Analysieren wir echte Pole genauso wie Sie komplex konjugierte Pole analysieren?

Ich analysiere also einen Filter und habe den folgenden Ausdruck für die Übertragungsfunktion in ihrer kanonischen Form gefunden:

987654 + 4666.67 S + 1. S 2 2.48519 × 10 8 + 52316.2 S + S 2

was natürlich vom Typ ist

ω z 2 + ω z Q z S + S 2 ω P 2 + ω P Q P S + S 2

Jetzt habe ich die Pole und die Nullstellen berechnet und kam auf echte Pole und echte Nullstellen.

z 1 = − 222.222
z 2 = − 4444.44
P 1 = − 5284
P 2 = − 47032.2

Wenn dies nun komplex konjugierte Pole und / oder Null wären, würde ich fortfahren, die natürliche Schwingungsfrequenz zu überprüfen ( ω ) und Qualitätsfaktor (Q).

Jetzt habe ich das Gefühl, dass das Sprechen über den Qualitätsfaktor tatsächlich so ist, dass er, da er unter 0,5 liegt, der Tatsache entspricht, dass wir echte Pole und / oder Nullen haben. Aber macht es Sinn, die Frequenz zu berechnen. Denn da die Pole/Nullen unterschiedliche Realteile haben, schwingen sie in unterschiedlichen Frequenzen.

Ich habe tatsächlich nach den Bode-Diagrammen auf dieser Website gesucht http://www.onmyphd.com/?p=bode.plot.online.generator und es zeigt tatsächlich, im asymptotischen Diagramm, dass wir 4 verschiedene Frequenzen haben, die die Steigungen beeinflussen. Was sollte also meine richtige Interpretation sein? Ich habe das Gefühl, dass es hier einige grundlegende Konzepte gibt, die mir fehlen? Kann mir jemand helfen, meine Gedanken dazu zu ordnen?

" Denn da die Pole/Nullen unterschiedliche Realteile haben, schwingen sie in unterschiedlichen Frequenzen ". Können Sie beschreiben, was Sie damit meinen? Da sie alle auf der negativen reellen Achse liegen, ist ihnen eigentlich keine Schwingung zugeordnet.
Beide Nullen haben eine niedrigere Frequenz als die Pole. Die Hochfrequenzverstärkung ist nahe Eins. Die DC-Verstärkung liegt weit unter Eins. Ich denke, dies ist entweder ein Hochpassfilter zum Dämpfen niedriger Frequenzen oder ein Lead-Filter zum Bereitstellen einer Phasenvoreilung. Können Sie den Kontext hinzufügen, in dem Sie diesen Filter gefunden haben?
" Also, was sollte meine richtige Interpretation sein? " - Was versuchen Sie letztendlich zu erreichen, das Ihnen das Gefühl gibt, dass Sie Ihr Ziel bisher nicht erreicht haben?
@AJN Sie haben Recht, der Begriff "oszillierend" wird hier nicht gut verwendet, da Oszillatoren nur auftreten, wenn sich Pole auf der imaginären Achse befinden. Ja, es ist ein Hochpassfilter mit zwei Pegeln: -48 dB (ca.) bei niedriger Frequenz und 0 dB bei hoher Frequenz.
@Andyaka Ich glaube nicht, dass ich richtig interpretiere, was es bedeutet, echte negative Pole anstelle von komplex konjugierten zu haben. Hauptsächlich weiß ich nicht, ob es sinnvoll ist, von einer "gemeinsamen" Frequenz für die Pole zu sprechen (wie wir es bei komplex konjugiert getan haben), da sie tatsächlich unterschiedliche Frequenzen haben, wie wir im asymptotischen Bode-Diagramm verstehen
Im Bode-Diagramm "verlinken" sie alle auf 0 Hz, dh sie haben keinen jw-Inhalt. Macht das mehr Sinn? Verstehst du die Beziehung zwischen Polen/Nullen und dem Bode-Diagramm?
Es sieht so aus, als würden Sie sich nicht wirklich die Mühe machen, Antworten zu akzeptieren. Sie müssen wissen, dass Sie dies nicht nur für sich selbst tun, sondern für alle anderen in der Zukunft, die nach ähnlichen Problemen suchen. Diese Personen werden diese Frage in ihren Suchen mit Antwort(en) sehen, aber keine von ihnen hat akzeptiert. Das kann zu Verwirrung führen, falls eine Antwort Ihre Probleme gelöst hat . Es kostet Sie nichts, sich für eine Antwort zu entscheiden und auf das Häkchen zu klicken (so wie Sie es bei zwei Ihrer anderen Fragen getan haben).
@aconcernedcitizen du hast recht ich werde es mit meinen anderen fragen machen!

Antworten (2)

Ich würde empfehlen, die ursprüngliche Formel in einer Form mit niedriger Entropie zu faktorisieren und das normalisierte Polynom eines Systems zweiter Ordnung zu finden, das lautet: H ( S ) = A 0 B 0 1 + A 1 S + A 2 S 2 1 + B 1 S + B 2 S 2 was nach richtiger Neuanordnung zu der richtigen Form führt, in der ein führender Begriff die DC-Verstärkung in Ihrem Fall definiert: H ( S ) = H 0 1 + S ω 0 N Q 0 N + ( S ω 0 N ) 2 1 + S ω 0 D Q 0 D + ( S ω 0 D ) 2 bei dem die N Und D Indizes beziehen sich jeweils auf Zähler und Nenner.

