Ist es ein Tippfehler in David Tongs Ableitung der Spin-Bahn-Wechselwirkung?

In obiger Abbildung-01 ein Inertialsystem$\:\mathrm S'\:$bezüglich des Inertialsystems verschoben wird$\:\mathrm S\:$mit konstanter Geschwindigkeit

$$\begin{align} \boldsymbol{\upsilon} & \boldsymbol{=}\left(\upsilon_{1},\upsilon_{2},\upsilon_{3}\right) \tag{02a}\label{02a}\\ \upsilon & \boldsymbol{=}\Vert \boldsymbol{\upsilon} \Vert \boldsymbol{=} \sqrt{ \upsilon^2_{1}\boldsymbol{+}\upsilon^2_{2}\boldsymbol{+}\upsilon^2_{3}}\:\in \left(0,c\right) \tag{02b}\label{02b} \end{align}$$

Die Lorentz-Transformation ist

$$\begin{align} \mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}} & \boldsymbol{=} \mathbf{x}\boldsymbol{+} \dfrac{\gamma^2}{c^2 \left(\gamma\boldsymbol{+}1\right)}\left(\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{x}\right)\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma\boldsymbol{\upsilon}}{c}c\,t \tag{03a}\label{03a}\\ c\,t^{\boldsymbol{\prime}} & \boldsymbol{=} \gamma\left(c\,t\boldsymbol{-} \dfrac{\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{x}}{c}\right) \tag{03b}\label{03b}\\ \gamma & \boldsymbol{=} \left(1\boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon^2}{c^2}\right)^{\boldsymbol{-}\frac12} \tag{03c}\label{03c} \end{align}$$

Für die Lorentz-Transformation$\eqref{03a}$-$\eqref{03b}$, die Vektoren$\:\mathbf{E}\:$Und$\:\mathbf{B}\:$des elektromagnetischen Feldes werden wie folgt transformiert

$$\begin{align} \mathbf{E}' & \boldsymbol{=}\gamma \mathbf{E}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma^2}{c^2 \left(\gamma\boldsymbol{+}1\right)}\left(\mathbf{E}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\upsilon}\right)\boldsymbol{\upsilon}\,\boldsymbol{+}\,\gamma\left(\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\mathbf{B}\right) \tag{04a}\label{04a}\\ \mathbf{B}' & \boldsymbol{=} \gamma \mathbf{B}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma^2}{c^2 \left(\gamma\boldsymbol{+}1\right)}\left(\mathbf{B}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\upsilon}\right)\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{-}\!\dfrac{\gamma}{c^2}\left(\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\mathbf{E}\right) \tag{04b}\label{04b} \end{align}$$ Nun, wenn im System$\:\mathrm S\:$wir haben$\:\mathbf{B}\boldsymbol{=0}$, dann ab $\eqref{04a}$- $\eqref{04b}$ $$\begin{align} \mathbf{E}' & \boldsymbol{=}\gamma \mathbf{E}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma^2}{c^2 \left(\gamma\boldsymbol{+}1\right)}\left(\mathbf{E}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\upsilon}\right)\boldsymbol{\upsilon} \tag{05a}\label{05a}\\ \mathbf{B}' & \boldsymbol{=} \boldsymbol{-}\dfrac{\gamma}{c^2}\left(\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\mathbf{E}\right) \tag{05b}\label{05b} \end{align}$$ Gleichung $\eqref{05b}$entspricht der Tong-Gleichung (es bleibt das Minuszeichen zu erklären).

Aus Gleichungen$\eqref{05a}$-$\eqref{05b}$wir haben

$$\begin{align} \mathbf{B}' & \boldsymbol{=} \boldsymbol{-}\dfrac{\gamma}{c^2}\left(\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\mathbf{E}\right) \boldsymbol{=}\boldsymbol{-}\dfrac{1}{c^2}\left(\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\gamma\mathbf{E}\right) \nonumber\\ & \boldsymbol{=} \boldsymbol{-}\dfrac{1}{c^2}\Biggl(\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\left[\gamma \mathbf{E}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma^2}{c^2 \left(\gamma\boldsymbol{+}1\right)}\left(\mathbf{E}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\upsilon}\right)\boldsymbol{\upsilon}\right]\Biggr) \boldsymbol{=}\boldsymbol{-}\dfrac{1}{c^2}\left(\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\mathbf{E}'\right) \nonumber \end{align}$$ das ist $$\begin{equation} \mathbf{B}' \boldsymbol{=}\boldsymbol{-}\dfrac{1}{c^2}\left(\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\mathbf{E}'\right) \tag{06}\label{06} \end{equation}$$ Gleichung $\eqref{06}$entspricht der Gleichung von Griffiths.

