An einen harmonischen Quantenoszillator angelegtes konstantes Magnetfeld

Sie sollten Zylinderkoordinaten verwenden, da die Symmetrie des Problems dies erfordert. Alles andere ist nur hartnäckig zu spielen.

Sie sollten den Hamiltonian in a aufteilen$z$Komponente und eine zylindrische radiale Komponente:

[Bearbeiten: Vertrauen Sie mir nicht in Bezug auf die spezifischen Konstanten hier$-$bei der Wiederholung dieser alten Antwort, der Faktor von$\tfrac12$stimmt nicht mit der Wikipedia-Definition der Zyklotronfrequenz überein. Aber die Konstanten haben keinen Einfluss auf das Folgende.]

Um dies ohne Berechnung zu lösen:

• Die$z$Komponente ist unmittelbar.

• Die radiale Komponente hat ein 2D-Zentralpotential$\mathcal H_{\rho,0}=\frac{\hat p_x ^2+\hat p_y^2}{2m} + \frac{1}{2}m \left ( \omega_\text{c}^2 + \omega_0 ^2 \right)\left(\hat x^2+\hat y^2\right)$mit dem pendelt$\hat L_z$, also kannst du die Energien einfach addieren: das heißt,$\mathcal H_{\rho,0}$hat eine gemeinsame Eigenbasis mit$\omega_\text{c} \hat L_z$, und Sie können sie gleichzeitig diagonalisieren; Dieser harmonische 2D-Oszillator ist relativ Standard, aber Sie können ihn trotzdem explizit lösen.

  Dazu finden Sie die Eigenenergien von$\mathcal H_{\rho,0}$indem Sie es in zwei harmonische 1D-Oszillatoren aufteilen, aber die Produktbasis dieser Oszillatoren gibt Ihnen keine Drehimpuls-Eigenbasis. Stattdessen ist zu beachten, dass die Menge der Eigenfunktionen eine feste Gesamtanregungszahl hat$n$, dh der Unterraum

  $$\mathcal L_n=\mathrm{span} \left\{|n_x\rangle \otimes |n_y\rangle : n_x+n_y=n\right\}$$ ist unter Drehungen unveränderlich (weil der Hamiltonian ist), also können Sie diagonalisieren$\hat L_z$in diesem Unterraum.

  Wie machst du das denn? Nun, Sie bemerken, dass Ihre Basisfunktionen der Form entsprechen$H_{n_x}(x)H_{n_y}(y)$Sobald Sie die Gaußsche entfernen, sind Gradpolynome$n$in$x,y$und mit bestimmter Parität, und Sie möchten sie als lineare Kombinationen von zerlegen$(x\pm iy)^m$Pro$m=\ldots,n-4,n-2,n$, die die Eigenfunktionen von sind$\hat L_z$.

  Das sagt Ihnen dann, welche Eigenwerte$m$von$\hat L_z$sind für jeden Eigenraum von erlaubt$\mathcal H_{\rho,0}$mit Erregungszahl$n$, dh$m\leq n$mit beiden gleicher Parität. Das reicht aus, um das Spektrum zu fixieren.

Ich glaube nicht, dass es notwendig ist, die Koordinaten oder ähnliches zu ändern. Beachten Sie das einfach$\hat L_z$pendelt mit dem Hamiltonoperator, sodass Sie sie gleichzeitig diagonalisieren können. Jetzt können Sie ersetzen$\hat L_z$mit seinem Eigenwert, so dass dieser Term eine Konstante wird und der Rest des Hamilton-Operators nur drei entkoppelte harmonische Oszillatoren darstellt.

Nur um eine andere Perspektive hinzuzufügen, lassen Sie mich das Folgende kommentieren, wobei die Pointe das ist$L_z$ist proportional zu a$J_y$Impulsoperator. Wenn du schreibst$L_z$In Bezug auf die Leiteroperatoren erhalten Sie$L_z=-i\hbar (a_x^\dagger a_y-a_x a_y^\dagger)$. Unter Berücksichtigung des Drehimpulsmodells des Schwinger-Oszillators (wo z$J_+=a_x^\dagger a_y$)$L_z$liest$L_z=2\hbar J_y$. Auf der anderen Seite,$J^2=\frac{N}{2}(\frac{N}{2}+1)$, wo$N$ist die Summe der Besetzungszahlen$N_x$und$N_y$, so$j=N/2$. In diesem Sinne sind die Eigenzustände$|j m_y\rangle$, die Zustände mit bestimmtem (Schwinger-)Gesamtdrehimpuls$j$und$m_y$. Diese können von den Standard erhalten werden$|j m\rangle=|n_x n_y\rangle$durch eine Drehung von$-\pi/2$um$\hat{x}$.