Absolutbetragsungleichungen zum Beweis einer Grenze

Question

Absolutbetragsungleichungen zum Beweis einer Grenze

Ungleichheit
Mathematik
Absolutwert

Malek Haddad

Das versuche ich zu beweisen $\lim \limits_{x \to 0}$ $f(x) = 2x^2 -5x + 2=2$ . So sieht meine fehlerhafte Arbeit aus: https://prnt.sc/1rylg4l

Ich weiß, dass Delta positiv sein muss, da es eine Obergrenze für den Abstand/Absolutwert ist, und daher muss ich beim Lösen der Ungleichung einen Fehler gemacht haben.

ich weiß, dass $|x|<1$ , Deshalb, $-1 < x < 1 = -2 < 2x < 2 = -7 < 2x-5 < -3$ .
Ich versuche, die richtige Bindung zu finden $|2x-5|$ . Vielen Dank im Voraus!

Benutzer2661923

Bitte bearbeiten Sie die Mathematik in Ihrer Frage mit MathJax .

Benutzer2661923

Ihre Analyse ist gut, außer dass Sie das Gleichheitszeichen verwendet haben

=

$=$ darstellen impliziert

⟹

$\implies$ . Im Allgemeinen, wenn

- 7 < f (x) < - 3

$-7 < f(x) < -3$ , Dann

3 < | f (x) | < 7.

$3 < |f(x)| < 7.$

binWarum

Was ist die Grenze, die Sie zu beweisen versuchen?

suppenlos

@amWhy Aus dem Kommentar von OP in einer Antwort: prnt.sc/1rylg4l

Malek Haddad

lim_{x \to 0}

$\lim \limits_{x \to 0}$

f (x) = 2 x^{2} - 5 x + 2 = 2

$f(x) = 2x^2 -5x + 2=2$

binWarum

Bitte fügen Sie das in Ihre Frage ein, @Malek.

binWarum

@soupless, wenn es nicht im Frageposten steht, ist das ein Problem. So viel sieht man doch sicher.

Malek Haddad

Ich habe den Screenshot der Arbeit + das Limit, das ich zu beweisen versuche, hinzugefügt. Entschuldigen Sie die Verwirrung, dies ist das erste Mal, dass ich Math Stack Exchange verwende.

Flohblut

Normalerweise bin ich nachsichtig mit Newcomern, die Links zu Bildern posten, um zu arbeiten, aber in diesem Fall .... nein .... Sie müssen einen anderen Weg finden, um Ihre Arbeit anzuzeigen. Dieser Link ist absolut unlesbar und unbrauchbar und unzugänglich.

Flohblut

Wenn

| x | < 1

$|x| < 1$ Dann

- 1 < x < 1 ⟹ - 2 < 2 x < 2 ⟹ - 7 < 2 x - 5 < - 3

$-1 < x < 1\implies -2 < 2x < 2\implies -7 < 2x - 5 < -3$ wie Sie bemerkt haben. So

2 x - 5 < 0

$2x -5 < 0$ Und

| 2 x - 5 | = - (2 x - 5)

$|2x-5| = -(2x-5)$ . Und

- 7 < 2 x - 5 < - 3 ⟹ 7 > - (2 x - 5) > 3

$-7 < 2x - 5 < -3 \implies 7 > -(2x-5) > 3$ und so

3 < | 2 x - 5 | < 7

$3 < |2x-5| < 7$ . Aber warum versuchst du das zu finden? Hilft Ihnen das, das gewünschte Limit zu finden?

Malek Haddad

Das ist großartig, danke! Ich versuche nicht, die Grenze zu finden, sondern sie zu beweisen. Im Wesentlichen setze ich delta auf min(1 und eine andere Zahl, die ich noch nicht kenne (meistens mit ε) und indem ich delta auf mindestens 1 setze und ich weiß, dass |x| < delta, dann weiß ich, dass |x | < 1 und daher |2x - 5| < 7. Dies ist hilfreich, da ich |x|*|2x-5| auf < delta * 7 setzen kann. Dies sagt mir, dass der andere Wert für delta, nach dem ich gesucht habe ist ε/7 und daher ε/7 *7 = ε. Beweis des Grenzwertes.

Antworten (3)

