Was sind die mathematischen Modelle für Kraft, Beschleunigung und Geschwindigkeit?

Question

Was sind die mathematischen Modelle für Kraft, Beschleunigung und Geschwindigkeit?

Physik
Vektorfelder
klassische Mechanik
Dimensionsanalyse
Differentialgeometrie

elflyao

In der Mechanik kann der Raum als Riemann-Mannigfaltigkeit beschrieben werden. Kräfte können dann als Vektorfelder dieser Mannigfaltigkeit definiert werden. Beschleunigungen sind lineare Funktionen von Kräften, also Covektorfelder. Aber was ist mit Geschwindigkeiten und vielen anderen Arten von Vektoren?
Natürlich sind Geschwindigkeiten keine Kräfte, daher halte ich es nicht für richtig, Vektorfelder dieser Mannigfaltigkeit wiederzuverwenden. Aber bedeutet das, dass diese Mannigfaltigkeit an jedem Punkt viele verschiedene Tangentialräume hat?
Das klingt für mich sehr seltsam. Ich denke, das Problem ist, dass mathematische Modelle keine physikalischen Einheiten haben. Vielleicht können wir irgendwie einen vielsortierten Verteiler erstellen, um Einheiten aufzunehmen?

ACuriousMind

„In der Mechanik lässt sich der Raum als Riemann-Mannigfaltigkeit beschreiben.“ ...naja, das kommt darauf an. Die Hamiltonsche Mechanik beschreibt normalerweise physikalische Systeme als symplektische Mannigfaltigkeiten . Auch verwandte Frage: Ist Kraft ein ko- oder kontravarianter Vektor?

Jerry Schirmer

Um dies sauber zu beantworten, ist etwas mehr erforderlich als das, was Sie bereitstellen. Sprechen wir von einer Newtonschen Mechanik in einem nicht unbedingt euklidischen Raum? Lassen wir hier eine relativistische Dynamik zu? Machen wir relativistische Dynamik, aber unter der Annahme, dass die Metrik in eine Art zerlegt werden kann

- d t^{2} + f (t) g_{i j} d x^{i} d x^{j}

$-dt^{2} + f(t)g_{ij}dx^{i}dx^{j}$ ? Ist das überhaupt ein metrischer Raum? Das klingt nach einer Menge technischer Beschwerden, aber die Antwort ist in all diesen Fällen tatsächlich anders.

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Was sind die mathematischen Modelle für Kraft, Beschleunigung und Geschwindigkeit?

„In der Mechanik lässt sich der Raum als Riemann-Mannigfaltigkeit beschreiben.“ ...naja, das kommt darauf an. Die Hamiltonsche Mechanik beschreibt normalerweise physikalische Systeme als symplektische Mannigfaltigkeiten . Auch verwandte Frage: Ist Kraft ein ko- oder kontravarianter Vektor?
Um dies sauber zu beantworten, ist etwas mehr erforderlich als das, was Sie bereitstellen. Sprechen wir von einer Newtonschen Mechanik in einem nicht unbedingt euklidischen Raum? Lassen wir hier eine relativistische Dynamik zu? Machen wir relativistische Dynamik, aber unter der Annahme, dass die Metrik in eine Art zerlegt werden kann $-dt^{2} + f(t)g_{ij}dx^{i}dx^{j}$ ? Ist das überhaupt ein metrischer Raum? Das klingt nach einer Menge technischer Beschwerden, aber die Antwort ist in all diesen Fällen tatsächlich anders.

John Alexiou · Answer 1

Geschwindigkeiten und räumliche Beschleunigungen sind Drehungen und Kräfte und Momente sind Schraubenschlüssel . Beide sind Schrauben (Zwei-Vektoren), wobei ein Vektor frei und der andere ein räumliches Feld ist. Alle transformieren sich nach den gleichen Gesetzen und ihre Interaktionen haben viele duale Eigenschaften.

_{HINWEIS: Siehe „Eine Abhandlung über die Schraubentheorie“, Stawell R. Ball, https://archive.org/details/theoryscrews00ballrich}

Bild1 Bild2

Der Proportionalitätstensor, der Drehungen in Schraubenschlüssel umwandelt, ist die räumliche 6 × 6-Massenmatrix, die Bewegung in Impuls und Beschleunigung in Kräfte umwandelt.

