Wie addiert man nicht parallele Rapidities?

---

In obiger Abbildung-01 ein Inertialsystem$\:\mathrm S'\:$bezüglich des Inertialsystems verschoben wird$\:\mathrm S\:$mit konstanter Geschwindigkeit

$$\begin{align} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\mathbf{u}_1 \boldsymbol{=} \left(u_{1x},u_{1y},u_{1z}\right) & \boldsymbol{=}\left(u_1 n_{1x},u_1 n_{1y},u_1 n_{1z}\right) \boldsymbol{=} u_1 \mathbf{n}_1\,, \qquad u_1 \in \left(-c,0\right)\cup\left(0,c\right) \tag{01a}\label{01a}\\ \Vert \mathbf{n}_1 \Vert^2 & \boldsymbol{=} n^2_{1x}\boldsymbol{+}n^2_{1y} \boldsymbol{+} n^2_{1z} \boldsymbol{=}1 \tag{01b}\label{01b} \end{align}$$ Die Lorentz-Transformation$\:\mathrm S \longrightarrow \mathrm S'\:$Ist
$$\begin{align} \mathrm d\mathbf{r'} & \boldsymbol{=} \mathrm d\mathbf{r}\boldsymbol{+}(\gamma_1\boldsymbol{-}1)(\mathbf{n}_1\boldsymbol{\cdot} \mathrm d\mathbf{r})\mathbf{n}_1\boldsymbol{-}\gamma_1 \mathbf{u}_1\mathrm d t \tag{02a}\label{02a}\\ \mathrm d t' & \boldsymbol{=} \gamma_1\left(\mathrm d t\boldsymbol{-}\dfrac{\mathbf{u}_1\boldsymbol{\cdot} \mathrm d\mathbf{r}}{c^{2}}\right) \tag{02b}\label{02b}\\ \gamma_1 & \boldsymbol{=} \left(1\boldsymbol{-}\dfrac{u^2_1}{c^2}\right)^{\boldsymbol{-}\frac12} \tag{02c}\label{02c} \end{align}$$ während es invers ist$\:\mathrm S' \boldsymbol{\longrightarrow} \mathrm S\:$Ist $$\begin{align} \mathrm d\mathbf{r} & \boldsymbol{=} \mathrm d\mathbf{r'}\boldsymbol{+}(\gamma_1\boldsymbol{-}1)(\mathbf{n}_1\boldsymbol{\cdot} \mathrm d\mathbf{r'})\mathbf{n}_1\boldsymbol{+}\gamma_1 \mathbf{u}_1\mathrm d t' \tag{03a}\label{03a}\\ \mathrm d t & \boldsymbol{=} \gamma_1\left(\mathrm d t'\boldsymbol{+}\dfrac{\mathbf{u}_1\boldsymbol{\cdot} \mathrm d\mathbf{r'}}{c^{2}}\right) \tag{03b}\label{03b} \end{align}$$

Lassen Sie nun ein Punktteilchen$\:\mathrm P\:$mit Geschwindigkeit bewegen$\:\mathbf{u}_2\:$in Bezug auf System$\:\mathrm S'\:$Wo

