Hintergrund

Hier arbeiten wir durchgehend in der euklidischen Theorie. Ich leite dies auch mit einem Haftungsausschluss ein, dass ich mit Indizes etwas nachlässig war, aber hoffentlich bleibt die Botschaft klar.

Die Ward-Identitäten in ihrer breitestmöglichen Form sind eigentlich eine Aussage über jede infinitesimale Verschiebung in den Feldern, nicht unbedingt Symmetrien der Aktion oder etwas anderes:

$$\delta\phi=\epsilon\cdot f\qquad[\delta\phi_i=\epsilon^r(x^\mu) f_r^i(\phi, \partial\phi)] \\Z=\int\mathcal D\phi'\exp\left(-S'+\int J\cdot\phi'\right) \\=\int\mathcal D\phi\left(1+\epsilon^r\mathrm{Tr}\frac{\delta f_r}{\delta\phi_j}\right)\exp\left(-S-\delta_\epsilon S+\int J\cdot(\phi+\epsilon\cdot f)\right)$$ $$\\\Rightarrow\left\langle-\delta_\epsilon S+\int \epsilon J\cdot f\right\rangle=-\left\langle\epsilon^r\mathrm{Tr}\frac{\delta f_r}{\delta\phi_j}\right\rangle\tag{1}$$ Manche Leute nennen das die Ward-Identität, aber es ist viel zu allgemein, um von unmittelbarem Nutzen zu sein. Beachten Sie, dass$J$ist nicht das Analogon des klassischen Noether-Stroms: Es ist einfach eine Hintergrundquelle. Lassen Sie mich noch einmal betonen: Das gilt für alle Transformationen$\delta_\epsilon$.

Wie Sie wahrscheinlich bei der Ableitung von Noethers erstem Theorem gesehen haben, muss jede Symmetrie der Aktion vorhanden sein

$$\delta_\epsilon S=\int\delta_\epsilon\mathcal L=-\int\epsilon\cdot\ \partial_\mu\left(f\cdot\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right)=-\int\epsilon\cdot\ \partial_\mu j^\mu$$ mit den entsprechenden Randbedingungen an$\epsilon(x)$. Hier$j^\mu(x^\mu)$ist der klassisch konservierte Noetherstrom.

Nun für eine Symmetrie in der Quantentheorie bedeutet dies das

$$Z=\int\mathcal D\phi'\exp\left(-S'+\int J\cdot\phi'\right) \\=\int\mathcal D\phi\left(1+\epsilon^r\mathrm{Tr}\frac{\delta f_r}{\delta\phi_j}\right)\exp\left(-S+\int J\cdot\phi\right)\left(1-\int\epsilon\cdot(\partial_\mu j^\mu-J\cdot f)\right)$$ $$\Rightarrow\partial_\mu\langle j^\mu\rangle-\left\langle J\cdot f\right\rangle=\left\langle\mathrm{Tr}\frac{\delta f^i}{\delta\phi_j}\right\rangle\tag{2}$$

Dies wird normalerweise als Ward-Identität bezeichnet. Die rechte Seite der Gleichung bezeichnet die Anomalie des Pfadintegralmaßes und ist im Falle einer nicht-anomalen Transformation Null (es ist auch ein sehr formaler Ausdruck und erfordert in den meisten Fällen tatsächlich ein ziemlich großes Toolset zur Auswertung). . Auch daran erinnern, dass die Quelle$J$ist buchstäblich da, damit wir herumspielen können, also können wir davon Ableitungen nehmen, bevor wir es auf Null setzen, um die Ward-Identitäten für Korrelatoren abzuleiten: der Einfachheit halber eine nicht-anomale Transformation nehmen,

$$0=\int\mathcal D\phi\exp\left(-S+\int J\cdot\phi\right)\left(\partial_\mu j^\mu-J\cdot f\right) \\ J=0\Rightarrow\partial_\mu\langle j^\mu\rangle=0 \\-i\frac{\delta}{\delta J(x_1)}Z\bigg|_{J=0}=0\Rightarrow\partial_\mu \langle j^\mu(x)\phi(x_1)\rangle=\delta(x-x_1)\langle f(\phi)\rangle$$

und so weiter, um die Beziehungen zwischen den Korrelatoren abzuleiten.

