Auf der Suche nach einem Beweis wird der relativistische Impuls erhalten, indem erste Prinzipien verwendet werden

Die Erhaltung des Energie-Impulses ist ein Grundprinzip der Relativitätstheorie; es ist in Einsteins Gleichung "eingebaut".

$$G^{ab}=8\pi G T^{ab}.$$ Es kann für Wechselwirkungen in der Quantenfeldtheorie bewiesen werden, aber das ist ein schwerer Beweis. Andernfalls ist es am besten, es als grundlegendes Prinzip zu nehmen (es kann auch aus dem Satz von Noether bewiesen werden, aber das hängt von einer äquivalenten Umformulierung der Newtonschen Gesetze ab, und das Argument kann als Zirkelschluss angesehen werden).

Was den anderen Teil Ihrer Frage angeht,$4$-Impuls oder Energie-Impuls$(E,\mathbf p)$, ist ein$4$-Vektor. Es gibt also nichts zu beweisen.$4$-Vektoren sind in allen Frames gleich. Vielleicht hilft es, wenn du die Geschwindigkeit definierst$4$-Vektor für einen ruhenden Körper$v=(1,0,0,0)$, und erhält seine Form nach der Lorentz-Transformation. Dann kannst du definieren$4$-Impuls in gewohnter Weise

$$p = mv.$$

Da das OP darum bittet, das zu finden, und ich zitiere hier,

Formel für relativistischen Impuls unter der Forderung der Impulserhaltung für Inertialsysteme

(das letzte Wort ist meine Vermutung, was am sinnvollsten ist), wir tun Folgendes.

Wir definieren zunächst die Teilchenbahnen als Funktionen$x^\mu(\tau)$in der Raumzeit, wo$\tau$ein beliebiger Lorentz-invarianter Parameter ist. Die Aktion ist

$$A=\int d\tau\ L(x^\mu(\tau),\dot x^\mu(\tau),\tau)$$ Wo$\dot x^\mu(\tau)$bezeichnet die Ableitung bezüglich des Parameters$\tau$. Wenn die Lagrangefunktion nur von invarianten Skalarprodukten der Form abhängt$x^\mu x_\mu,x^\mu\dot x_\mu,\dot x^\mu \dot x_\mu$, dann ist sie unter Lorentztransformationen invariant $$x^\mu\to \dot x^\mu=\Lambda^\mu_\nu x^\nu$$ Wo$\Lambda$erfüllt$\Lambda g\Lambda^T=g$mit$g_{\mu\nu}=(1,-1,-1,-1)$.

Für ein freies massives Punktteilchen in der Raumzeit ist die Lagrangedichte

$$L=-mc\sqrt{g_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu}.$$ Es ist unveränderlich unter$\tau\to f(\tau)$für willkürlich und ausreichend glatt$f$. Unter Übersetzungen wie $$\delta_sx^\mu(\tau)=x^\mu(\tau)-\epsilon^\mu(tau)$$ die Lagrange-Funktion ist invariant, befriedigend$\delta_sL=0$. Wenn wir also Euler-Lagrange anwenden, um die Varianz zu berechnen, erhalten wir $$0=\int_{\tau_\mu}^{\tau_\nu}d\tau\left(\frac{\partial L}{\partial x^\mu}\delta_sx^\mu+\frac{\partial L}{\partial \dot x^\mu}\delta_s\dot x^\mu\right)=-\epsilon^\mu\int_{\tau_\mu}^{\tau_\nu}d\tau\frac{d}{d\tau}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot x^\mu}\right).$$

So sind die Noether-Ladungen

$$-\frac{\partial L}{\partial\dot x^\mu}=mc\frac{\dot x^\mu(\tau)}{\sqrt{g_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu}}=mcu^\mu\equiv p^\mu$$

und befriedigt

$$\frac{d}{d\tau}p^\mu(\tau)=0$$

Dies ist die Erhaltung des 4-Impulses, sobald wir das bemerken$p^\mu$ist in der Tat der 4-Impuls, der durch Definition notiert werden kann$\tau$die physische Zeit sein$t=x^0/c$. Beachte das auch$u^\mu$ist die dimensionslose 4-Geschwindigkeit des Teilchens, und daher behält der 4-Impuls sein Aussehen aus der Newtonschen Mechanik.

Wenn man sich also auf die Lagrange-Funktion einigen kann, dann fällt die Definition des 4-Impulses als konservierte Noether-Ladung davon aus den Definitionen und Euler-Lagrange.

Bei einer Kollision kann die Erhaltung des 4-Impulses durch ein Polygon beschrieben werden (genau wie ein Freikörperdiagramm von Kräften auf ein Objekt im statischen Gleichgewicht):

$$\sum_i \tilde P_{i,\rm before} - \sum_j \tilde P_{j,\rm after}=\tilde 0.$$

Dann sind Lorentz-Transformationen, wie @stackoverblown sagt, lineare Transformationen (genau wie Euklidische Rotationen und Galileische Transformationen). Dieses Polygon wird also in ein anderes Polygon umgewandelt (wie durch die Lorentz-Transformation bestimmt).

Die Impulserhaltung vermischt sich mit der Energieerhaltung, wenn Sie auf relativistische Geschwindigkeit gehen.

$$E^{'} = \gamma (E - v p)$$ $$p^{'} = \gamma (p - \frac{v E}{c^2})$$ Nun, wenn Sie Erhaltung haben$E_1+E_2 = E_3+E_4$Und$p_1 + p_2 = p_3 + p_4$Da die Lorentz-Transformation linear ist, werden sie sich einfach in transformieren$E^{'}_1 + E^{'}_2 = E^{'}_3 + E^{'}_4$Und$p^{'}_1 + p^{'}_2 = p^{'}_3 + p^{'}_4$im neuen Rahmen.

Der Impuls bleibt nur erhalten, wenn keine äußere Kraft auf Ihr System einwirkt. Da die Kraft die zeitliche Ableitung des Impulses ist, bleibt der Impuls erhalten, wenn die äußere Kraft auf ein Teilchen Null ist. Lassen Sie mich das mathematischer machen:$0 = \vec f = d\vec p / dt$. Dies gilt für den nicht-relativistischen und den relativistischen Fall.

Natürlich kann man einen Lagrangian aufschreiben und dann den Satz von Noether anwenden, da dies mehr Mathematik ist. Aber im Grunde ist die Antwort so einfach, wie ich es ausdrücke.