Basierend auf Gleichungen$\eqref{04a}$,$\eqref{04b}$das haben wir bewiesen

$$\begin{equation} \mathbf{B}\boldsymbol{=0}\quad\stackrel{\eqref{04a},\eqref{04b}}{\boldsymbol{=\!=\!=\!\Longrightarrow}}\quad \mathbf{B}' \boldsymbol{+}\dfrac{1}{c^2}\left(\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\mathbf{E}'\right)\boldsymbol{=0} \tag{06.1}\label{06.1} \end{equation}$$ Aber wir können die Gültigkeit seiner Umkehrung beweisen $$\begin{equation} \mathbf{B}' \boldsymbol{+}\dfrac{1}{c^2}\left(\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\mathbf{E}'\right)\boldsymbol{=0}\quad\stackrel{\eqref{04a},\eqref{04b}}{\boldsymbol{=\!=\!=\!\Longrightarrow}}\quad \mathbf{B}\boldsymbol{=0} \tag{06.2}\label{06.2} \end{equation}$$ Diese Bedingungen sind also äquivalent $$\begin{equation} \boxed{\:\:\mathbf{B}\boldsymbol{=0}\quad\stackrel{\eqref{04a},\eqref{04b}}{\boldsymbol{\Longleftarrow\!=\!=\!\Longrightarrow}}\quad \mathbf{B}' \boldsymbol{+}\dfrac{1}{c^2}\left(\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\mathbf{E}'\right)\boldsymbol{=0}\:\:\vphantom{\dfrac{\tfrac{a}{b}}{\tfrac{a}{b}}}} \tag{06.3}\label{06.3} \end{equation}$$ Gleichung $\eqref{06.2}$gilt, weil $$\begin{equation} \mathbf{B}' \boldsymbol{+}\dfrac{1}{c^2}\left(\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\mathbf{E}'\right)\boldsymbol{=}\gamma^{\boldsymbol{-}1}\mathbf{B}_{\boldsymbol{\perp}} \boldsymbol{+}\mathbf{B}_{\boldsymbol{\parallel}} \tag{06.4}\label{06.4} \end{equation}$$ Wo$\mathbf{B}_{\boldsymbol{\parallel}},\mathbf{B}_{\boldsymbol{\perp}}$die Bestandteile von$\mathbf{B}$parallel und senkrecht zum Geschwindigkeitsvektor$\boldsymbol{\upsilon}$bzw.

$\boldsymbol{=\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!=}$

$\textbf{ADDENDUM}$

Wenn im System$\:\mathrm S\:$wir haben$\:\mathbf{E}\boldsymbol{=0}$, dann ab$\eqref{04a}$-$\eqref{04b}$

$$\begin{align} \mathbf{E}' & \boldsymbol{=}\gamma\left(\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\mathbf{B}\right) \tag{07a}\label{07a}\\ \mathbf{B}' & \boldsymbol{=} \gamma \mathbf{B}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma^2}{c^2 \left(\gamma\boldsymbol{+}1\right)}\left(\mathbf{B}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\upsilon}\right)\boldsymbol{\upsilon} \tag{07b}\label{07b} \end{align}$$ so dass $$\begin{align} \mathbf{E}' & \boldsymbol{=} \gamma\left(\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\mathbf{B}\right)\boldsymbol{=} \left(\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\gamma\mathbf{B}\right) \nonumber\\ & \boldsymbol{=} \boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\left[\gamma \mathbf{B}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma^2}{c^2 \left(\gamma\boldsymbol{+}1\right)}\left(\mathbf{B}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\upsilon}\right)\boldsymbol{\upsilon}\right] \boldsymbol{=}\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\mathbf{B}' \nonumber \end{align}$$ das ist $$\begin{equation} \mathbf{E}' \boldsymbol{=}\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\mathbf{B}' \tag{08}\label{08} \end{equation}$$

Basierend auf Gleichungen$\eqref{04a}$,$\eqref{04b}$das haben wir bewiesen

$$\begin{equation} \mathbf{E}\boldsymbol{=0}\quad\stackrel{\eqref{04a},\eqref{04b}}{\boldsymbol{=\!=\!=\!\Longrightarrow}}\quad \mathbf{E}' \boldsymbol{-}\left(\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\mathbf{B}'\right)\boldsymbol{=0} \tag{08.1}\label{08.1} \end{equation}$$ Aber wir können die Gültigkeit seiner Umkehrung beweisen $$\begin{equation} \mathbf{E}' \boldsymbol{-}\left(\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\mathbf{B}'\right)\boldsymbol{=0}\quad\stackrel{\eqref{04a},\eqref{04b}}{\boldsymbol{=\!=\!=\!\Longrightarrow}}\quad \mathbf{E}\boldsymbol{=0} \tag{08.2}\label{08.2} \end{equation}$$ Diese Bedingungen sind also äquivalent $$\begin{equation} \boxed{\:\:\mathbf{E}\boldsymbol{=0}\quad\stackrel{\eqref{04a},\eqref{04b}}{\boldsymbol{\Longleftarrow\!=\!=\!\Longrightarrow}}\quad \mathbf{E}' \boldsymbol{-}\left(\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\mathbf{B}'\right)\boldsymbol{=0}\:\:\vphantom{\dfrac{\tfrac{a}{b}}{\tfrac{a}{b}}}} \tag{08.3}\label{08.3} \end{equation}$$ Gleichung $\eqref{08.2}$gilt, weil $$\begin{equation} \mathbf{E}' \boldsymbol{-}\left(\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\mathbf{B}'\right)\boldsymbol{=}\gamma^{\boldsymbol{-}1}\mathbf{E}_{\boldsymbol{\perp}} \boldsymbol{+}\mathbf{E}_{\boldsymbol{\parallel}} \tag{08.4}\label{08.4} \end{equation}$$ Wo$\mathbf{E}_{\boldsymbol{\parallel}},\mathbf{E}_{\boldsymbol{\perp}}$die Bestandteile von$\mathbf{E}$parallel und senkrecht zum Geschwindigkeitsvektor$\boldsymbol{\upsilon}$bzw.