Eine weitere wichtige Beobachtung ist die Gleichung für lineare globale Symmetrien$(2)$ist äquivalent zu

$$\epsilon^r\partial_\mu\langle j^\mu\rangle=\delta_\epsilon\Gamma[\varphi]$$ Wo$\Gamma[\varphi]$ist die effektive 1PI-Aktion. Dies formalisiert auch die Idee der „klassischen Symmetrien, die auf die Quantentheorie übertragen werden“: Die effektive Wirkung von 1PI wird normalerweise die gleichen Symmetrien wie die klassische Theorie haben – diese Verletzung wird durch die Anomalie gemessen. Dies funktioniert jedoch nicht für Eichtheorien, da wir die Wirkung unter dem Pfadintegral eichfixieren müssen. Sie könnten natürlich den BRST-Weg nehmen, aber eine einfachere Methode besteht darin, eine andere Art von effektiver Aktion in Betracht zu ziehen - eine, bei der die Pegelfelder beispielsweise in den Hintergrund integriert sind$W[A']$, die ich qualitativ erörtern werde. Die Variation dieses Objekts unter$\delta_\epsilon$gibt die Anomalie richtig an. Schließlich schreibt man den erhaltenen Strom in Anwesenheit der Hintergrundfelder als $$\frac{\delta W[A]}{\delta A^a_\mu}=\langle J_a^\mu(x)\rangle$$ worauf $$D_\mu\langle J_a^\mu(x)\rangle=\left\langle\mathrm{Tr}\frac{\delta f^i}{\delta\phi_j}\right\rangle$$ ist die Slavnov-Taylor-Identität für nicht-abelsche Eichsymmetrien mit einer Anomalie.

Redux

1. Wie erwähnt, gelten die Ward-Identitäten für alle Symmetrien der Handlung. Die Ward-Takahashi-Identitäten gelten also auch für globale Symmetrien, obwohl der Trick, eine globale Symmetrie in eine lokale zu „befördern“ (wie es bei der Verwendung des Noether-Theorems in einer klassischen Feldtheorie geschieht) und die Raumzeitabhängigkeit ganz am Ende fallen lässt, a ist schneller und einfacher Weg, um die Identität für eine gegebene Theorie abzuleiten - dies gilt nicht als Eichtransformation, da wir nicht das Eichfeld selbst zur Transformation nehmen. Beachten Sie auch, dass sich die Operatoren in der Theorie nur über eine Ersetzung ändern$\phi\to\phi'$, dann sind die globalen Ward-Identitäten besonders einfach:$\langle\mathcal O_1(\phi(x_1))\dots\mathcal O_n(\phi(x_n))\rangle=\langle\mathcal O_1(\phi'(x_1))\dots\mathcal O_n(\phi'(x_n))\rangle$
   
   
2. Da sich die Ward-Identitäten auf exakte Korrelatoren beziehen, halten sie alle Ordnungen der Störungstheorie ein: Sie können die Identitäten auch in Bezug auf die effektive Aktion aufschreiben$W[J,\{\Phi\}]$mit Hintergrundanzeigefeldern$\{\Phi\}$, die Beziehungen zwischen allen verbundenen Green-Funktionen erzeugt.
   
   
3. Ja, dies verwendet den ersten Satz von Noether, wie gezeigt. Natürlich,$\partial_\mu j^\mu=0$bedeutet nicht$\partial_\mu\langle j^\mu\rangle=0$es sei denn, das Wegintegralmaß ist unveränderlich. Denken Sie jedoch daran, dass selbst lokale Transformationen der Felder, die Symmetrien der Aktion sind, einen auf der Schale erhaltenen Strom erzeugen, wenn die entsprechenden infinitesimalen Parameter verwendet werden$\epsilon^r(x^\mu)$konstant gemacht werden.
   
   
4. OP hat dies selbst gut zusammengefasst: Die Anomalie misst das Ausmaß der Verletzung der naiv erwarteten Ward-Identität, wie auch oben gezeigt. Zum Beispiel würden wir naiv erwarten$\partial_\mu \langle j^\mu_A\rangle=0$für den axialen Strom, aber das Wegintegralmaß transformiert sich als $$\int\mathcal D\psi\mathcal D\bar\psi\rightarrow\int\mathcal D\psi\mathcal D\bar\psi\exp\left(-\frac{ie^2}{16\pi^2}\int\epsilon \ F_{\mu\nu}\tilde F^{\mu\nu}\right)$$ und so $$\partial_\mu \langle j^\mu_A\rangle=\frac{e^2}{16\pi^2} F_{\mu\nu}\tilde F^{\mu\nu}$$ das ist die chirale Anomalie. Dies ist ein Beispiel für eine globale Anomalie, die völlig harmlos, aber nicht völlig nutzlos ist: Sie hilft zB bei der Vorhersage$\pi^0\to\gamma\gamma$Zerfallsrate. Auf der anderen Seite sollten Eichanomalien aufgehoben werden, ansonsten wird uns grob gesagt das Fehlen von Eichinvarianz daran hindern, die negativen Normzustände zu entfernen, während wir versuchen, uns auf einen wohldefinierten Hilbert-Raum für unsere Zustände zu beschränken. Diese Aufhebungsbedingungen führen zu sehr wichtigen Konsistenzanforderungen an die Theorie – ein wildes Beispiel ist die Bestimmung der Eichgruppen für die Typ-I- und heterotische Stringtheorien.