Der Aufbau schließt die Messung der Position aus, daher sind Positionsmessungen in diesem Aufbau nicht möglich. Und umgekehrt. Es gibt keinen übergreifenden Wahrscheinlichkeitsraum mit beiden Arten von Ereignissen, wie Mathematiker, die sich mit der sogenannten „Quantenwahrscheinlichkeit“ oder „nicht-kommutativen Wahrscheinlichkeit“ befassen, naiv annehmen. Bohr hat uns gelehrt, dass, wenn Sie das Gerät für eine Art von Messung (z. B. Impuls) einrichten, Sie die Möglichkeit der anderen Art von komplementärer Messung (z. B. Position) physikalisch ausschließen. Das bedeutet, dass Sie entweder in einem Wahrscheinlichkeitsraum mit Ereignissen und normalen Maßen ihrer Wahrscheinlichkeit arbeiten, oder Sie befinden sich in einem völlig anderen Wahrscheinlichkeitsraum mit eigenen Ereignissen und eigenem Maß. Jetzt,

ANTWORT: Ereignisse, die sich gegenseitig ausschließen, können vor der Messung in der probabilistischen Formulierung der Quantenmechanik (Kopenhagener Interpretation – CIQM) nicht existieren, da CIQM maximal den lokalen Realismus verletzen muss und minimal das Prinzip der Lokalität brechen könnte. Und nach der Messung existiert das von Ihnen erwähnte Problem nicht, weil es durch eine viel größere Herausforderung beseitigt wird, nämlich die Gleichzeitigkeit von zwei räumlich getrennten Ereignissen oder quantenmechanisch getrennten Ereignissen (wobei die beiden nicht unbedingt äquivalent sind). Bitte beginnen Sie mit der Karte in https://en.wikipedia.org/wiki/Principle_of_locality .

Bausteine

• ($0000$)-Erstens ist der Wahrscheinlichkeitsbegriff ein Entwurf der Kopenhagener Interpretation der Quantenmechanik, in der man einem Teilchen eine Wellenfunktion (mit allen Eigenschaften einer Welle) zuordnet; dadurch baut man einen direkten mathematischen Kanal zwischen Teilchen- und Wellenverhalten auf. In diesem Bild können Sie diese Naturen nicht trennen. Dieser sehr wichtige erste Schritt wird durch das „ Prinzip der Komplementarität “ ausgedrückt.

• ($000$) Nun ist dieses Bild nicht vollständig und um dieses Bild mit greifbarer Erfahrung zu verbinden, „ korrespondieren “ sie das Quadrat der Amplitude der Wellenfunktion mit der Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen an einem bestimmten Punkt in Raum und Zeit befindet.

WARNUNG: Ihre Frage bezieht sich auf diese Korrespondenz, nicht direkt auf den Begriff der Wahrscheinlichkeit.

Nun möchte ich auf zwei weitere Bausteine ​​des Copenhagen QM hinweisen, die Ihre probabilistische Korrespondenz vervollständigen:

Quantenmechanische Wahrscheinlichkeit

• ($00$) IN QM sind Raum und Zeit, genau wie in der klassischen Mechanik, kontinuierlich und Impuls ist für (den Generator von) Verschiebung (Translation) verantwortlich. Aber Übersetzung von was in was? Übersetzung komplexer Vektoren aus dem Hilbert-Raum (Ket-Zustände) , die grundlegende abstrakte mathematische Darstellungen sind, die für diese neue indirekte Darstellung der physikalischen Phänomene in den gewöhnlichen dreidimensionalen Raum erforderlich sind . Diese Ket-Zustände bilden einen Vektorraum, der dual ist, nämlich den Bra-Raum. Quantenmechanische Wahrscheinlichkeiten werden basierend auf dem Skalarprodukt von Elementen aus Bra- und Ket-Räumen definiert. Zum Beispiel$|\alpha\rangle$ist ein Ket-Zustand, der BH-Zustand$\langle \alpha|$ist sein duales und das innere Produkt von$\langle \beta|$Und$|\alpha\rangle$ist mit bezeichnet$\langle \beta|\alpha\rangle$. Die Wahrscheinlichkeit zu finden$|\beta\rangle$In$|\alpha\rangle$was nach den Grundprinzipien der Wahrscheinlichkeitstheorie dem Finden gleichkommt$|\alpha\rangle$In$|\beta\rangle$wird dann durch gegeben

$$\left| \langle \beta | \alpha \rangle \right|^2 = \left| \langle \alpha | \beta \rangle \right|^2$$

