Ableitung der Gleichheit zwischen dem äußeren Drehmoment und der Änderungsrate des Drehimpulses für ein Teilchensystem

Question

Ableitung der Gleichheit zwischen dem äußeren Drehmoment und der Änderungsrate des Drehimpulses für ein Teilchensystem

Z_z_Z

Ich habe angefangen , Analytical Mechanics for Relativity and Quantum Mechanics von Oliver Johns durchzuarbeiten, und ich stecke bei der Ableitung einer Formel fest.

In dem Abschnitt mit dem Titel "Änderung des Drehimpulses" gibt Johns an, dass die Änderungsrate für den Drehimpuls des Spins $S$ , für eine Sammlung von $N$ viele Teilchen ist gleich dem externen Drehmoment des Spins, also:

\frac{D S}{D T} = τ_{S}^{(ext)}

$\frac{\text{d}S}{\text{d}t} = \tau_s^{\text{(ext)}}$

wobei das externe Spin-Drehmoment definiert ist als:

τ_{S}^{(ext)} = \sum_{n = 1}^{N} ρ_{N} \times F_{N}^{(ext)}

$\tau_s^{\text{(ext)}} = \sum_{\text{n = 1}}^N\rho_n \times{f_n^\text{(ext)}}$

Wo $\rho_n$ ist der relative Positionsvektor des n-ten Teilchens.

Ich konnte in meiner Ableitung so weit kommen:

1) S = \sum_{n = 1}^{N} ρ_{N} \times (M_{N} \dot{ρ_{N}})

$1)\space S = \sum_\text{n = 1}^N\rho_n\times (m_n\dot{\rho_n})$ was als Definition für den Spindrehimpuls gegeben ist

2) \frac{D S}{D T} = \frac{D}{D T} (\sum_{n = 1}^{N} ρ_{N} \times (M_{N} \dot{ρ_{N}}))

$2)\space \frac{\text{d}S}{\text{d}t} = \frac{\text{d}}{\text{d}t}\text(\sum_\text{n = 1}^N\rho_n\times\text(m_n\dot{\rho_n}))$

3) \frac{D}{D T} (\sum_{n = 1}^{N} ρ_{N} \times (M_{N} \dot{ρ_{N}})) = \sum_{n = 1}^{N} [(\dot{ρ_{N}} \times M_{N} \dot{ρ_{N}}) + (ρ_{N} \times M_{N} \ddot{ρ_{N}})]

$3)\space \frac{\text{d}}{\text{d}t}\text(\sum_\text{n = 1}^N\rho_n\times\text(m_n\dot{\rho_n})) = \sum_\text{n = 1}^N\text[(\dot{\rho_n}\times m_n \dot{\rho_n}) \space+\space \text(\rho_n \times m_n\ddot{\rho_n})]$

Wo $\dot{\rho_n}\times m_n \dot{\rho_n} = 0$ durch die Eigenschaften von Kreuzprodukten, also bin ich an diesem Punkt angelangt:

4) \frac{D S}{D T} = \sum_{n = 1}^{N} (ρ_{N} \times M_{N} \ddot{ρ_{N}})

$4)\space \frac{\text{d}S}{\text{d}t} = \sum_\text{n = 1}^N(\rho_n \times m_n \ddot{\rho_n})$

ich weiß, dass $m_n \ddot{\rho_n} = m_n (a_n - A) = f_n - m_n A$ Wo $A$ ist die Beschleunigung des Massenmittelpunkts.

Wenn also meine Herleitung soweit richtig ist, dann müssen wir folgendes haben:

M_{N} \ddot{ρ_{N}} = M_{N} (A_{N} - A) = F_{N} - M_{N} A = F_{N}^{(ext)}

$m_n \ddot{\rho_n} = m_n (a_n - A) = f_n - m_n A = f_n^\text{(ext)}$

Hier stecke ich fest. Wie kann ich diese letzte Äquivalenz zeigen? Meine Intuition sagt mir, dass wenn $m_n A$ als innere Kraft des n-ten Teilchens gezeigt werden kann, dann ist die Ableitung vollständig als

F_{N} - F_{N}^{(int)} = F_{N}^{(ext)}

$f_n - f_n^\text{(int)} = f_n^\text{(ext)}$

Kann man also zeigen, dass das stimmt? Oder gibt es eine andere Methode, die ich nicht sehe?

Danke

FGSUZ

ρ_{n}

$\rho_n$ ist der Positionsvektor relativ zu was?

Z_z_Z

Die Art und Weise, wie Johns definiert

ρ_{n}

$\rho_n$ ist wie der Unterschied zwischen der Position

r_{n}

$r_n$ des n-ten Teilchens und dem Massenschwerpunkt der Ansammlung von Teilchen,

R

$R$ , also gibt er die Definition als an

ρ_{n} = r_{n} - R

$\rho_n = r_n - R$

FGSUZ

OK. Dann ist nichts falsch. Das Drehmoment ist die Summe des Drehmoments von CM plus des Drehmoments bezüglich des CoM

Z_z_Z

Das macht Sinn. Das einzige, was mich stolpert, ist die Äquivalenz

m_{n} \ddot{ρ_{n}} = f_{n}^{(ext)}

$m_n\ddot{\rho_n} = f_n^\text{(ext)}$ . Ich kann nicht sehen, wie die innere Kraft auf das n-te Teilchen hier eliminiert wird. Ich vermute, dass

m_{n} A

$m_n A$ entspricht der inneren Kraft auf das n-te Teilchen, aber ich kann nicht sehen, wie ich das mathematisch herleiten soll. Oder gibt es ein Konzept, das ich ganz vergesse?

