Ist vvv bei Winkelbewegungen nicht immer gleich ωrωr\omega r?

$v = |\vec{\omega}\times\vec{r}|= \omega r$gilt immer für einen starren rotierenden Körper. Hier,$r$bezieht sich auf den Abstand eines bestimmten Punktes von einer gewählten Rotationsachse,$\omega$, die Winkelgeschwindigkeit des Körpers um diese gewählte Achse und$v$, die lineare Geschwindigkeit dieses Punktes senkrecht zum Radiusvektor (oder der Linie, die die Achse mit diesem Punkt verbindet).

In dem unten angegebenen Bild könnte man zum Beispiel sagen

$$V_\perp =|\vec{\omega}\times\vec{r}|= \omega r = r \frac{d\phi}{dt}$$

Es ist also im Allgemeinen eine Beziehung zwischen der Winkelgeschwindigkeit und der linearen Geschwindigkeit eines Punktes. Dies ist immer wahr.

Zu dem Problem wurde jedoch etwas anderes gesagt. Bei dem Problem,$v$bezieht sich auf die Geschwindigkeit des Schwerpunkts des Rings. Das Problem besagt also nur, dass sich der Schwerpunkt des Körpers mit einer bestimmten Geschwindigkeit bewegt

$$v_{cm} = \frac{\omega R}{2}$$

Hier ist nichts falsch, der Schwerpunkt kann sich beliebig schnell bewegen. Wenn Sie nun den Massenmittelpunkt als Rotationszentrum gewählt haben, dann haben Sie eine Rotation bei$\omega$einer Übersetzung bei überlagert$v_{cm}$. Jede Rollbewegung kann wie unten gezeigt in eine reine Rotation und eine reine Translation zerlegt werden. Dann können die beiden Effekte überlagert werden.

Um diesen Massenschwerpunkt

$$v_{rot}=\omega r$$ So hat der Kontaktpunkt mit dem Boden (in einem Abstand R vom CM) beispielsweise eine lineare Geschwindigkeit $v_{cm} - R\omega$da sich an dieser Stelle Rotation und Translation entgegenwirken. Wie andere darauf hingewiesen haben, ist dies nicht 0, und das impliziert, dass am Kontaktpunkt eine gewisse relative Bewegung zwischen dem Ring und dem Boden besteht. Das nennt man Rutschen.

Also hatte dein Freund recht. Beides ist gültig und richtig. Aber sie beziehen sich auf verschiedene Dinge – das eine auf die Bewegung des Massenmittelpunkts und das andere auf die Bewegung irgendeines Punktes am Körper.

Wie Alfred Centauri erwähnte, rutscht der Ring tatsächlich. Stellen Sie sich einen Ring vor, dessen Mittelpunkt feststeht, sich aber gleichzeitig dreht. Deutlich$v=0$Aber$\omega\neq 0$.

Im Allgemeinen eine gut definierte Beziehung zwischen der Translationsgeschwindigkeit$v$und Rotationsgeschwindigkeit$\omega$liegt bei einem schlupffrei abrollenden Ring vor. Ansonsten gibt es keine Beschränkung, die sie in Beziehung setzt.

Schließlich, wenn der Ring rollt, ohne zu rutschen, bewegt sich die Unterseite des Rings, die den Boden berührt, nicht (das ist die Definition von Rollen ohne Rutschen). Daher hebt die Rotationsbewegungskomponente die Translationsbewegungskomponente für diesen Punkt genau auf. Daraus sollte sich bei einer Translationsgeschwindigkeit von ableiten lassen$v$, die Drehzahl$\omega=v/R$, das ist die Formel, die Sie kennen.