$$\begin{align} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\mathbf{u}_2 \boldsymbol{=}\dfrac{\mathrm d\mathbf{r'}}{\mathrm d t'} \boldsymbol{=}\left(u_{2x'},u_{2y'},u_{2z'}\right) & \boldsymbol{=} \left(u_2 n_{2x'},u_2 n_{2y'},u_2 n_{1z'}\right) \boldsymbol{=} u_2 \mathbf{n}_2\,, \quad u_2 \in \left(-c,c\right) \tag{04a}\label{04a}\\ \Vert \mathbf{n}_2 \Vert^2 & = n^2_{2x'}+n^2_{2y'} + n^2_{2z'} = 1 \tag{04b}\label{04b}\\ \gamma_2 & \boldsymbol{=} \left(1\boldsymbol{-}\dfrac{u^2_2}{c^2}\right)^{\boldsymbol{-}\frac12} \tag{04c}\label{04c} \end{align}$$ Um seine Geschwindigkeit zu finden$\:\mathbf{u}\:$in Bezug auf System$\:\mathrm S\:$Wo $$\begin{align} \mathbf{u} \boldsymbol{=}\dfrac{\mathrm d\mathbf{r}}{\mathrm d t} \boldsymbol{=}\left(u_{x},u_{y},u_{z}\right) & \boldsymbol{=} \left(u n_{x},u n_{y},u n_{z}\right) \boldsymbol{=} u \mathbf{n}\,, \qquad u \in \left(-c,c\right) \tag{05a}\label{05a}\\ \Vert \mathbf{n} \Vert^2 & = n^2_{x}+n^2_{y} + n^2_{z} = 1 \tag{05b}\label{05b}\\ \gamma & \boldsymbol{=} \left(1\boldsymbol{-}\dfrac{u^2}{c^2}\right)^{\boldsymbol{-}\frac12} \tag{05c}\label{05c} \end{align}$$ Wir dividieren Gleichungen $\eqref{03a}$, $\eqref{03b}$nebeneinander und haben $$\begin{equation} \mathbf{u} \boldsymbol{=}\dfrac{\mathbf{u}_2\boldsymbol{+}(\gamma_1\boldsymbol{-}1)(\mathbf{n}_1\boldsymbol{\cdot} \mathbf{u}_2)\mathbf{n}_1\boldsymbol{+}\gamma_1 \mathbf{u}_1}{ \gamma_1\left(1\boldsymbol{+}\dfrac{\mathbf{u}_1\boldsymbol{\cdot}\mathbf{u}_2}{c^{2}}\right)} \tag{06}\label{06} \end{equation}$$ Ersetzen$\:\mathbf{n}_1\boldsymbol{\longrightarrow} \mathbf{u}_1/u_1\:$ $$\begin{equation} \boxed{\:\:\mathbf{u} \boldsymbol{=}\dfrac{\mathbf{u}_2\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma^2_{1}\left(\mathbf{u}_1\boldsymbol{\cdot}\mathbf{u}_2\right)}{c^2 \left(\gamma_{1}\boldsymbol{+}1\right)}\mathbf{u}_1\boldsymbol{+}\gamma_1 \mathbf{u}_1}{ \gamma_1\left(1\boldsymbol{+}\dfrac{\mathbf{u}_1\boldsymbol{\cdot}\mathbf{u}_2}{c^{2}}\right)}\:\:} \tag{07}\label{07} \end{equation}$$ Obige Gleichung, darüber hinaus das Transformationsgesetz für 3-Geschwindigkeiten, ist das Gesetz der relativistischen Addition von 3-Geschwindigkeiten, genauer gesagt die relativistische Summe von$\:\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2$.

Nun, zwischen den$\gamma-$Faktoren$\gamma,\gamma_{1},\gamma_{2}\:$die folgende Gleichung gilt

$$\begin{equation} \boxed{\:\: \gamma \boldsymbol{=}\gamma_{1}\gamma_{2}\left(1\boldsymbol{+}\dfrac{\mathbf{u}_1\boldsymbol{\cdot}\mathbf{u}_2}{c^2}\right)\vphantom{\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{a}{b}}}\:\:} \tag{08}\label{08} \end{equation}$$ Diese Beziehung wird wie folgt bewiesen:

Lassen$\:\mathrm S^{\mathrm P}\:$das Ruhesystem des Teilchens$\:\mathrm P$. Bei diesem System$\:\mathrm S^{\mathrm P}\:$die Zeit ist die richtige$\:\tau$. Das Ruhesystem$\:\mathrm S^{\mathrm P}\:$bewegt sich mit Geschwindigkeit$\:\mathbf{u}_2\:$in Bezug auf System$\:\mathrm S'\:$also gemäß der Lorentz-Transformation zwischen diesen Systemen, die wir haben

