Arbeit durch Gravitationskraft

Question

Arbeit durch Gravitationskraft

Lakhi

[Bisschen lange Frage]

Hier in dieser Frage muss ich meine Zweifel an der Schwerkraft klären, genauer gesagt die Arbeit, die von einer konservativen Kraft (hier Gravitationskraft) geleistet wird .

Ok, nehmen wir an, es liegt ein Objekt. Vernachlässigen Sie jede Dämpfungskraft wie Reibung usw. Nehmen
Sie nun an, eine Kraft (es könnte eine konservative oder nicht-konservative Kraft sein ) wirkt auf das Objekt. Es verschiebt sich von seiner Position.

Wenn nun die Verschiebung in Richtung dieser Kraft erfolgt , dann ist die von der Kraft verrichtete Arbeit positiv .
Und wenn die Verschiebung in die entgegengesetzte Richtung dieser Kraft erfolgt , dann ist die von der Kraft verrichtete Arbeit negativ .

Ich denke, die obigen Aussagen gelten für jede Art von Kraft ( konservativ/nicht-konservativ ).

Nun kommen wir zum Hauptteil der Frage.

1. Teil

Angenommen, eine Masse m befindet sich am Punkt P, r Abstand von einer anderen Masse M entfernt.
Die Masse m erfährt die Gravitationskraft, $\vec{F_g}$ Richtung Masse M.

Nun, eine externe Kraft $\vec{F}$ wirkt auf das Objekt der Masse m, das es bewegt $\infty$ .
Nehmen Sie einen kleinen Verschiebungsvektor an $d\vec{r}$ in Richtung äußerer Gewalt $\vec{F}$ für die sich die Gravitationskraft nicht ändert, $\vec{F_g}$ . Betrachten Sie auch einen Einheitsvektor $\hat{r}$ in Richtung der äußeren Kraft $\vec{F}$ .

Sei dW _g die von der Gravitation für diese kleine Verschiebung verrichtete Arbeit, $d\vec{r}$ .

dW _g = $\vec{F_g}\cdot d\vec{r}$ = F _g dr cos 180°

dW _g = - F _g dr ----------- Gl. (1)

Also, ich denke, die Gravitationskraft, $\vec{F_g}$ negative Arbeit verrichtet und die äußere Kraft, $\vec{F}$ verrichtet die gleiche positive Arbeit aus dem einzigen Grund, dass die Verschiebung des Objekts in Richtung der äußeren Kraft und entgegengesetzt zur Gravitationskraft erfolgt .

Jetzt, $\vec{F_g}$ = - $\vec{F}$ = $\frac{GMm}{r^2}$ $\hat{r}$

Also, in Gleichung (1)

\int D W_{G} = \int_{R}^{\infty} - F_{G} D R

$\int \, dW_g = \int_r^\infty - F_g \, dr$

W_{G} = \int_{R}^{\infty} \frac{- G M M}{R^{2}} D R

$W_g= \int_r^\infty \frac{-GMm}{r^2} \, dr$

W_{G} = - G M M \int_{R}^{\infty} \frac{1}{R^{2}} D R

$W_g= -GMm \int_r^\infty \frac{1}{r^2} \, dr$

W_{G} = - G M M [\frac{- 1}{R}]_{R}^{\infty}

$W_g= -GMm \biggl[\frac{-1}{r}\biggr]_r^\infty$

W_{G} = - G M M [\frac{- 1}{\infty} - \frac{- 1}{R}]

$W_g= -GMm \biggl[\frac{-1}{\infty}-\frac{-1}{r}\biggr]$

W_{G} = \frac{- G M M}{R}

$W_g= \frac{-GMm}{r}$

So,

W_{G} = \int_{R}^{\infty} - F_{G} D R = \frac{- G M M}{R}

$W_g = {\color{red}{\int_r^\infty - F_g \, dr}} = {\color{green}{\frac{-GMm}{r}}}$

Die obigen 2 Gleichungen stimmen überein. Beide Gleichungen, eine in roter und eine in grüner Farbe, ergeben negative Arbeit, die von der Gravitationskraft geleistet wird .