Absolutbetragsungleichungen zum Beweis einer Grenze

Bitte bearbeiten Sie die Mathematik in Ihrer Frage mit MathJax .
Ihre Analyse ist gut, außer dass Sie das Gleichheitszeichen verwendet haben $=$ darstellen impliziert $\implies$ . Im Allgemeinen, wenn $-7 < f(x) < -3$ , Dann $3 < |f(x)| < 7.$
@amWhy Aus dem Kommentar von OP in einer Antwort: prnt.sc/1rylg4l
@soupless, wenn es nicht im Frageposten steht, ist das ein Problem. So viel sieht man doch sicher.
Ich habe den Screenshot der Arbeit + das Limit, das ich zu beweisen versuche, hinzugefügt. Entschuldigen Sie die Verwirrung, dies ist das erste Mal, dass ich Math Stack Exchange verwende.
Normalerweise bin ich nachsichtig mit Newcomern, die Links zu Bildern posten, um zu arbeiten, aber in diesem Fall .... nein .... Sie müssen einen anderen Weg finden, um Ihre Arbeit anzuzeigen. Dieser Link ist absolut unlesbar und unbrauchbar und unzugänglich.
Wenn $|x| < 1$ Dann $-1 < x < 1\implies -2 < 2x < 2\implies -7 < 2x - 5 < -3$ wie Sie bemerkt haben. So $2x -5 < 0$ Und $|2x-5| = -(2x-5)$ . Und $-7 < 2x - 5 < -3 \implies 7 > -(2x-5) > 3$ und so $3 < |2x-5| < 7$ . Aber warum versuchst du das zu finden? Hilft Ihnen das, das gewünschte Limit zu finden?
Das ist großartig, danke! Ich versuche nicht, die Grenze zu finden, sondern sie zu beweisen. Im Wesentlichen setze ich delta auf min(1 und eine andere Zahl, die ich noch nicht kenne (meistens mit ε) und indem ich delta auf mindestens 1 setze und ich weiß, dass |x| < delta, dann weiß ich, dass |x | < 1 und daher |2x - 5| < 7. Dies ist hilfreich, da ich |x|*|2x-5| auf < delta * 7 setzen kann. Dies sagt mir, dass der andere Wert für delta, nach dem ich gesucht habe ist ε/7 und daher ε/7 *7 = ε. Beweis des Grenzwertes.

Benutzer247327 · Answer 1

$|2x^2- 5x+ 2- 2|= |2x^2-5x|= |x||2x- 5|$ wie Sie. Sie wollen $|x||2x-5|< \epsilon$ für x "klein genug" - dh nahe genug an 0. Beachten Sie, dass Ihr |x| bereits die Form "|x- 0|" hat, ist es die |2x- 5| Das ist das Problem.

Ja, da wir x nahe 0 nehmen, können wir sicher annehmen, dass -1< x< 1, also -2< 2x< 2 und -7< 2x- 5< -3. Beide Grenzen sind negativ, aber 3< |2x- 5|< 5.

Das heißt, wir können annehmen, dass |2x- 5| < 5, so dass $|x||2x- 5|< 5|x|< \epsilon$ .

Also können wir nehmen $\delta< \frac{\epsilon}{5}$ .

der Chemiker · Answer 2

Wie Sie betont haben, $-7 < 2x-5 < -3$ , Bedeutung $|2x-5| < 7$ . Die Grenze darf nicht kleiner als 7 sein, da Sie dann Werte ausschließen.

Danke für Ihre Antwort! Was mich verwirrt hat, ist, dass ich nach einem Bauchmuskel (2x-5) gesucht habe, der < als etwas ist. prnt.sc/1rylg4l in diesem Problem, um meinen Mystake zu beheben, würde ich abs(2x-5)>7 betrachten und daher abs(x) mal abs(2x-5) < delta mal 7 = delta mal epsilon/7 haben = Epsilon? Tut mir leid, wenn das verwirrend klingt, ich bin mir nicht sicher, wie man die richtige Notation auf einer Tastatur schreibt.
@MalekHaddad Für einige grundlegende Informationen über das Schreiben von Mathematik auf dieser Seite siehe zB grundlegende Hilfe zur MathJax-Notation , MathJax - Tutorial und Schnellreferenz , Haupt-Meta-Site-Mathematik-Tutorial und Anleitungen zum Bearbeiten von Gleichungen .

Atila Correia · Answer 3

HINWEIS

Sie können es auch wie folgt angehen.

Lassen $0 < |x - 0| < \delta_{\varepsilon}$ . Dann schließen wir das ab

\begin{aligned} | F (X) - 2 | & = | 2 X^{2} - 5 X | \\ \leq 2 | X |^{2} + 5 | X | \\ < 2 δ_{ε}^{2} + 5 δ_{ε} := ε \end{aligned}

$\begin{align*} |f(x) - 2| & = |2x^{2} - 5x|\\\\ & \leq 2|x|^{2} + 5|x|\\\\ & < 2\delta^{2}_{\varepsilon} + 5\delta_{\varepsilon} := \varepsilon \end{align*}$

Kannst du es von hier nehmen?

So beweise ich normalerweise keine Grenzen, aber es ist eine großartige Möglichkeit, es anzugehen. Danke schön!
@MalekHaddad Du kannst meine Antwort wählen, wenn du denkst, dass sie es verdient.

Absolutbetragsungleichungen zum Beweis einer Grenze

Malek Haddad

Benutzer2661923

Benutzer2661923

binWarum

suppenlos

Malek Haddad

binWarum

binWarum

Malek Haddad

Flohblut

Flohblut

Malek Haddad

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Benutzer247327

Malek Haddad

der Chemiker

Malek Haddad

suppenlos

Atila Correia

Malek Haddad

Atila Correia

Atila Correia

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