Ableitung von T=F r=IαT=F r=IαT = F\ r = I\alpha für einen starren Körper

Für mich klingt es so, als ob Sie sich über Folgendes Sorgen machen:

Angenommen, ich schwinge einen Baseballschläger. Dabei bringe ich viel Drehmoment auf ihn, und dadurch dreht er sich. Aber was, wenn ich mir nur die letzten 1 cm der Fledermaus anschaue? Dieser Teil ist weit weg von meinen Händen. Ich habe es nicht berührt. Nichtsdestotrotz gibt es Kräfte auf diesem Teil. Wie kann ich also nur die Kräfte meiner Hände betrachten und herausfinden, was mit dem gesamten Schläger passiert? Woher weiß ich, dass ich mir keine Sorgen um andere Kräfte machen muss, wie die auf den letzten cm des Schlägers?

Die Antwort lautet: Wenn Sie das Nettodrehmoment des Schlägers ermitteln möchten, gibt es zwei Möglichkeiten, dies zu tun. Eine besteht darin, die Nettokraft auf jedem kleinen Teil des Schlägers zu finden und zu integrieren. Eine andere besteht darin, nur die von Ihren Händen ausgeübte Kraft zu nehmen und daraus das Drehmoment zu berechnen. Sie erhalten so oder so die gleiche Antwort.

Das liegt einfach an Newtons drittem Gesetz. Das Ende des Schlägers dreht sich aufgrund innerer Spannungen - Kräfte, die der Schläger auf sich selbst ausübt. Aber die Fledermaus kann keine Nettokraft auf sich selbst ausüben. Wenn eine Nettokraft von 10 N den letzten cm des Schlägers nach vorne beschleunigt, übt dieser letzte cm eine Kraft von 10 N nach hinten auf den Rest des Schlägers aus, und diese beiden Kräfte, die an derselben Stelle vorhanden sind, erzeugen entgegengesetzte Drehmomente, die sich aufheben .

Übrigens wird dies in jedem guten Buch über Mechanik diskutiert und bewiesen. Siehe zum Beispiel Seite VII - 13 von Morin's Introductory Classical Mechanics , das ist das Buch, das ich zur Hand habe.

Um zu den Rotationsbewegungsgleichungen zu gelangen, müssen Sie zunächst die Drehimpulsgleichung herleiten$\vec{H} = \bar{I} \vec{\omega}$und dann mit der Zeit differenzieren, um zu bekommen$\vec{T} = \bar{I} \vec{\alpha} + \vec{\omega}\times \bar{I} \vec{\omega}$(siehe Link unten für weitere Informationen).

Ausgehend vom Newtonschen Gesetz des linearen Impulses für ein Teilchen$\vec{L}_i = m_i \vec{v}_i$und zu erkennen, dass die Bewegung auf eine reine Rotation zurückzuführen ist (der Übersetzungsteil hebt sich später auf, daher ignoriere ich ihn hier) Sie haben$\vec{v}_i = \vec{\omega}\times\vec{r}_i$. Beachten Sie auch, dass der lineare Impuls eine Achse durch den Massenmittelpunkt des Teilchens hat und sein äquivalenter (oder gleichgewichtiger) Drehimpuls um den Ursprung liegt$\vec{H}_i = \vec{r}_i \times \vec{L}_i$. Also alle zusammen haben wir

$$\vec{H}_i = \vec{r}_i \times m_i (\vec{\omega}\times\vec{r}_i) = \mbox{-}m_i \vec{r}_i \times \vec{r}_i \times \vec{\omega} = \bar{I}_i \vec{\omega}$$

Und der Parallelachsensatz

$$\bar{I} = \sum \mbox{-} m_i [\vec{r}_i \times] [\vec{r}_i \times]$$

Wo$[\vec{r}_i \times] = \begin{pmatrix} 0 & -r_z & r_y \\ r_z & 0 & -r_x \\ -r_y & r_x & 0 \end{pmatrix}$ist der Kreuzproduktmatrixoperator .

Es ist also eine Definitionssache$\bar{I}$das ergibt die Drehbewegungsgesetze

$$\vec{T} = \bar{I} \vec{\alpha} + \vec{\omega} \times \bar{I} \vec{\omega}$$