$$\begin{equation} \dfrac{\mathrm dt'}{\mathrm d\tau}\boldsymbol{=}\gamma_2 \tag{09}\label{09} \end{equation}$$ Auf dem gleichen Schritt, da das Ruhesystem$\:\mathrm S^{\mathrm P}\:$bewegt sich mit Geschwindigkeit$\:\mathbf u\:$in Bezug auf System$\:\mathrm S\:$wir haben $$\begin{equation} \dfrac{\mathrm dt\hphantom{'}}{\mathrm d\tau}\boldsymbol{=}\gamma \tag{10}\label{10} \end{equation}$$ Zum anderen von der Lorentz-Transformation zwischen den Systemen$\:\mathrm S\:$Und$\:\mathrm S'\:$wir haben, sehen Sie $\eqref{03b}$ $$\begin{equation} \dfrac{\mathrm dt\hphantom{'}}{\mathrm dt'}\boldsymbol{=}\gamma_{1}\left(1\boldsymbol{+}\dfrac{\mathbf{u}_1\boldsymbol{\cdot}\mathbf{u}_2}{c^2}\right) \tag{11}\label{11} \end{equation}$$ Aus Gleichungen $\eqref{09}$, $\eqref{10}$Und $\eqref{11}$die Beziehung $\eqref{08}$bewiesen ist, das heißt $$\begin{equation} \gamma\boldsymbol{=}\dfrac{\mathrm dt\hphantom{'}}{\mathrm d\tau}\boldsymbol{=}\dfrac{\mathrm dt\hphantom{'}}{\mathrm dt'}\dfrac{\mathrm dt'}{\mathrm d\tau}\boldsymbol{=}\gamma_{1}\gamma_{2}\left(1\boldsymbol{+}\dfrac{\mathbf{u}_1\boldsymbol{\cdot}\mathbf{u}_2}{c^2}\right) \tag{12}\label{12} \end{equation}$$ In Bezug auf die Schnelligkeiten$\:\zeta_1,\zeta_2,\zeta\:$Wo $$\begin{equation} \tanh\zeta_1\boldsymbol{=}\dfrac{u_1}{c}\,,\quad \tanh\zeta_2\boldsymbol{=}\dfrac{u_2}{c}\,,\quad\tanh\zeta\boldsymbol{=}\dfrac{u}{c} \tag{13}\label{13} \end{equation}$$ Gleichung $\eqref{08}$wird umgeschrieben als $$\begin{equation} \boxed{\:\:\cosh\zeta\boldsymbol{=}\cosh\zeta_1\cosh\zeta_2\boldsymbol{+}\underbrace{\left(\mathbf{n}_1\boldsymbol{\cdot}\mathbf{n}_2\right)}_{\cos\omega}\sinh\zeta_1\sinh\zeta_2\vphantom{\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{a}{b}}}\:\:} \tag{14}\label{14} \end{equation}$$ Wo$\:\omega \in [0,\pi]\:$der Winkel zwischen den Einheitsvektoren$\:\mathbf{n}_1\:$Und$\:\mathbf{n}_2$, siehe Abbildung-01.

Bei parallel$\:\mathbf{n}_1,\mathbf{n}_2\:$wir haben

$$\begin{equation} \zeta\boldsymbol{=} \left. \begin{cases} \zeta_1\boldsymbol{+}\zeta_2 & \text{if}\:\:\: \omega=0\\ \zeta_1\boldsymbol{-}\zeta_2 & \text{if}\:\:\: \omega=\pi \end{cases}\right\} \tag{15}\label{15} \end{equation}$$

$=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!$

Jetzt stellen wir eine Korrelation mit der Zusammensetzung zweier Drehungen im Raum her.

Wie wir im Folgenden sehen werden (Abbildung-04), dient Abbildung-02 zur geometrischen Darstellung (Konstruktion) der Zusammensetzung zweier Drehungen im Raum. In dieser Figur zwei Ebenen$\:\rm p_1, p_2\:$in einem Winkel$\:\omega\:$Linie schneiden$\:\epsilon$. Zwei Linien$\:\epsilon_1,\epsilon_2\:$auf Flugzeugen$\:\rm p_1, p_2\:$gehen jeweils durch einen gemeinsamen Punkt auf der Linie$\:\epsilon\:$in Winkeln$\:\phi_1,\phi_2\:$in Bezug auf diese Linie. Durch elementare Trigonometrie haben wir

