Aktive Transformation und passive Transformation eines Skalarfeldes [Duplikat]

Passiver Standpunkt :

Alice beobachtet irgendein Feld$\phi$am Standort$x = x_0$in ihrem Labor in Princeton, USA, und findet Feldwert$\phi(x_0)=\phi_0$. Bob beobachtet Alices Messung von seinem Labor in Cambridge, UK. In seinem Rahmen sieht er den Standort Princeton als$x' = \Lambda x_0$und bestätigt den gleichen Feldwert wie Alice, der ihm vorliest$\phi'(x') = \phi(x_0)=\phi_0$, somit

$$\phi'(\Lambda x_0) = \phi(x_0)$$

Aktiver Standpunkt :

Alice beobachtet erneut das Feld$\phi$am Standort$x = x_0$in ihrem Labor und findet Feldwert$\phi(x_0)=\phi_0$. Aber dieses Mal beschließt Bob, ihr Experiment in seinem Labor identisch zu reproduzieren und dasselbe Feld an genau derselben Stelle relativ zu seinem Rahmen zu messen .$x' = x_0$. Alles geht gut und Bob findet den gleichen Wert wie Alice, was bedeutet

$$\phi'(x_0) = \phi(x_0)$$ Wenn der Ort von Alices Beobachtung von Bobs Rahmen aus gesehen wird ${\bar x}_0 = \Lambda x_0$, dann umgekehrt $x_0 = \Lambda^{-1}{\bar x_0}$und Bob kann das sagen $$\phi'(x_0) = \phi(\Lambda^{-1} {\bar x_0})$$

Siehe zum Beispiel diese Anmerkungen zur QFT auf Mannigfaltigkeiten , insbesondere die folgende Tabelle nach Gl. (8):

In der Literatur gibt es viel Verwirrung bezüglich der sogenannten aktiven und passiven Interpretation von Transformationen, wenn es um Skalarfelder geht. Diese Terminologie und die entsprechende Dichotomie hat ihren Ursprung jedoch in den Anwendungen der linearen Algebra (z. B. Computer Vision), wo sie relevanter ist und die Konzepte klarer sind. Der Wikipedia-Artikel zu diesem Thema macht diesen Punkt sehr deutlich.

Transformation von Vektorräumen:

Betrachten Sie eine räumliche Transformation$T:\mathbb R^3 \to \mathbb R^3$. Dies kann interpretiert werden, um entweder einen Vektor zu transformieren$v = v_1 e_x + v_2 e_y + v_3 e_z \in \mathbb R^3$die Basis festzuhalten oder die ursprüngliche Basis zu transformieren$\{e_x,e_y,e_z\}$von$\mathbb R^3$Vektor beibehalten$v$Fest. Diese beiden Interpretationslinien von$T$gehen Sie durch zwei Namen.

$$\begin{aligned} &\textit{Active (alibi) transformation}: && \text{vector } v \text{ rotates} \left(T: v \mapsto v'=Tv \equiv v_1' e_x + v_2' e_y + v_3' e_z\right), \\ & && \text{basis }\{e_x,e_y,e_z\} \text{ remains unchanged}. \\ \\ &\textit{Passive (alias) transformation}: && \text{vector } v \text{ stays put}, \\ & && \text{basis rotates } \left(\{e_x,e_y,e_z\}\mapsto \{T^{-1}e_x, T^{-1}e_y, T^{-1}e_z\}\right). \end{aligned}$$

Von der ersten Deutung$v = T^{-1}v'$, es folgt dem$v = v_1' \tilde e_x + v_2' \tilde e_y + v_3' \tilde e_z$Wo$\tilde e_x := T^{-1} e_x$,$\tilde e_y := T^{-1} e_y$Und$\tilde e_z := T^{-1} e_z$sind die transformierten Basisvektoren aus der zweiten Interpretation. Also der ursprüngliche Vektor$v$in der rotierten Basis$\{\tilde e_x, \tilde e_y, \tilde e_z\}$(in der passiven Sicht) hat genau die gleichen Koordinaten$(v_1',v_2',v_3')$als gedrehter Vektor$v'$in der ursprünglichen Basis (dem aktiven Standpunkt).

Transformation von Skalarfeldern

Diese Dichotomie ist nicht sehr nützlich, wenn es um Skalarfelder geht, und daher fehlt in der Literatur eine kanonische Definition für diese Konzepte. Eine Art, über sie nachzudenken, könnte sein, wie Benutzer @ udrvdarüber geschrieben hat. Hier ist ein anderer Weg, der ebenso beliebt ist. Ein Skalarfeld ist eine reellwertige Abbildung$\phi : \Omega \subset \mathfrak{M}_4 \to \mathbb R$. Betrachten Sie eine Transformation$T:\Omega \to \Omega' \subseteq \Omega$der zugrunde liegenden Raumzeitdomäne. Nun kann man sich entweder ein gedrehtes Feld vorstellen$\phi_A := \phi \circ T^{-1}: \Omega' \to \mathbb R$oder ein entgegengesetzt gedrehtes Feld$\phi_P := \phi \circ T: \Omega \to \mathbb R$um diese Transformation zu visualisieren. Die beiden neuen Felder können folgendermaßen interpretiert werden.

$$\begin{aligned} &\textit{Active (alibi) transformation}: && \text{field configuration } \phi\big|_{\Omega'} : \Omega' \to \mathbb R \text{ has morphed into } \phi_A : \Omega' \to \mathbb R,\\ & && \text{leaving the spacetime domain } \Omega' \text{untouched}. \\ \\ &\textit{Passive (alias) transformation}: && \text{field configuration } \phi_P \text{ is simply } \phi \text{ acting on a rotated domain},\\ & && \text{which is to say, } \phi_P(x) = \phi(T(x)) \text{ where } T:\Omega \to \Omega', x \mapsto x'. \end{aligned}$$

Vergleichen Sie dies mit urdvder Antwort von @ , wo er gecastet hat$\phi_A\, (=\phi')$nach der passiven Deutung. Dies sollte Ihnen sagen, dass jede Feld-Neudefinition, die aus einer Raumzeit-Transformation erhalten wird, sowohl in aktiven als auch in passiven Interpretationen gesehen werden kann und solche leeren Namen/Interpretationen keinen physikalischen oder mathematischen Wert haben.