Bahndrehimpuls als Summe harmonischer Oszillatoren

Ach, ja & nein, aber... das ist die schwerfälligste Zusammenfassung der klassischen Jordan-Map- Konstruktion von SU(2)-Matrix-Generatoren, die es gibt.

Die größte Schwierigkeit und Verwirrung liegt hier in der Änderung der Basen, die die unkontrollierte Abstraktion der Notation fördert. Die gedachten Räume der beiden Oszillatoren sind nicht die von den Rotationsgeneratoren indizierte Raumzeit, also unser Alltag$\theta, \phi$Raum Winkel! Sie schwingen in Nebenräumen ähnlich denen von QFT-Oszillatoren, ebenfalls losgelöst von unserer Raumzeit!

Ich werde dies alles anhand eines konkreten Beispiels veranschaulichen: Schauen wir uns die an$\ell =2$, Spin-Zwei-Darstellung bestehend aus den Dreien$2\ell +1=5$-dimensionale Matrizen, 5×5, befriedigend$[L^j,L^k]= i \epsilon^{jkr}L^r$, wo ich nichtdimensionalisiert habe$\hbar$für Vernunft.

Im Fock-Raum ist das Leben einfach: Spin zwei ist nur die symmetrische Spin-Addition von vier Spin-1/2, zwei$a_1$und zwei$a_2$Oszillatoren, also$n_1=2, ~ n_2=2$. Der Baustein der 5×5-Matrizen ist das Bild der drei 2×2-Pauli-Matrizen in dieser Karte,

$${\vec L} \equiv {\mathbf a}^\dagger \cdot\frac{ {\vec \sigma } } {2} \cdot {\mathbf a}^{\,} ~,$$ für Zweivektoren${\mathbf a},{ \mathbf a}^\dagger$, der Ausgangspunkt von Schwingers Behandlung der Theorie des Quantendrehimpulses von 1952, basierte auf der Wirkung dieser Operatoren auf Fock-Zustände, die aus beliebigen höheren Potenzen solcher Operatoren aufgebaut waren.

Hier werden die beiden Oszillatoren tensorquadriert

$$L^2\equiv {\vec L} \cdot {\vec L} = \frac{n_1+n_2}{2} \left ( \frac{n_1+n_2}{2}+1\right )I_5~,$$ der Eigenwert ist hier 6, wie natürlich für Spin 2 erwartet.

Zum Beispiel auf einen (nicht normalisierten) Fock-Eigenzustand einwirken, sich erinnern$L_+=a_1^\dagger a_2$Und$L_-=a_2^\dagger a_1$, beobachten

$$L^2~ a^{\dagger k}_1 a^{\dagger n}_2 |0\rangle= \frac{k+n}{2} \left ( \frac{k+n}{2}+1\right ) ~ a^{\dagger k}_1 a^{\dagger n}_2 |0\rangle ~,$$ während $$L_z ~ a^{\dagger k}_1 a^{\dagger n}_2 |0\rangle= \frac{1}{2} \left ( k-n\right ) ~ a^{\dagger k}_1 a^{\dagger n}_2 |0\rangle ~,$$ damit z$l=(k+n)/2$,$m= (k−n)/2$, dieser ist proportional zum Eigenzustand$|l,m\rangle$,
$$|l,m\rangle= \frac{a_1^{\dagger ~(l+m)} a_2^{\dagger ~ (l-m)} }{\sqrt{(l+m)!~(l-m)!}}|0\rangle~ .$$

In unserem Beispiel$l=2$, So

$$|2,m\rangle= \frac{a_1^{\dagger ~2+m} a_2^{\dagger ~ 2-m} }{\sqrt{(2+m)!~(2-m)!}}|0\rangle~ .$$

Erinnern Sie sich nun an die Standardbasenverbindung zu nun zwei disjunkten eindimensionalen Räumen (!)

$$\langle x_j|a_i^{\dagger ~~n}|0\rangle = \delta_{ij}\psi_n^{(i)}(x_i),$$ bei dem die$\psi_n (x)$sind die Hermite-Funktionen auf die übliche Weise mit den Hermite-Polynomen verwandt, n gibt den Energieerregungsindex an und (i) bezeichnet die Oszillatoren 1,2, von denen sie stammen, aber jetzt sind es dieselben Funktionen. Nehmen Sie also z. B. m=2 , $$(\langle x_1| \otimes \langle x_2 |) |2,2\rangle= \psi_4 (x_1)\psi_0(x_2),$$ usw.

Siehe auch hier

$$\langle \theta,\phi| l,m\rangle= Y_l^m(\theta, \phi),$$ mit dieser ausdrücklichen Form , für den Rest

In Betracht ziehen$Y_2^2(\theta,\phi)= \frac{1}{4} \sqrt{\frac{15}{2\pi} } \sin^2\theta ~ e^{2i\phi}$. Das ist sozusagen eine Funktion mit Argumenten auf der Himmelskugel und hat wenig mit den beiden Gedankenräumen zu tun, in denen die Hermite-Funktionen der beiden Schwinger-Oszillatoren leben.

• Tatsächlich beschreiben die beiden sehr unterschiedlichen Realisierungen dieselben Zustände und dieselben 5 × 5-Matrizen (in unserer Abbildung) durch die Verwendung von Bewegungen auf zwei sehr unterschiedlichen Mannigfaltigkeiten; aber diese induzieren kaum eine natürliche Verbindung zwischen zugehörigen Legendre-Polynomen und Hermite-Polynomen (und damit Funktionen, oben).

NB. Dennoch gibt es eine wichtige Verbindung zwischen Laguerre- und Hermite-Polynomen, aber das ist noch eine andere Konstruktion ... Phasenraum, wo die Laguerres- oder Wigner-Funktionen Bilineare der Hermites der Wellenfunktionen sind. Übertrifft hier völlig Ihren Fokus.

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Hinweis als Antwort auf den Kommentar von @ytlu

Die obige Überprüfung / Dekonstruktion sollte die Schwäche der Verbindung zwischen Hermite-Polynomen und sphärischen Harmonischen hervorheben. Die fünf Zustände, die ich oben abgebildet habe, ($y\equiv \cos\theta$),

$$Y^2_2 \sim e^{i2\phi} P_2^2 (y) \leftrightarrow \psi_4(x_1)\psi_0(x_2), \\ Y^1_2 \sim e^{i\phi} P_2^1 (y) \leftrightarrow \psi_3(x_1)\psi_1(x_2), \\ Y^0_2 \sim P_2^0 (y) \leftrightarrow \psi_2(x_1)\psi_2(x_2), \\ ...,$$ liefern in der Tat äquivalente Realisierungen in zwei Variablen derselben Ableitungsmatrix.

Ich gebe die nichttrivialen Größen mit flachem Maß an,$\int dx ~\psi_n(x) \psi_k(x)=\delta_{nk}$(keine Polynome!) und$\int dy ~P_l^m(y)~ P_k^m(y)\propto \delta_{lk}$, um Äpfel mit Äpfeln zu vergleichen: Sie liefern also ein offensichtliches Korrespondenzwörterbuch mit offensichtlichen Korrespondenzregeln. Aber ich glaube nicht, dass das die Änderung der Variablen am Himmel war, die das OP verlangte.