Berechnen Sie die Höhe eines Projektils in einem rotierenden Raumschiff-Bezugssystem

Der Positionsvektor$~\mathbf r~$Ist

$$\mathbf r=\mathbf R+\mathbf R',$$

Wo

$$\mathbf R= \left[ \begin {array}{c} -\rho\,\sin \left( \theta \right) \\ -\rho\,\cos \left( \theta \right) \\ 0\end {array} \right]$$ $$\mathbf R'=\left[ \begin {array}{c} X\\ {\frac {\sin \left( \alpha \right) X}{\cos \left( \alpha \right) }}-\frac 12\,{\frac {g{X}^{2}} {{v}^{2} \left( \cos \left( \alpha \right) \right) ^{2}}} \\0\end {array} \right]$$

so dass

$$\mathbf r=\left[ \begin {array}{c} -\rho\,\sin \left( \theta \right) +X \\ -\rho\,\cos \left( \theta \right) +X\tan \left( \alpha \right) -\frac 12\,{\frac {g{X}^{2}}{{v}^{2} \left( \cos \left( \alpha \right) \right) ^{2}}}\\ 0\end {array} \right]$$

Sie haben eine verallgemeinerte Koordinate, die ist$~X$Sie können jetzt die Bewegungsgleichung erhalten mit:

$$T=\frac m2\mathbf{\dot{r}}\cdot \mathbf{\dot{r}} \\ U=-m\,g\,\mathbf r_y$$

und die äußeren Kräfte aufgrund der Rotation

$$\mathbf F_s=\left[ \begin {array}{c} m \left( -{\omega}^{2}r_{{x}}-2\,\omega\,v_{ {y}} \right) \\ m \left( -{\omega}^{2}r_{{y}}+2\, \omega\,v_{{x}} \right) \\ 0\end {array} \right]$$

mit Euler-Lagrange erhält man eine Differentialgleichung

$$\ddot X(\tau)=f(X(\tau)~,\dot X(\tau)~,\omega~,v~,\alpha,\rho)$$

• $\alpha~$Startwinkel
• $v~$Startgeschwindigkeit
• $\omega~$Winkelgeschwindigkeit
• $~\rho~$Kreisradius

mit der Lösung$~X(\tau~)$

Numerische Simulation

Ich stoppe die Simulation, wenn$~x'(\tau)\,\ge 2\,\rho\sin(\theta)~$

Der effiziente Weg, dies zu berechnen, besteht darin, das nicht rotierende Koordinatensystem zu verwenden.

Gegeben ist:
1 Startgeschwindigkeit in Bezug auf den rotierenden Rahmen
2 Winkel in Bezug auf den kreisförmigen Umfang des rotierenden Rahmens
3 Winkelgeschwindigkeit des rotierenden Rahmens in Bezug auf den nicht rotierenden Rahmen

Die Geschwindigkeit in Bezug auf den nicht rotierenden Rahmen ist die Vektorsumme von:
1 der Geschwindigkeit in Bezug auf den rotierenden Rahmen
2 der momentanen Geschwindigkeit des Startpunkts in Bezug auf den nicht rotierenden Rahmen

Die Bewegung des Projektils in Bezug auf den nicht rotierenden Rahmen ist entlang einer geraden Linie . So können Sie beispielsweise berechnen, wann diese geradlinige Bewegung den Umfang wieder schneidet.

Wenn Sie dagegen darauf bestehen würden, die Berechnung ausschließlich im rotierenden Rahmen durchzuführen, ist meiner Meinung nach die numerische Analyse der einzige Weg. Die Bewegung in Bezug auf den rotierenden Rahmen ist keine nette Funktion, wie etwa eine Parabel oder ein (Halb-)Kreis oder eine Hyperbel usw. Der einfachste Algorithmus zum Zeichnen einer beliebigen Trajektorie ist die Methode von Euler .

Natürlich ist die numerische Analyse nur dann eine Option, wenn Sie einen Computer für die Berechnung einrichten können.