Antworten (1)

Ableitung der Gleichheit zwischen dem äußeren Drehmoment und der Änderungsrate des Drehimpulses für ein Teilchensystem

Die Art und Weise, wie Johns definiert $\rho_n$ ist wie der Unterschied zwischen der Position $r_n$ des n-ten Teilchens und dem Massenschwerpunkt der Ansammlung von Teilchen, $R$ , also gibt er die Definition als an $\rho_n = r_n - R$
OK. Dann ist nichts falsch. Das Drehmoment ist die Summe des Drehmoments von CM plus des Drehmoments bezüglich des CoM
Das macht Sinn. Das einzige, was mich stolpert, ist die Äquivalenz $m_n\ddot{\rho_n} = f_n^\text{(ext)}$ . Ich kann nicht sehen, wie die innere Kraft auf das n-te Teilchen hier eliminiert wird. Ich vermute, dass $m_n A$ entspricht der inneren Kraft auf das n-te Teilchen, aber ich kann nicht sehen, wie ich das mathematisch herleiten soll. Oder gibt es ein Konzept, das ich ganz vergesse?

FGSUZ · Answer 1

Hier gibt es zwei Dinge:

Das Drehmoment kann als Drehmoment am Massenmittelpunkt plus Drehmoment in Bezug auf das Massenmittelzentrum geschrieben werden: $\tau=\tau_{CM}+\tau'$
Innere Kräfte wirken paarweise: für jede Kraft auf Teilchen $i$ wegen $j$ , gibt es eine entgegengesetzte Kraft aus $j$ Zu $i$ in gleicher Größenordnung.

Folglich, $m_n \ddot{\rho}_m=f^{(ext)}$ .

Volle Entwicklung:

\frac{D}{D T} \vec{L} = \sum_{ich} M_{ich} \dot{{\vec{R}}_{ich}} \times \dot{{\vec{R}}_{ich}} + \sum_{ich} M_{ich} {\vec{R}}_{ich} \times \ddot{{\vec{R}}_{ich}}

$\frac{d}{dt}\vec{L}=\sum_i m_i \dot{\vec{r}_i}\times \dot{\vec{r}_i} + \sum_i m_i \vec{r}_i \times \ddot{\vec{r}_i}$

Der erste Term verschwindet und

\frac{D}{D T} \vec{L} = \sum_{ich} M_{ich} {\vec{R}}_{ich} \times \ddot{{\vec{R}}_{ich}}

$\frac{d}{dt}\vec{L}=\sum_i m_i \vec{r}_i \times \ddot{\vec{r}_i}$

Aber $\vec{r}$ kann sich eb teilen $\vec{R}+\vec{\rho}$ Wo $\vec{R}$ ist die Position des Massenmittelpunkts.

\frac{D}{D T} \vec{L} = \sum_{ich} M_{ich} (\vec{R} + {\vec{ρ}}_{ich}) \times (\ddot{\vec{R}} + \ddot{{\vec{ρ}}_{ich}})

$\frac{d}{dt}\vec{L}=\sum_i m_i (\vec{R}+\vec{\rho}_i) \times (\ddot{\vec{R}}+\ddot{\vec{\rho}_i})$

Wendet man das Verteilungsgesetz an, erscheinen 4 Terme. Nur zwei von ihnen überleben aufgrund der Eigenschaften des Kreuzprodukts. Die verbleibenden zwei Terme sind

\frac{D}{D T} \vec{L} = \sum_{ich} M_{ich} \vec{R} \times \ddot{\vec{R}} + \sum_{ich} M_{ich} {\vec{ρ}}_{ich} \times \ddot{{\vec{ρ}}_{ich}}

$\frac{d}{dt}\vec{L}=\sum_i m_i \vec{R} \times \ddot{\vec{R}}+ \sum_i m_i \vec{\rho}_i \times \ddot{\vec{\rho}_i}$

Seit der $R$ 's sind konstant, erhalten Sie $\sum_im_i =M$ und dann

\frac{D}{D T} \vec{L} = M \vec{R} \times \ddot{\vec{R}} + \sum_{ich} {\vec{ρ}}_{ich} \times (M_{ich} \ddot{{\vec{ρ}}_{ich}})

$\frac{d}{dt}\vec{L}= M\vec{R} \times \ddot{\vec{R}}+ \sum_i \vec{\rho}_i \times (m_i\ddot{\vec{\rho}_i})$

Der erste Term ist das Drehmoment des Massenschwerpunkts.

Der zweite Begriff enthält $(m_i\ddot{\vec{\rho}_i})$ das ist die Kraft auf Teilchen $i$ .

[. . .] + \sum_{ich} {\vec{ρ}}_{ich} \times F_{ich}

$[...] + \sum_i \vec{\rho}_i \times f_i$

Die Kraft auf Teilchen $i$ wird die Summe von intern + extern sein. Da Sie für alle Elemente summieren, hebt sich das Innere eines Elements mit dem Inneren eines anderen auf.

Nur äußere Kräfte überleben.

Danke, das ist jetzt viel klarer. Ich schätze die Hilfe sehr.

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