Klassifizierung irreduzibler Unterräume für Drehimpuls nach Symmetrisierung

Das Ziel ist also, einen Tensorproduktraum zu nehmen und seine rotationsgeschlossenen Unterräume herauszufinden, die auch irreduzible Darstellungen (irreps) genannt werden. Bei Anwendung auf Quantendrehimpulse sind die rotationsgeschlossenen Unterräume die Kombinationen, die Eigenzustände des Gesamtdrehimpulses sind.

Es gibt eine tiefe mathematische Theorie (Schur-Weyl-Dualität), die diese Unterräume mit den Darstellungen der symmetrischen Gruppe (auch bekannt als: die Permutationsgruppe) in Beziehung setzt. Darüber hinaus sind diese Darstellungen über die Robinson-Schensted-Korrespondenz mit Young-Tableaus verbunden. Die Darstellungen der symmetrischen Gruppe beziehen sich letztendlich auf die Partitionen einer ganzen Zahl, dh auf wie viele Arten die ganze Zahl als Summe kleinerer (oder gleicher) positiver ganzer Zahlen ausgedrückt werden kann.

Eine Literaturrecherche zu den oben genannten Begriffen führt Sie in die schwer zu durchdringende Mathematik auf Hochschulniveau. Hier werde ich versuchen, einen physikalisch orientierten Ansatz zu präsentieren, der hoffentlich einige der abstrakten Konzepte etwas konkreter macht.

Sie beginnen mit der fundamentalen Darstellung als einzelne Box in einem Young-Diagramm:

╭──┐
│  │
└──┘

Dies repräsentiert die 2-dimensionale Spin-Up/Spin-Down-Irrep.

Nimm nun das Tensorprodukt mit sich selbst:

╭──┐   ╭──┐   ╭──┬──┐   ╭──┐
│  │ X │  │ = │  │  │ + │  │
└──┘   └──┘   └──┴──┘   ├──┼
                        │  │
                        └──┘ 

Das Tensorprodukt wird gebildet, indem die beiden linken Diagramme auf alle möglichen Arten kombiniert werden, die ein legitimes Young-Diagramm bilden.

Jedes Diagramm auf der rechten Seite repräsentiert einen Irrep des Gesamtdrehimpulses. Sie können die Dimension der Darstellung finden, indem Sie die bemerkenswerte Hakenlängenformel verwenden:

$${\rm dim}\,W(n, r) = \Pi_{(i,j)\in Y(n)}\frac{r+j-i}{{\rm hook}(i, j)}$$

$n$ist die Anzahl der Kästchen im Diagramm und$r$ist die Dimension der fundamentalen Irrep ($r=2$). Hier$(i, j)$eine ganze Zahl ist, die die Zeilen- und Spaltennummer bezeichnet, läuft das Produkt über alle Kästchen im Diagramm.${\rm hook}(i, j)$ist die Hakenlänge der Box, gegeben durch:

$${\rm hook}(i,j)=1+{\rm arm}(i,j)+{\rm leg}(i,j)$$

Die Armlänge (Beinlänge) einer Box ist die Anzahl der Boxen rechts (unter) der Box.

Die Anwendung der Hakenlängenformel auf die obige Gleichung ergibt:

$${\bf 2}\otimes{\bf 2}={\bf 3}_S\oplus{\bf 1}_A$$

was bedeutet, dass die Kombination von zwei Dubletts ein Triplett und ein Singulett ergibt, was wir in der elementaren Quantenmechanik gelernt haben.

(Tensor-Nebenbemerkung: Hätten wir 3-Vektoren als unsere fundamentale Irrep verwendet, ergibt die Hook-Length-Formel:

$${\bf 3}\otimes{\bf 3}={\bf 6}_S\oplus{\bf 3}_A$$

was uns sagt, dass ein kartesischer Tensor einen sechsdimensionalen Teil und einen dreidimensionalen Teil hat (der sich wie ein Vektor transformiert, auch bekannt als das Kreuzprodukt).

Im Minkowski-Raum sagt es uns, dass 4-Tensoren so aussehen:

$${\bf 4}\otimes{\bf 4}={\bf 10}_S\oplus{\bf 6}_A$$

wo wir die 10 Dimensionen des Spannungsenergietensors erkennen$T_{\mu\nu}$, und die Sechs des Elektromagnetismus$F_{\mu\nu}$).)

In der Tat eine bemerkenswerte Vorfachformel.

Weitere Betrachtung wird zeigen, dass die Unterräume in diesem Fall symmetrisch oder antisymmetrisch sind.

