Was genau ist ein gebundener Zustand und warum hat er negative Energie?

Wenn Sie eine Kopie von Griffiths haben, hat er eine nette Diskussion darüber im Abschnitt über das Potenzial der Delta-Funktion. Zusammenfassend, wenn die Energie kleiner ist als das Potential an$-\infty$ und $+\infty$, dann ist es ein gebundener Zustand, und das Spektrum ist diskret:

$$\Psi\left(x,t\right) = \sum_n c_n \Psi_n\left(x,t\right).$$ Andernfalls (wenn die Energie größer ist als das Potential bei $-\infty$ oder $+\infty$), es ist ein Streuzustand, und das Spektrum wird kontinuierlich sein: $$\Psi\left(x,t\right) = \int dk \ c\left(k\right) \Psi_k\left(x,t\right).$$ Für ein Potential wie den unendlichen quadratischen Brunnen oder den harmonischen Oszillator geht das Potential zu $+\infty$bei $\pm \infty$, es gibt also nur gebundene Zustände.

Für ein freies Teilchen ($V=0$), die Energie kann nirgendwo kleiner sein als das Potential***, also gibt es nur Streuzustände.

Für das Wasserstoffatom gilt$V\left(r\right) = - a / r$mit$a > 0$, also gibt es gebundene Zustände für$E < 0$und Streuzustände für$E>0$.

---

Aktualisieren

*** @Alex hat in den Kommentaren ein paar Fragen zum Warum gestellt$E>0$für ein freies Teilchen, also dachte ich, ich würde diesen Punkt erweitern.

Stellt man die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung um als

$$\psi''= \frac{2m}{\hbar^2} \left(V-E\right) \psi$$ siehst du das $\psi''$und $\psi$hätte für alle das gleiche Vorzeichen $x$wenn $E < V_{min}$, und $\psi$wäre nicht normalisierbar (kann nicht gehen $0$bei $\pm\infty$).

Aber warum rabattieren wir das$E<V_{min}=0$Lösungen aus diesem Grund, dennoch halten die$E>0$Lösungen,$\psi = e^{ikx}$, wenn sie auch nicht normalisierbar sind?

Die Antwort ist, die Normierung der Gesamtwellenfunktion bei zu betrachten$t=0$, unter Verwendung der Tatsache, dass, wenn eine Wellenfunktion auf normalisiert ist$t=0$, bleibt es für alle Zeiten normalisiert (siehe Argument ab Gleichung 147 hier ):

$$\left<\Psi | \Psi\right> = \int dx \ \Psi^*\left(x,0\right) \Psi\left(x,0\right) = \int dk' \int dk \ c^*\left(k'\right) c\left(k\right) \left[\int dx \ \psi^*_{k'}\left(x\right) \psi_k\left(x\right)\right]$$

Zum$E>0$,$\psi_k\left(x\right) = e^{ikx}$wo$k^2 = 2 m E / \hbar^2$, und die$x$Integral in eckigen Klammern ist$2\pi\delta\left(k-k'\right)$, Also

$$\left<\Psi | \Psi\right> = 2\pi \int dk \ \left|c\left(k\right)\right|^2$$ was gleich sein kann $1$für eine passende Auswahl $c\left(k\right)$.

Zum$E<0$,$\psi_k\left(x\right) = e^{kx}$wo$k^2 = - 2 m E / \hbar^2$, und die$x$Integral in eckigen Klammern divergiert, also$\left<\Psi | \Psi\right>$kann nicht gleich sein$1$.

Es bedeutet dasselbe wie in der klassischen Mechanik: Wenn es energetisch verboten ist, sich auf beliebig große Entfernungen zu trennen, sind sie "gebunden" .

Die Erde ist gravitativ an die Sonne und der Mond an die Erde gebunden. Elektronen in einem neutralen Atom sind elektromagnetisch an den Kern gebunden. Eine Erbse, die auf dem Boden einer Schüssel herumrollt, ist gebunden.

Im Gegensatz dazu sind die Voyager-Sonden (kaum) ungebunden und fliegen (langsam) in die Galaxie.

Barry Simon schreibt:

Eine der faszinierenderen Fragen betrifft das Vorhandensein diskreter Eigenwerte positiver Energie (d. h. quadratintegrierbare Eigenfunktionen mit positiven Eigenwerten). Es gibt ein sehr nicht strenges, aber physikalisch ansprechendes Argument, das uns versichert, dass solche „gebundenen Zustände“ positiver Energie nicht existieren können. Andererseits gibt es ein altes, explizites Beispiel von von Neumann und Wigner, das ein ziemlich vernünftiges Potenzial darstellt$V$, mit$V(r) \to 0$wie$r \to \infty$und die eine Eigenfunktion mit besitzt$E = 1$.
Das Potenzial

$$V(r)=\frac{-32 \sin r[g(r)^3 \cos r-3g(r)^2\sin^3r+g(r)\cos r+sin^3r]}{[1+g(r)^2]^2}$$ mit$g(r)=2r-\sin2r$hat den Eigenwert +1 mit Eigenfunktion $$u(r)=\frac{\sin r}{r(1+g(r)^2)}$$ Über positive Eigenwerte von Einkörper-Schrödinger-Operatoren

In einem Artikel aus dem Jahr 2019 erklärt Simon:

Überlege weiter$R^ν$, Die gleichung$(−∆ + V )φ = λφ$mit$V (x) \to 0$wie$|x| \to \infty$und$λ > 0$. Naiv könnte man erwarten, dass keine Lösung,$φ$, kann dabei sein$L^2(R^ν , d^νx)$. Die Intuition ist klar: klassisch, wenn das Teilchen in der Region ist$\{ x \mid |x| > R\}$, wo$R$ist so groß gepflückt, dass$|x| \gt R \Longrightarrow V (x) \lt λ/2$und wenn die Geschwindigkeit nach außen zeigt, wird das Teilchen nicht eingefangen und somit nicht gebunden. Aufgrund des Tunnelns erreicht ein Teilchen in der Quantentheorie immer diesen Bereich, sodass es keine positiven Energiebindungszustände geben sollte. Diese Intuition ohne eingebettete Eigenwerte ist unvollständig, da Unebenheiten Reflexionen verursachen können, selbst wenn die Unebenheiten kleiner als die Energie sind, sodass eine unendliche Anzahl kleiner Unebenheiten, die nicht zu schnell zerfallen, ein Teilchen einfangen kann.