2. Teil

Nun betrachten wir, dass sich das Objekt der Masse m bei befindet $\infty$ . Außerdem wird das Objekt entnommen $\infty$ zum Punkt P, der wiederum im Abstand r von der Masse M ist.
Diesmal der kleine Verschiebungsvektor $d\vec{r}$ wird in Richtung der Gravitationskraft sein $\vec{F_g}$ . Auch der Einheitsvektor $\hat{r}$ geht ebenfalls in die gleiche Richtung.

$\vec{F_g} = \frac{GMm}{r^2}\hat{r}$

Die Arbeit, die durch die Schwerkraft geleistet wird, wird also sein

dW _g = $\vec{F_g}\cdot d\vec{r}$ = F _g dr cos 0°

dW _g = F _g dr ----------- Gl. (2)

Hier die Gravitationskraft, $\vec{F_g}$ wird positive Arbeit leisten , da die Verschiebung des Objekts in Richtung der Gravitationskraft erfolgt.

Also, in Gleichung (2),

\int D W_{G} = \int_{\infty}^{R} F_{G} D R

$\int \, dW_g = \int_\infty^r F_g \, dr$

W_{G} = \int_{\infty}^{R} \frac{G M M}{R^{2}} D R

$W_g = \int_\infty^r \frac{GMm}{r^2} \, dr$

W_{G} = G M M \int_{\infty}^{R} \frac{1}{R^{2}} D R

$W_g = GMm \int_\infty^r \frac{1}{r^2} \, dr$

W_{G} = G M M [\frac{- 1}{R}]_{\infty}^{R}

$W_g = GMm \biggl[\frac{-1}{r}\biggr]_\infty^r$

W_{G} = G M M [\frac{- 1}{R} - \frac{- 1}{\infty}]

$W_g = GMm \biggl[\frac{-1}{r}-\frac{-1}{\infty}\biggr]$

W_{G} = \frac{- G M M}{R}

$W_g = \frac{-GMm}{r}$

So,

W_{G} = \int_{\infty}^{R} F_{G} D R = \frac{- G M M}{R}

$W_g = {\color{blue}{\int_\infty^r F_g \, dr}} = {\color{green}{\frac{-GMm}{r}}}$

Also, endlich mein Zweifel:-

Die blaue Gleichung besagt, dass die von der Gravitationskraft geleistete Arbeit positiv ist (weil der Verschiebungsvektor in die gleiche Richtung wie der der Gravitationskraft zeigt).
Aber nachdem wir es integriert haben, haben wir dieselbe grüne Gleichung , die wir zuvor abgeleitet haben, die uns sagt, dass die von der Gravitationskraft geleistete Arbeit negativ ist .

Wenn wir uns nun die roten und blauen Gleichungen ansehen , sind beide gleich, nur der Term wird in entgegengesetzter Reihenfolge integriert.
Und wir wissen, dass die Gravitationskraft eine konservative Kraft ist, also ob es die blaue oder die rote ist , die Arbeit durch die Schwerkraft wird die gleiche sein, die durch die grüne Gleichung gegeben ist.

Aber am Ende ist mein Zweifel, warum die blauen und grünen Gleichungen nicht übereinstimmen (blaues Sprichwort Arbeit durch Schwerkraft ist positiv, während grünes Sprichwort Arbeit durch Schwerkraft negativ ist)?

QMechaniker

Mehr zur Vorzeichenkonvention für potentielle Gravitationsenergie .

