Gibt es messbare Auswirkungen auf die Skalierung der Aktion durch eine Konstante?

Nun, im Grunde hast du deine Frage selbst beantwortet. Die Neuskalierung der Aktion ist dasselbe wie die Neuskalierung der Planckschen Konstante. Klassisch kann das natürlich nichts bewirken. Aber auf der Quantenebene$\hbar$misst die Nichtkommutativität von Observablen und in der äußersten Grenze$\hbar \to 0$Sie gewinnen klassische Mechanik zurück.

Das Vorzeichen spielt weder klassisch noch quantenmechanisch eine Rolle. Uns geht es nicht nur um die Minimierung der Aktion, sondern um alle Extrema. Das Umkehren des Vorzeichens bedeutet nur, dass wir die Bedeutung von Maximum und Minimum vertauschen, aber die Lösungen ändern sich überhaupt nicht.

Für die klassische Mechanik spielt die Größe eines Skalierungsfaktors keine Rolle, aber das Vorzeichen kann davon abhängen, wie Sie Ihr Wirkprinzip formulieren. Das Prinzip der geringsten Aktion kann von manchen etwas zu wörtlich genommen werden, aber wie Sie bemerken, ist es die strengere Definition, ob der Pfad stationär ist. Für ausreichend kurze Zeitunterschiede ist die Wirkung in der klassischen Mechanik für Teilchen immer ein Minimum (naja, oder ein Maximum, je nach Wahl des Vorzeichens). Siehe „When action is not least“ von Taylor und Gray. Aber auch für kurze Zeit sind die "Pfade" der Felder in der klassischen Mechanik Sattelpunkte im Geschehen. Irgendwann muss man also aufhören, das „geringste“ in der geringsten Handlung wörtlich zu nehmen.

Für die Quantenmechanik wird die Skalierung einen Effekt verursachen. Dies ist einer der Hauptgründe, warum klassische Aktionen, die zu denselben Bewegungsgleichungen führen, tatsächlich zu unterschiedlichen Quantentheorien führen können. Dieser Effekt ist also prinzipiell messbar. Das Vorzeichen ist jedoch immer noch nicht messbar, da die Vorzeichenwahl nur eine Konvention ist.

Ihr Argument ist absolut richtig; Eine Änderung des Vorzeichens / Skalierungsfaktors ändert die Lösungen der "klassischen" Gleichung nicht$\delta S = 0.$Observables ändern sich jedoch. Wenn Sie etwas Feldtheorie gesehen haben, wissen Sie, dass eine beobachtbare F wie folgt berechnet wird

$$\langle F \rangle = \frac{\int\mathrm{d}\phi F[\phi] e^{iS[\phi]/\hbar}}{\int\mathrm{d}\phi e^{iS[\phi]/\hbar}};$$ Das Ändern der Skala von S ändert das , was Sie messen. Es ist tatsächlich gleichbedeutend mit einer Maßstabsänderung in $\hbar,$praktisch jede beobachtbare Größe ändert also irgendwie ihren Wert!

Wenn Autoren außerdem sagen, dass das Vorzeichen eine Rolle spielt, hilft es, über die Verbindung zwischen Quanten- und klassischen Feldtheorien nachzudenken. Wenn Sie beispielsweise das kostenlose QFT 'Wick rotieren', erhalten Sie es

$$S[\phi] = \int\mathrm{d}^Dx \frac{1}{2}(\nabla\phi(x))^2 + \frac{1}{2}m^2\phi(x)^2,$$ was konstruktionsbedingt überall positiv ist: $S[\phi] \geq 0.$In diesem Fall sind Ausdrücke wie $$\langle F \rangle = \frac{\int\mathrm{d}\phi F[\phi] e^{-\beta S[\phi]}}{\int\mathrm{d}\phi e^{-\beta S[\phi]}}$$ sinnvoll, da die Integrale konvergieren. Wenn Sie das Vorzeichen von ändern $S$, die Integrale divergieren plötzlich fürchterlich - man hat plötzlich keine schöne Feldtheorie mehr. Dies ist eine sehr allgemeine Eigenschaft: Große Feldwerte und große Abweichungen sollten durch exponentielle Unterdrückung „bestraft“ werden; ändert man das Vorzeichen, werden große Werte und Abweichungen exponentiell begünstigt.