Können wir diskontinuierliche Wellenfunktionen im Unendlichen Quadrat gut haben?

Im$L^2$Kalkül, der für die Wellenfunktionen aus dem Hilbert-Raum relevant ist, ist es nicht wirklich wahr, dass die "Ableitung einer unstetigen Funktion nicht existiert".

Zum Beispiel, wenn eine Wellenfunktion$\psi(x)$gehorcht

Ein Grund, warum diskontinuierliche Funktionen mit einem Sprung in realen physikalischen Problemen nicht vorkommen, ist, dass der Erwartungswert der kinetischen Energie unendlich ist. Das liegt wirklich daran, dass der Erwartungswert der kinetischen Energie proportional zum Integral von ist$\psi'(x)$und das Integral von$\delta(x)^2$weicht ab, weil$\delta(x)^2$ist "viel unendlicher" bei Null als$\delta(x)$selbst.

Solange wir wissen, dass die kinetische Energie kleiner als eine bestimmte endliche Grenze ist, wissen wir auch, dass die Wellenfunktion diese Art von Diskontinuität nicht haben wird. Das heißt aber nicht, dass wir niemals mit solchen unstetigen Wellenfunktionen rechnen sollten – und sogar Wellenfunktionen gleich Verteilungen wie Delta-Funktionen und deren Ableitungen. Tatsächlich arbeiten Physiker ständig mit ihnen, weil solche Wellenfunktionen mathematisch sehr natürlich sind, obwohl keine von ihnen wirklich als "streng realistischer" Zustandsvektor erscheint, der alle Kriterien der Normalisierbarkeit und der endlichen Energie erfüllt. Realistische Wellenfunktionen wie Wellenpakete können oft als Integral solcher nicht glatten Wellenfunktionen ausgedrückt werden. Die Integration "verschmiert sie" und eliminiert die singulären Merkmale.

I) Nun, im Allgemeinen gibt es einen Begriff schwacher Lösungen , dh man kann zB die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung von der Differentialform umschreiben

in eine Integralgleichung

wo die Wellenfunktion$\psi(x)$müssen nicht mehr zweimal differenzierbar sein, damit die Gl. (2) Sinn ergibt (im Gegensatz zu Gl. (1)).

(OP stellt eine allgemeinere Frage, die die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung betrifft, siehe Abschnitt V, aber lassen Sie uns der Einfachheit halber zuerst die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung betrachten.)

Im Folgenden gehen wir immer davon aus, dass die Wellenfunktion$\psi\in{\cal L}^2(\mathbb{R})$ist quadratintegrierbar (=normalisierbar).

Beachten Sie jedoch, dass, wenn man davon ausgeht$V,\psi\in{\cal L}^2_{\rm loc}(\mathbb{R})$sind beide lokal quadratisch integrierbar, dann kann man (über eine Art Bootstrap-Argument, vgl. diese Phys.SE-Antwort) auf eine Lösung schließen$\psi$ist tatsächlich differenzierbar mit stetiger Ableitung,$\psi\in C^1(\mathbb{R})$.

II) Beachten Sie als Nächstes, dass das Potenzial des unendlichen Quadrats gut ist

ist eine Idealisierung des endlichen quadratischen Wannenpotentials$^1$

Wo$V_0$ist eine sehr große positive Konstante, viel größer als die Energie des Teilchens, das wir untersuchen möchten.

III) Einerseits ist das endlich quadratische Wannenpotential (4) zwar lokal quadratintegrierbar, also die Lösungen$\psi$Sind$C^1(\mathbb{R})$. Man kann zeigen, dass eine normierbare Lösung$\psi$existiert nur für bestimmte diskrete Energieniveaus$E_n$(die vom Parameter abhängen$V_0$). Man darf sich außerdem im Limit zeigen$V_0\to \infty$, dass diese Energieeigenfunktionen$\psi_n$i) kontinuierliche Funktionen bleiben und ii) außerhalb des Brunnens verschwinden$|x|\geq a$.

IV) Andererseits ist das unendliche quadratische Wannenpotential (3) nicht lokal quadratintegrierbar, aber man kann zeigen, dass die Einschränkung der Lösungen$\psi$zum Brunnen$|x|< a$muss sein$C^1(]-a,a[)$, dh das$\psi$höchstens an den Potentialwänden eine Diskontinuität aufweisen könnte$x=\pm a$. Außerhalb des Brunnens$|x|>a$, das Integral Gl. (2) ist aufgrund des unendlichen Potentials nicht wohldefiniert. Aus physikalischen Gründen aufgrund von Erfahrungen aus dem endlichen Fall (4) erklären wir nun die Energieeigenfunktionen$\psi_n$sollten i) kontinuierlich sein und ii) dass sie außerhalb des Brunnens verschwinden sollten$|x|\geq a$. Insbesondere ist es physikalisch sinnvoll, Dirichlet-Randbedingungen aufzuerlegen$\psi_n(x\!=\!\pm a)=0$an den Potentialwänden.

V) Lassen Sie uns nun auf die Frage von OP zurückkommen. Ja, der Hilbertraum ist es$H=L^2([-a,a])$mit Grundlage$\psi_n$gegeben durch die Energieeigenfunktionen$\psi_n$aus Abschnitt IV. Quadratisch integrierbare unendliche Linearkombinationen

müssen nicht durchgehend sein.

Beispiel: Die ungerade und diskontinuierliche Wellenfunktion

ist normalisierbar$\psi\in H=L^2([-a,a])$. Sie kann als unendliche Reihe geschrieben werden

von Energieeigenfunktionen, und die Reihe konvergiert beide$x$-punktweise und in$L^2$-Norm. Also rein aus der Perspektive des Hilbertraums$H=L^2([-a,a])$, ist die diskontinuierliche Wellenfunktion (6) vollkommen in Ordnung.

Man kann jedoch zeigen, dass die kinetische Energie der Wellenfunktion (6) unendlich und damit physikalisch nicht akzeptabel ist. Argumente in dieser Richtung führen natürlich dazu, den Hamilton-Operator, der ein unbeschränkter Operator ist , der auf einem relevanten Bereich definiert ist, genauer zu betrachten und seine selbstadjungierte Erweiterung zu untersuchen. Das überlassen wir dem interessierten Leser.

$^1$Das endliche Potential (4) ist selbst auch eine Idealisierung, aber wir werden das hier ignorieren.

In einem unendlichen 1D-Brunnen wird die Energie der$n$ten Modus ist proportional zu$n^2$. Wenn Sie jedoch Modi summieren, um ein Quadrat zu bilden, ist dies der Faktor für die$n$ter Modus ist 1/$n$. Das heißt, um eine Rechteckwelle zu erzeugen, würde eine unendliche Energiemenge erforderlich sein, was nicht überraschend ist, da sie eine unendliche erste Ableitung hätte.