Dies entspricht einem der beiden wichtigen Postulate der inneren Produkte im Hilbert-Raum:

$$\langle \beta | \alpha \rangle = \langle \alpha | \beta \rangle^*$$

Das zweite Postulat wird als Postulat der positiv bestimmten Metrik bezeichnet

$$\langle \alpha| \alpha \rangle \geq 0$$

Ein weiteres wichtiges Merkmal bezieht sich auf die Wahrscheinlichkeitserhaltung beim Übersetzen der Ket-Zustände; so extrahiert man die Einheitlichkeit von Übersetzungsoperatoren. Ich glaube, das ist wahrscheinlich das wichtigste Postulat bezüglich der quantenmechanischen Wahrscheinlichkeit. Sie muss gleichbedeutend sein mit einer Annahme über das Gewebe der Raumzeit.

• ($0$) Wenn nun zwei quantenmechanische Zustände, die den Anfangszustand eines Ereignisses beschreiben, orthogonal sind , bleiben sie sich orthogonal entwickelndrechtzeitig; weil der Zeitentwicklungsoperator unitär ist. Daher würden sich zwei disjunkte quantenmechanische Ereignisse überhaupt nicht vermischen, wenn sie sich zeitlich entwickeln. Diese einfache Darstellung des Hilbert-Raums wäre jedoch nicht so einfach, wenn sie in die Raumzeit projiziert würde. Wo zum Beispiel die Wellenfunktion eines Teilchens Null ist (meistens gibt es mehrere solcher Punkte), wäre auch das Quadrat der Amplitude Null, dh die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen in diesem Punkt der Raumzeit zu finden, wäre währenddessen absolut Null Beispielsweise kann in den Nachbarschaftspunkten das Teilchen gefunden werden. Es ist, als ob einige Punkte der Raumzeit wahrscheinlich singulär wären. Der Grund, warum ich es singulär nenne, ist, dass eine Null-Wahrscheinlichkeit eine Frage des absoluten Nichtvorhandenseins ist.

Und der letzte Punkt: Jede Theorie, die die Bellsche Ungleichung verletzt, wäre nicht lokal invariant und würde Vorhersagen produzieren, die kein lokaler Realismus tun würde.

Die klassische Wahrscheinlichkeitstheorie ist eine entartete Grenze der Quantenwahrscheinlichkeitstheorie. Es besteht also eine asymmetrische Beziehung zwischen den beiden, man kann die klassische Wahrscheinlichkeitstheorie vollständig aus der Quantenwahrscheinlichkeitstheorie ableiten, aber nicht umgekehrt. Tatsächlich sind die Wahrscheinlichkeiten selbst, die in der realen Welt auftreten, selbst wenn sie fest im klassischen Bereich liegen, immer durch das Quadrat der Amplitude eines quantenmechanischen Zustandsvektors gegeben, der die Physik beschreibt. Wie hier ausgeführt , gibt es keine bekannten Beispiele für klassische Wahrscheinlichkeiten, die keinen solchen quantenmechanischen Ursprung haben.

Wie im Artikel ausgeführt, kann man immer zeigen, dass die Wahrscheinlichkeiten rein quantenmechanischen Ursprungs sind, sich aus der Born-Regel und nicht aus der angeführten klassischen Argumentation ergeben, unabhängig davon, ob Sie Münzwürfe, Wetten auf die Ziffern von Pi usw. betrachten unzureichende Kenntnisse. Die klassische Wahrscheinlichkeitstheorie ist also nicht fundamental, sie sollte als geeignete Näherung aus der Quantenmechanik abgeleitet werden.

Die Mathematik der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie funktioniert jedoch grundlegend anders als die Mathematik der Quantenwahrscheinlichkeitstheorie. Wie kann es dann keinen fundamentalen Unterschied geben? Die Antwort ist, dass die klassische Theorie eine degenerierte Grenze der quantenmechanischen Theorie ist, in der klassischen Grenze verschwinden Kommutatoren des Observablen, was Ihnen erlaubt, mathematische Argumente zu verwenden, die innerhalb der Quantentheorie nicht erlaubt sind. Aber man kann innerhalb der Quantenwahrscheinlichkeitstheorie problemlos klassische Wahrscheinlichkeitstheorie machen und dann den klassischen Grenzwert nehmen.