Zum Beispiel komponiere ich unten einen Velocity Twist und einen Momentum Schraubenschlüssel. Erkennen Sie die Ähnlichkeiten?

\begin{aligned} \hat{v} & = (\begin{matrix} ω \\ R \times ω \end{matrix}) & \hat{P} & = (\begin{matrix} P \\ R \times P \end{matrix}) \end{aligned}

$\begin{aligned} {\hat v} &= \begin{pmatrix} {\bf \omega} \\{\bf r} \times {\bf \omega} \end{pmatrix} & {\hat p} &= \begin{pmatrix} {\bf p} \\{\bf r} \times {\bf p} \end{pmatrix}\end{aligned}$

geniert · Answer 2

In der klassischen Mechanik wird ein System durch eine Lagrange-Funktion beschrieben $\mathscr{L}\colon TQ\to \mathbb{R}$ , mit $Q$ ist der Konfigurationsraum und $TQ$ sein Tangentenbündel, nämlich die Vereinigung über $q\in Q$ aller Tangentialräume $T_qQ$ : $TQ = \cup_q T_qQ$ . Ein lokales Diagramm auf $Q$ sieht aus wie $(q_1, \ldots, q_n)$ , Die $q_k$ die Freiheitsgrade des Systems sind . Der Lagrange ist dann $\mathscr{L}\equiv\mathscr{L}\big(q(t), v(t)\big)$ und die Bewegungsgleichungen sind:

\frac{D}{D T} \frac{\partial L}{\partial v^{μ}} - \frac{\partial L}{\partial Q^{μ}} = 0.

$\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial v^{\mu}} - \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial q^{\mu}}=0.$ Die Lösung ist eine Sammlung von

(q^{μ} (t), v^{μ} (t))

$\big(q^{\mu}(t), v^{\mu}(t)\big)$ die weiterleben

T Q

$TQ$ ; wenn wir die weitere Anforderung stellen, dass bei diesen Lösungen

v = \dot{q}

$v=\dot{q}$ , dann den Weg weiter

T Q

$TQ$ projiziert eindeutig auf einen Pfad auf

Q

$Q$ , deren Strömung durch die Geschwindigkeitsfelder gegeben ist.

Um Ihre Fragen direkt zu beantworten:

Kräfte können dann als Vektorfelder dieser Mannigfaltigkeit definiert werden. Beschleunigungen sind lineare Funktionen von Kräften, also Covektorfelder. Aber was ist mit Geschwindigkeiten und vielen anderen Arten von Vektoren?

Falsch. Positionen und Geschwindigkeiten sind Koordinaten lokaler Karten $\phi$ aus dem Tangentialbündel $\phi\colon U\subset TQ\to\mathbb{R}$ : als solche wandeln sie sich kontravariant um. Kräfte beziehen sich im obigen Formalismus auf die konjugierten Impulse $p_{\mu}=\partial\mathscr{L}/\partial{v^{\mu}}$ und transformieren daher kovariant mit der inversen Matrix.

Natürlich sind Geschwindigkeiten keine Kräfte, daher halte ich es nicht für richtig, Vektorfelder dieser Mannigfaltigkeit wiederzuverwenden. Aber bedeutet das, dass diese Mannigfaltigkeit an jedem Punkt viele verschiedene Tangentialräume hat?

Siehe oben. Außerdem haben Mannigfaltigkeiten an jedem Punkt nur einen Tangentenraum, der als die Menge aller an diesem Punkt berechneten Richtungsableitungen definiert ist.

Ich denke, das Problem ist, dass mathematische Modelle keine physikalischen Einheiten haben. Vielleicht können wir irgendwie einen vielsortierten Verteiler erstellen, um Einheiten aufzunehmen?

Das hat absolut nichts mit Einheiten zu tun.

Was sind die mathematischen Modelle für Kraft, Beschleunigung und Geschwindigkeit?

elflyao

ACuriousMind

Jerry Schirmer

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John Alexiou

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