Antworten (2)

Arbeit durch Gravitationskraft

Mehr zur Vorzeichenkonvention für potentielle Gravitationsenergie .

eranreches · Answer 1

Lassen Sie uns die stationäre Masse platzieren $M$ a der Ursprung. In beiden Fällen ist die Gravitationskraft zum Ursprung gerichtet und ist gegeben durch

{\vec{F}}_{G} = - \frac{G M M}{R^{2}} \hat{R}

$\vec{F}_{g}=-\frac{GMm}{r^{2}}\hat{r}$

Im ersten Fall wird also die Arbeit durch die Gravitationskraft verrichtet

W_{R \to \infty} = \int_{R}^{\infty} {\vec{F}}_{G} \cdot \vec{D R} = - \int_{R}^{\infty} \frac{G M M}{R^{2}} D R = - \frac{G M M}{R}

$W_{r\rightarrow\infty}=\int_{r}^{\infty}\vec{F}_{g}\cdot\vec{dr}=-\int_{r}^{\infty}\frac{GMm}{r^{2}}dr=-\frac{GMm}{r}$

Andererseits brauchen wir im zweiten Fall nur die Grenzen der Integration zu verschieben

W_{\infty \to R} = \int_{\infty}^{R} {\vec{F}}_{G} \cdot \vec{D R} = - \int_{\infty}^{R} \frac{G M M}{R^{2}} D R = \frac{G M M}{R}

$W_{\infty\rightarrow r}=\int_{\infty}^{r}\vec{F}_{g}\cdot\vec{dr}=-\int_{\infty}^{r}\frac{GMm}{r^{2}}dr=\frac{GMm}{r}$

das ist genau das Gegenteil, und die Zeichen sind genau das, was Sie erwartet haben. Eine wichtige Sache zu beachten ist, dass dies auch in beiden Fällen der Fall ist

\vec{D R} = D R \hat{R}

$\vec{dr}=dr\hat{r}$

und das Vorzeichen wird durch die Integrationsgrenzen gesetzt. Also im ersten Fall $dr>0$ und im zweiten $dr<0$ (ganz informell). Sie haben diese Tatsache ignoriert, als Sie schrieben $\cos\left(180^{\circ}\right)$ im Skalarprodukt im zweiten Fall.

Im zweiten Fall habe ich cos 0 geschrieben. Im zweiten Fall habe ich die Richtung genommen $d\vec{r}$ entlang der Kraft $\vec{F_g}$ weil die Kraft auf die Masse M (am Ursprung) und die Verschiebung der Masse wirkt, wirkt m auch auf die Masse M. Also, warum hast du nicht die Richtung von geändert? $d\vec{r}$ im 2ten Fall? Außerdem, wenn ich Ihnen vollkommen zustimme, dann ist die konservative Natur der Schwerkraft in Ihrem Beitrag nicht zufrieden?
Mein Zweifel ist, dass die grüne Gleichung die konservative Eigenschaft der Gravitationskraft erfüllt, aber gleichzeitig nicht mit der blauen Gleichung übereinstimmt
@lakhi In Bezug auf Ihren ersten Kommentar habe ich die Richtung von nicht geändert $dr$ denn das ist es, was die Integrationsgrenze tut. $dr$ ist ein Linienelement in radialer Richtung, und sein Vorzeichen (Richtung) ist: plus für Integration von $r$ bis unendlich und minus für die Integration von unendlich bis $r$ . Wenn Sie dann dem zustimmen, was ich geschrieben habe, warum ist die Schwerkraft dann nicht konservativ? Sie können deutlich sehen, dass die an geschlossenen Schleifen geleistete Arbeit null ist, da $W_{r\rightarrow\infty}+W_{\infty\rightarrow r}=0$ . Zu deinem zweiten Kommentar verstehe ich nicht ganz, was du meinst.
Wenn Sie nur die blaue Gleichung betrachten, kommt die Gleichung zu dem Schluss, dass die Schwerkraft positive Arbeit leistet (warum?), da sie aus der 2. Gleichung stammt und in der 2. Gleichung der Winkel zwischen Kraft, $\vec{F_g}$ und Verschiebung, $d\vec{r}$ ist 0° . Jetzt ist die blaue Gleichung gleich der grünen Gleichung und in der grünen Gleichung gibt es ein negatives Vorzeichen und somit sagt es, dass die Schwerkraft negative Arbeit leistet. Deshalb sage ich, dass die blaue Gleichung nicht mit der grünen Gleichung übereinstimmt.
Die blauen und grünen Gleichungen sind konsistent (obwohl Ihre Berechnung im zweiten Fall nicht korrekt ist), weil Sie "rückwärts" integrieren. Beachten Sie das im Allgemeinen $\int _{a}^{b}=-\int_{b}^{a}$ . Wie gesagt, das Skalarprodukt ist in beiden Fällen gleich, aber die Integrationsrichtung ist umgekehrt. Die Integrationsrichtung kapselt die Information darüber, ob beide Vektoren in die gleiche Richtung oder in die entgegengesetzte Richtung zeigen.
Sie haben zwei Dinge getan, die sich gegenseitig aufheben und dazu geführt haben, dass Sie in beiden Fällen dieselbe Antwort erhalten. Sie müssen mit Koordinaten vorsichtiger sein. Erstens sagen Sie, es gibt ein Minuszeichen, weil Kraft und Weg einmal in die gleiche Richtung zeigen und das andere Mal in entgegengesetzte Richtungen. Zweitens gibt es ein Minuszeichen, weil Sie die Integrationsreihenfolge gefegt haben. Beides geht nicht. Deshalb erhalten Sie in beiden Fällen die gleiche Antwort.
@lakhi Bitte öffnen Sie eine neue Frage und stellen Sie diese dort. Lassen Sie uns diesen Thread auf Ihre vorherige Frage konzentrieren. Es wird zu lang.