Wenn der Qualitätsfaktor unter 0,5 liegt, impliziert dies, dass Wurzeln reell und nicht zufällig sind: Es gibt keine imaginären Teile und das System ist gut gedämpft. Für einen niedrigen Qualitätsfaktor sind die Pole (oder Nullen) gut verteilt und einer von ihnen dominiert das niederfrequente Spektrum, während der andere den oberen Teil dominiert. In diesem Fall können Sie das sogenannte Low- Q Annäherung :

1 + S ω 0 Q 0 + ( S ω 0 ) 2   ≈ ( 1 + S ω P 1 ) ( 1 + S ω P 2 ) Wo ω P 1 = ω 0 Q Und ω P 2 = ω 0 Q .

In Ihrem Fall können Sie den Ausdruck überarbeiten, indem Sie 987654 im Zähler und faktorisieren 2.48 10 8 im Nenner. Dies zeigt eine DC-Dämpfung von 48 dB, gefolgt von den zwei Nullen über den zwei Polen. Ein Mathcad-Blatt zeigt die typische Antwort des faktorisierten Formulars und vergleicht sie mit dem ursprünglichen Ausdruck:

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Mit den angegebenen Werten sehen Sie eine Phasenanhebung um 1 kHz, vielleicht um ein Steuersystem zu kompensieren?

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Es ist wichtig, Übertragungsfunktionen nach einer designorientierten Analyse oder D-OA richtig zu formatieren: Die Übertragungsfunktion sollte ein System beschreiben und aufdecken, ob es Verstärkungen, Pole oder Nullen hat. Das Respektieren des Formats, das einen führenden Begriff (falls vorhanden) mit einem Bruch beginnt, der mit 1+ beginnt ... Art des Formats, erfüllt diese Anforderung meiner Meinung nach natürlich.

Der Grund für die Zerlegung einer langen Übertragungsfunktion (tf) in Abschnitte 2. Ordnung besteht darin, numerische Instabilitäten zu vermeiden oder den Qualitätsfaktor der Wurzeln zu zähmen. Die allgemeine Formel für ein tf 2. Ordnung gilt nur, wenn sie nicht weiter reduziert werden kann, dh die Wurzeln der das tf bildenden Polynome komplex (konjugiert, für Hurwitz) sind. Aber da Ihr tf nur echte Pole und Nullen hat, kann es weiter in zwei Abschnitte 1. Ordnung aufgeteilt werden:

H ( S ) = ( S − z 1 ) ( S − z 2 ) ( S − P 1 ) ( S − P 2 )

Das bedeutet, dass Sie, da Sie keine komplexen Wurzeln mehr haben, nicht mehr von einem Qualitätsfaktor sprechen können: Sie haben zwei grundlegende Zellen 1. Ordnung in Reihe. Eine kurze Erklärung dazu finden Sie in dieser Antwort .

"da man keine komplexen wurzeln mehr hat, kann man nicht mehr von einem qualitätsfaktor sprechen". Nun, Sie können immer noch von einem Qualitätsfaktor sprechen, wenn Sie ihn als geeignetes Verhältnis der Koeffizienten der Gleichung definieren. Grundsätzlich ist Q = 1/(2 Zeta), wobei Zeta das Dämpfungsverhältnis ist. Und das Dämpfungsverhältnis kann auch für reale Pole als Funktion des Polabstands p2/p1 ausgedrückt werden. Tatsächlich ist zeta > 1 für echte unterschiedliche Pole, und dies ergibt Q < 1/2, wie @VerbalKint in seiner Antwort feststellt.
@SredniVashtar Streng genommen kann man von einem Qualitätsfaktor sprechen, aber es wäre ziemlich nutzlos, da Sie in dem Moment, in dem Sie eine echte Stange haben, genau wissen, dass Sie nur einen möglichen Wert haben können. Aus diesem Grund habe ich es in einzelne, echte Pole aufgeteilt, um zu zeigen, dass eine solche 2. Ordnung in Abschnitte 1. Ordnung aufgeteilt werden kann, um zu zeigen, dass es tatsächlich zwei Pole anstelle eines "komplexen" Pols gibt. Passt das in die überdämpfte Kategorie? Natürlich, aber es zeigt auch, dass überdämpft wirklich zwei verschiedene, einfache, echte Pole bedeutet, nicht mehr.
Ich bin mir nicht sicher, worauf Sie sich mit "nur einem möglichen Wert" beziehen. Ich möchte klarstellen, dass ich Sie nicht verärgere. Als ich zum ersten Mal von dieser „Verallgemeinerung“ von Q erfuhr, war ich ziemlich überrascht, dass es immer noch in nicht schwingenden Systemen verwendet werden könnte, aber letztendlich macht es Sinn, weil es genau wie das Dämpfungsverhältnis ein Maß für die Dämpfung ist, selbst wenn das System es ist nicht oszillierend. Q verliert nur die Bedeutung des Verhältnisses zwischen gespeicherter und verbrauchter Energie pro Zyklus (was meiner Meinung nach der angenehme Sinn Ihrer Antwort ist) und wird zu einem Maß dafür, wie weit die wirklich unterschiedlichen Pole voneinander entfernt sind.
@SredniVashtar Es ist alles sehr wahr und, wie ich zugestimmt habe, die Grundlage des überdämpften Falls für Systeme 2. Ordnung. Der Unterschied, den ich zu machen versuchte, ist, dass das überdämpfte System weiter in einfache Systeme 1. Ordnung reduziert werden kann, bei denen es keine Dämpfung gibt, weil nur reellwertige Wurzeln vorhanden sind. Es ist ähnlich wie bei RC- oder RL-Zellen, sie enden nur damit, Wurzeln auf der realen Achse zu stopfen, anstatt die gesamte komplexe Ebene zu nutzen. Ich nehme an, es ist nur eine andere Sichtweise. So wie ich das sehe, ist das eine Diskussion wie jede andere. Solange etwas Wahrheit dabei herauskommt, warum nicht?
Analysieren wir echte Pole genauso wie Sie komplex konjugierte Pole analysieren?
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