$$\begin{equation} \cos\phi \boldsymbol{=} \cos\phi_1 \cos\phi_2\boldsymbol{-}\cos\omega \sin\phi_1 \sin\phi_2 \tag{16}\label{16} \end{equation}$$ Wenn wir in der obigen Gleichung die realen Winkel ersetzen$\:\phi_1,\phi_2,\phi\:$mit imaginären $$\begin{equation} \phi_1\boldsymbol{=}\mathrm{i}\,\zeta_1\,,\quad \phi_2\boldsymbol{=}\mathrm{i}\,\zeta_2\,,\quad \phi\boldsymbol{=}\mathrm{i}\,\zeta \tag{17}\label{17} \end{equation}$$ das ist $$\begin{equation} \cos\left(\mathrm{i}\,\zeta\right) \boldsymbol{=} \cos\left(\mathrm{i}\,\zeta_1\right) \cos\left(\mathrm{i}\,\zeta_2\right)\boldsymbol{-}\cos\omega \sin\left(\mathrm{i}\,\zeta_1\right) \sin\left(\mathrm{i}\,\zeta_2\right) \tag{18}\label{18} \end{equation}$$ dann treffen wir gleichung $\eqref{14}$nochmal $$\begin{equation} \cosh\zeta\boldsymbol{=}\cosh\zeta_1\cosh\zeta_2\boldsymbol{+}\cos\omega\sinh\zeta_1\sinh\zeta_2 \tag{19}\label{19} \end{equation}$$ seit $$\begin{equation} \cos\left(\mathrm{i}\,\rho\right)\boldsymbol{=}\cosh\rho\,,\quad \sin\left(\mathrm{i}\,\rho\right)\boldsymbol{=}\mathrm{i}\,\sinh\rho \qquad \rho \in \mathbb{R} \tag{20}\label{20} \end{equation}$$ und formal haben wir Figure-03.

Winkel funktionieren sehr gut in zwei Dimensionen (der euklidischen Ebene oder 1+1 Raumzeit), wo Sie nur einen benötigen. In drei oder mehr Dimensionen gibt es Singularitäten in der Darstellung von Richtung oder Drehung/Orientierung durch Winkel, und andere Darstellungen sind eleganter.

Außerdem sind in 3 oder mehr Dimensionen der Richtungsraum (Geschwindigkeiten) und der Rotationsraum (Lorentz-Transformationen) unterschiedlich. Sie können sie nicht mehr verschmelzen. Das bedeutet, dass es in höheren Dimensionen kein Analogon zur „schnellen Addition“ gibt. Stattdessen müssen Sie entweder eine Drehung (Lorentz-Transformation) auf eine Richtung (Geschwindigkeit) anwenden oder zwei Drehungen zusammensetzen, und dies sind unterschiedliche Operationen.

Die eleganteste Art, eine Richtung darzustellen, ist durch einen Einheitsvektor, der in diese Richtung zeigt. In der Raumzeit ist dies die Vierergeschwindigkeit . Es ist nicht genau analog zur Schnelligkeit, aber es ist die Verallgemeinerung, die Ihnen am wenigsten Kopfschmerzen bereiten wird. In Bezug auf die Vier-Geschwindigkeit$\mathbf v$du hast

• Lorentzfaktor:$\mathbf v \cdot \mathbf{\hat t}$
• Koordinatengeschwindigkeit:$\mathbf v / (\mathbf v \cdot \mathbf{\hat t}) - \mathbf{\hat t}$
• Richtige Geschwindigkeit:$\mathbf v - (\mathbf v \cdot \mathbf{\hat t}) \mathbf{\hat t}$
• Gesamtenergie und Impuls:$m\mathbf v$
• Richtige Beschleunigung:$\mathrm d\mathbf v/\mathrm dτ$

Im euklidischen 3D-Raum ist die eleganteste Art, eine Rotation oder Orientierung darzustellen, eine Einheitsquaternion . Die Verallgemeinerung auf eine beliebige Dimension und Signatur wird als gerade Clifford-Algebra des Raums bezeichnet. Indem Sie Elemente der Clifford-Algebra multiplizieren, können Sie sehen, warum Vektoren für diesen Zweck ungeeignet sind. Zum Beispiel die Zusammensetzung von Boosts in der$\mathbf v$Und$\mathbf u$Wegbeschreibung ist

$$(A + B \mathbf{\hat t u})(C + D \mathbf{\hat t v}) = AC + \mathbf{\hat t}(BC\mathbf u + AD\mathbf v) - BD\mathbf{uv}$$ Wo$A,B,C,D$sind Skalare, die ich der Kürze halber weglasse. Wenn$\mathbf u {\parallel} \mathbf v$Dann$\mathbf{uv}$ein Skalar ist und dies einer Erhöhung in die gleiche Richtung entspricht. Ansonsten ist es kein Boost, denn es gibt eine zusätzliche Rotation in der$\mathbf{uv}$Ebene.