Benutzer325381 · Answer 2

Im zweiten Fall haben Sie zunächst eine Skalarmultiplikation durchgeführt und das Vorzeichen erhalten . Jetzt wird alles zur Größe und es sind keine zusätzlichen Zeichen von der Integration erlaubt. Du könntest sagen "warum?" Erinnere dich an die Definition der Skalarmultiplikation. ${\vec A }{\cdot}{\vec B}={ABcos\theta}$ Sehen Sie die Magie! Nach der Skalarmultiplikation erhalten Sie nur die Größe und der Kosinus gibt ein Vorzeichen an. Führen Sie also in Ihrem zweiten Fall die Integration innerhalb eines Modulus durch . Und einfach halten $cos\theta$ außen. Daher erhalten Sie positive Arbeit

Warnung: Diese Methode hat vielleicht keine mathematische Strenge, aber sie ist mächtig

Arbeit durch Gravitationskraft

Lakhi

1. Teil

2. Teil

Also, endlich mein Zweifel:-

QMechaniker

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eranreches

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Benutzer325381

Aus welchem Grund ist die Differenz der potentiellen Energie ΔU=−WΔU=−W\Delta U=-W gleich dem Gegenteil der verrichteten Arbeit?

Ich habe ein Problem damit, absolute Gravitationspotentialenergie zu verstehen?

Gravitationspotentialdifferenz

Potenzielle Energiedefinition in Bezug auf die geleistete Arbeit

Warum ist die Arbeit, die beim Bewegen einer Einheitsmasse von unendlich zu einem Punkt (wo ein Gravitationsfeld existiert) verrichtet wird, negativ?

Wenn wir schreiben, dass F=−∇VF=−∇VF = -\nabla V , was würde passieren, wenn wir das (-) Minuszeichen weglassen

Beziehung zwischen konservativer Kraft und potentieller Energie

Was bedeutet das negative Vorzeichen in W=−ΔUW=−ΔUW = -\Delta U?

Zeichen im Nachweis der Gravitationspotentialenergie (GPE)

Verwechslung mit F=−∇VF=−∇VF=-\nabla V, FFF konservativ