Hinweis: Wir haben 2 grundlegende Irreps kombiniert. Die Partitionen von 2 sind:

$$2 = 2$$ $$2 = 1 + 1$$

Jede Partition entspricht einem Young-Diagramm. Jedes Diagramm hat eine Reihe von Standard-Young-Tabellen (dh jedes Kästchen wird mit einer Zahl von 1 bis n gefüllt, sodass die Zahlen von links nach rechts und von oben nach unten zunehmen). Eine andere Hook-Length-Formel sagt uns, wie viele Standardtableaus für jedes Diagramm existieren:

$${\rm dim}\pi_n = \Pi_{(i,j)\in Y(n)}\frac{n!}{{\rm hook}(i, j)}$$

Dies ist die Anzahl der Irreps dieser Dimension (und die Anzahl der Irreps der symmetrischen Gruppe dieser Dimension). Hier ist es beides 1:

╭──┬──┐ 
│1 │2 │
└──┴──┘
╭──┐
│1 │
├──┼
│2 │
└──┘ 

Es wird deutlich, warum die horizontalen (vertikalen) Boxen (anti)symmetrisch sind.

Um die Kraft der Young-Tableaus zu zeigen, müssen wir 3 Irreps kombinieren. Wenn es Spin 1/2 ist, sagt uns die Formel für die Hakenlänge:

$${\bf 2}\otimes{\bf 2}\otimes{\bf 2}={\bf 4}_S\oplus{\bf 2}_M\oplus {\bf 2}_M$$

Die Dimension der symmetrischen Kombination ist 4:

$$|\frac 3 2,+\frac 3 2\rangle = |\uparrow\uparrow\uparrow\rangle$$ $$|\frac 3 2,+\frac 1 2\rangle = (|\downarrow\uparrow\uparrow\rangle+|\uparrow\downarrow\uparrow\rangle+|\uparrow\uparrow\downarrow\rangle)/\sqrt 3$$ $$|\frac 3 2,-\frac 1 2\rangle = (|\downarrow\downarrow\uparrow\rangle+|\downarrow\uparrow\downarrow\rangle+|\uparrow\downarrow\downarrow\rangle)/\sqrt 3$$ $$|\frac 3 2,-\frac 3 2\rangle = |\downarrow\downarrow\downarrow\rangle$$

während die antisymmetrische Kombination die Dimension 0 hat: Es gibt keinen Singulett-Zustand. (Tensor-Randbemerkung: hatten wir verwendet$r=3$und nicht$r=2$in der Hook-Length-Formel hätten wir einen eindimensionalen antisymmetrischen Raum, der von aufgespannt wird$\epsilon_{ijk}$...bemerkenswert...wie funktioniert es?).

Die Frage bleibt: Wie sagen uns die Diagramme, wie wir die Permutation von Indizes oder Spin-Zuständen kombinieren können? Dafür schauen wir uns einen anderen an$n=3$Diagramm, mit zwei Standardfüllungen:

╭──┬──┐ 
│1 │2 │
├──┼──┘
│3 │
└──┘ 

╭──┬──┐ 
│1 │3 │
├──┼──┘
│2 │
└──┘ 

Für Einzelheiten konzentrieren wir uns auf die oberste. Von hier aus berechnen wir den Young-Symmetrisierer und wenden ihn auf Partikeletiketten (oder Indizes, wenn wir Rang-3-Tensoren verwenden) an.

Zuerst brauchen wir die symmetrische Gruppe auf 3 Buchstaben$(1,2,3)$:

$$S_3 =\{e,e_{23},e_{12},e_{123},e_{132},e_{13}\}$$

wo die Permutation, zB$e_{123}$bedeutet$(1,2,3)\rightarrow (2,3,1)$. Das sind alle sechs Elemente, mit$e$die Identität sein.

Erstens: Finden Sie alle Permutationen, die das Tableau "Zeilenäquivalent" verlassen. Tableaus sind zeilenäquivalent, wenn jede Zeile die gleichen Nummern hat:

$R=\{e,e_{12}\}$

und ähnlich für die Spaltenäquivalenz, mit dem Zusatz, dass wir die Parität der Permutation einbeziehen:

$C=\{e,-e_{13}\}$

Der Young-Symmetrisierer ist dann das Produkt dieser beiden wie folgt:

$$S =R*C = \{e+e_{12}-e_{13}-e_{132} \}$$

Diese Permutationen wenden Sie dann auf an$|\uparrow\uparrow\downarrow\rangle$, und normalisieren, um Folgendes zu erhalten:

$$|\frac 1 2, +\frac 1 2\rangle= (|\uparrow\uparrow\downarrow\rangle - |\downarrow\uparrow\uparrow\rangle)/\sqrt 2$$

Kinderleicht.