$\boldsymbol{=\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!=}$

Die duale Transformation des elektromagnetischen Feldes wird durch die Ersetzungen erzeugt

$$\begin{equation} \begin{matrix} \hphantom{c}\mathbf{E}&\boldsymbol{-\!-\!\!\!\longrightarrow}&\boldsymbol{-}c\mathbf{B}\\ c\mathbf{B}&\boldsymbol{-\!-\!\!\!\longrightarrow}&\hphantom{\boldsymbol{-}c}\mathbf{E} \end{matrix} \tag{09}\label{09} \end{equation}$$ Diese Ersetzungen müssen auch im grundierten System durchgeführt werden $$\begin{equation} \begin{matrix} \hphantom{c}\mathbf{E}'&\boldsymbol{-\!-\!\!\!\longrightarrow}&\boldsymbol{-}c\mathbf{B}'\\ c\mathbf{B}'&\boldsymbol{-\!-\!\!\!\longrightarrow}&\hphantom{\boldsymbol{-}c}\mathbf{E}' \end{matrix} \tag{09'}\label{09'} \end{equation}$$ In dem oben Genannten haben wir Paare von dualen Gleichungen oder Ausdrücken angetroffen, d.h. unter einer dualen Transformation werden sie ineinander transformiert: $$\begin{equation} \begin{matrix} \eqref{04a}&\stackrel{\mathtt{duality}}{\boldsymbol{\longleftarrow\!\!\!-\!\!\!\longrightarrow}}&\eqref{04b}\\ \eqref{06}&\stackrel{\mathtt{duality}}{\boldsymbol{\longleftarrow\!\!\!-\!\!\!\longrightarrow}}&\eqref{08}\\ \eqref{06.3}&\stackrel{\mathtt{duality}}{\boldsymbol{\longleftarrow\!\!\!-\!\!\!\longrightarrow}}&\eqref{08.3}\\ \eqref{06.4}&\stackrel{\mathtt{duality}}{\boldsymbol{\longleftarrow\!\!\!-\!\!\!\longrightarrow}}&\eqref{08.4} \end{matrix} \tag{10}\label{10} \end{equation}$$

$\boldsymbol{=\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!=}$

Gleichungen$\eqref{06}$Und$\eqref{08}$sind die folgenden Gleichungen$\eqref{12.109}$Und$\eqref{12.110}$bzw.

$$\begin{equation} \boxed{\:\:\overset{\boldsymbol{-\!\!\!\!\!-}}{\mathbf{B}} \boldsymbol{=}\boldsymbol{-}\dfrac{1}{c^2}\left(\mathbf{v}\boldsymbol{\times}\overset{\boldsymbol{-\!\!\!\!\!-}}{\mathbf{E}}\right)\boldsymbol{.}\:\:\vphantom{\dfrac{\tfrac{a}{b}}{\tfrac{a}{b}}}} \tag{12.109}\label{12.109} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \boxed{\:\:\overset{\boldsymbol{-\!\!\!\!\!-}}{\mathbf{E}} \boldsymbol{=}\mathbf{v}\boldsymbol{\times}\overset{\boldsymbol{-\!\!\!\!\!-}}{\mathbf{B}}\,\boldsymbol{.}\:\:\vphantom{\dfrac{\tfrac{a}{b}}{\tfrac{a}{b}}}} \tag{12.110}\label{12.110} \end{equation}$$ wie gezeigt in „Introduction to Electrodynamics“ von David J. Griffiths, 3. Auflage 1999.

$\boldsymbol{=\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!=}$

$\vec{p}=\gamma m\vec{v}$ist die technisch korrekte Gleichung, aber für nicht-relativistische Teilchen wo$|\vec{v}|\ll c$, wird der Lorentzfaktor

$$\begin{equation} \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\approx 1, \end{equation}$$ und kann daher vernachlässigt werden.

Als Referenz habe ich einen kurzen Blick darauf geworfen und glaube, dass Gl. (6.45) seiner EM-Notizen ist, wo dies hergeleitet wird.

Ich bin mir jedoch nicht sicher über das negative Vorzeichen in Griffiths.