Was sind die Energieeigenwerte eines Teilchens, das dem Potential V(x)=mg|x|V(x)=mg|x|V(x)=mg|x| ausgesetzt ist?

Ich betrachte ein Teilchen innerhalb eines durch gegebenen Potentials

$$V(x)=mg|x|$$ und versuche, die Energieeigenwerte des Systems zu finden.

Nehmen$V(x)$stückweise zu definieren, ich habe die Schrödinger-Gleichung stückweise gelöst und die Lösungen gefunden, wann$x>0$:

$$\psi(y_1)=C_1\mathrm{Ai}(y_1)+C_2\mathrm{Bi}(y_1),$$ Wo$\mathrm{Ai}$Und$\mathrm{Bi}$sind Airy-Funktionen und$y_1=\alpha^{1/3}(x-\frac{E}{mg})$, wo ich definiert habe$\alpha$als solches$\alpha=\frac{2m^2g}{\hbar^2}$, und wann$x<0$: $$\psi(y_2)=C_3\mathrm{Ai}(y_2)+C_4\mathrm{Bi}(y_2),$$ wo in diesem Fall$y_2=\alpha^{1/3}(-x-\frac{E}{mg})$, und die anderen Parameter werden auf die gleiche Weise wie zuvor definiert.

Basierend auf der Form der Airy-Funktion zweiter Art,$\mathrm{Bi}$, beide$C_2$Und$C_4$sollte Null sein, denke ich, und die beiden Funktionen sollten einander gleich sein, wenn sie ausgewertet werden$x=0$, oder in Bezug auf$y$, Wenn$y=-\alpha^{1/3}\frac{E}{mg}$.

Die andere Bedingung, die erfüllt sein muss, ist, dass ihre Ableitungen auch an dieser Stelle gleich sind. Jenseits dieses Punktes weiß ich nicht, wie ich weiter vorgehen soll.

Wo wann im Fall eines asymmetrischen Dreieckspotentials$x>0$,$V(x)=mgx$, und ist$\infty$andernfalls, weil die Wellenfunktion bei Null gehen muss$x=0$, kann man einfach nach den Wurzeln der Airy-Funktion auflösen und die Energieeigenwerte finden.

Dies ist hier nicht der Fall, denn Bedingung ist, dass die beiden Wellenfunktionen bei gleich sein müssen$x=0$. Wie können also die Energieeigenwerte des symmetrischen Dreieckspotentials hierin gefunden werden?