Mathematisch gesehen sind gebundene Zustände Zustände, die im Unendlichen ausreichend schnell zerfallen, so dass die Wahrscheinlichkeit, das von ihnen beschriebene Teilchen in weit entfernten Regionen des Weltraums zu finden, vernachlässigbar ist.

Es wurde lange vermutet, basierend auf physikalischer Intuition, dass dies für die bedeutungsvollen quantenmechanischen Zustände wie die Eigenfunktionen des Hamilton-Operators der Fall ist (es wird nicht erwartet, dass ein Atomelektron eine vernünftige Wahrscheinlichkeit hat, sich in unendlicher Entfernung von seinem Kern zu befinden ).

Dies wurde in den achtziger Jahren mathematisch bewiesen, hauptsächlich von S.Agmon. Das Ergebnis ist grob gesagt folgendes: Eigenfunktionen des Schrödinger-Operators (dh entsprechend dem diskreten Spektrum) fallen exponentiell im Raum ab. Also wenn$\psi_n(x)$sind solche Eigenfunktionen,$\lvert \psi_n(x)\rvert\leq A e^{-B\lvert x\rvert}$, für einige positive Konstanten$A,B$.

1. Um die technischen Einzelheiten zu durchbrechen, definiert Wikipedia im Wesentlichen einen gebundenen Zustand in$d$räumliche Dimensionen als

   • (i) eine Lösung$\psi$zum TISS

   so dass

   • (ii)$\psi\in{\cal L}^2(\mathbb{R}^d)$ist quadratisch integrierbar/normierbar.

2. Bedingung (ii) ist (unter relativ milden Annahmen$^1$) entspricht dem

   • (iii)$\lim_{R\to\infty}\int_{\mathbb{R}^d\backslash B({\bf 0},R)} d^dr~|\psi({\bf r})|^2 ~=~0,$

   wo$B({\bf 0},R)$bezeichnet eine Kugel im Ursprung mit Radius$R$.

3. Hinreichende Bedingungen für einen gebundenen Zustand sind Bedingung (i) zusammen mit

   • (iv) wenn das Potential asymptotisch größer als die Energie ist, in dem Sinne, dass
     $$\exists k,K>0\forall |{\bf r}|\geq K:~~ V({\bf r})-E ~\geq~ \frac{\hbar^2k^2}{2m},$$

   und

   • (v) wenn$\psi$ist begrenzt $$\exists c>0\forall {\bf r}\in\mathbb{R}^d:~~ |\psi({\bf r})|~\leq ~c.$$

   Siehe zB meine Phys.SE-Antwort hier für den 1D-Fall.

4. Bedingung (iv) weist darauf hin, dass es eine Schwellenenergie gibt (gegeben durch den minimalen asymptotischen Wert des Potentials), über der ein Kontinuum von Streuzuständen existiert.

5. Oberhalb der Schwellenenergie ist die Lösung (i) oszillatorisch und aus physikalischen Gründen wird allgemein erwartet, dass sie die Bedingung (ii) verletzt. Dies erklärt die zweite Hälfte der Titelfrage von OP.

6. Es sollte jedoch betont werden, dass in besonderen Fällen gebundene Zustände im Kontinuum existieren können, siehe zB die Antwort von Keith McClary.

--

$^1$Hier nehmen wir der Einfachheit halber an, dass das Potenzial$V$ist nicht so singulär im Inneren/Volumen, dass die Lösung (i) dort singulär wird.

Warum sind, wenn ein stabiler gebundener Zustand existiert, die Energien der zugehörigen stationären Wellenfunktionen negativ?

Zuerst müssen wir verstehen, dass Energie relativ ist, sowohl in der Quanten- als auch in der Newtonschen Mechanik. Das bedeutet, dass unterschiedliche Referenzrahmen unterschiedliche Werte für die Energie eines bestimmten Objekts an einem bestimmten Punkt in Raum und Zeit bestimmen.

In diesem Fall erlauben wir negative Energiewerte für Delta-Potenzialenergie durch das Folgende.

𝑉(𝑥)=−𝜆 𝛿(𝑥) (wobei 𝜆 eine positive Zahl ist)

Das bedeutet, dass wir in diesem Bezugsrahmen alle Energiewerte mit einem minimalen 𝑉(𝑥) -Wert betrachten , der negativ unendlich ist. Daher dürfen wir die Schrödinger-Gleichung für alle negativen und positiven Energiewerte lösen.

Im Gegensatz dazu betrachten wir für den Referenzrahmen des Problems freier Teilchen den Mindestwert von 𝑉(𝑥) als Null und alle Energiewerte sollten für wohldefinierte Lösungen positiv sein.

Die Energieerhaltung gilt jedoch in jedem Bezugssystem. Das bedeutet, dass in einem einzigen Bezugssystem die Gesamtenergie (KE + PE) über die Zeit konstant ist.