Bereich des Kerr-Newman-Ereignishorizonts

In geometrisch-Gaußschen Einheiten mit$G$,$c$, Und$\frac{1}{4\pi\epsilon_0}$gleich 1, die Kerr-Newman-Metrik für ein Schwarzes Loch mit Masse$M$, Drehimpuls$J=aM$, und laden$Q$Ist

$$\begin{align} ds^2= &-\left(1-\frac{2Mr-Q^2}{r^2+a^2\cos^2{\theta}}\right)dt^2 +\frac{r^2+a^2\cos^2{\theta}}{r^2-2Mr+a^2+Q^2}dr^2\\ &+(r^2+a^2\cos^2{\theta)}\,d\theta^2 +\left(r^2+a^2+\frac{a^2(2Mr-Q^2)\sin^2{\theta}}{r^2+a^2\cos^2{\theta}}\right)\sin^2{\theta}\,d\phi^2\\ &-\frac{2a(2Mr-Q^2)\sin^2{\theta}}{r^2+a^2\cos^2{\theta}}\,dt\,d\phi \end{align}$$

in Boyer-Lindquist-Koordinaten$(t,r,\theta,\phi)$. (Wenn$Q$Null ist, reduziert sich dies auf die Wikipedia-Form für die Kerr-Metrik . Wikipedias Form für die Kerr-Newman -Metrik entspricht der obigen, scheint aber weniger einfach zu sein.)

Der$g_{rr}$Komponente des metrischen Tensors ist unendlich, wenn der Nenner$r^2-2Mr+a^2+Q^2$ist Null. Dies geschieht an zwei radialen Koordinaten,

$$r_\pm=m\pm\sqrt{m^2-a^2-Q^2}.$$

Der Ereignishorizont liegt bei$r_+$. Wir wollen den Flächeninhalt dieser Fläche finden. Die 2D-Metrik auf der Oberfläche$t=$konstant und$r=r_+$Ist

$$ds_+^2= (r_+^2+a^2\cos^2{\theta)}\,d\theta^2 +\left(r_+^2+a^2+\frac{a^2(2Mr_+-Q^2)\sin^2{\theta}}{r_+^2+a^2\cos^2{\theta}}\right)\sin^2{\theta}\,d\phi^2$$

und das Flächenelement auf dieser Fläche ist

$$\begin{align} dA_+&=\sqrt{\det{g_+}}\,d\theta\,d\phi\\ &=\sqrt{(r_+^2+a^2\cos^2{\theta})\left(r_+^2+a^2+\frac{a^2(2Mr_+-Q^2)\sin^2{\theta}}{r_+^2+a^2\cos^2{\theta}}\right)}\sin{\theta}\,d\theta\,d\phi\\ &=\sqrt{(r_+^2+a^2\cos^2{\theta})(r_+^2+a^2)+a^2(2Mr_+-Q^2)(1-\cos^2{\theta})}\sin{\theta}\,d\theta\,d\phi\\ &=\sqrt{(r_+^4+a^2r_+^2+2Ma^2r_+-a^2Q^2)+a^2(r_+^2-2Mr_++a^2+Q^2)\cos^2{\theta}}\sin{\theta}\,d\theta\,d\phi. \end{align}$$

Günstigerweise ist der Koeffizient von$\cos^2{\theta}$in der Quadratwurzel verschwindet nach der Definition von$r_+$,

$$r_+^2-2Mr_++a^2+Q^2=0,$$

und unter Verwendung dieser Gleichung zum Eliminieren$M$Im ersten Term der Quadratwurzel wird das, was unter der Quadratwurzel übrig bleibt, zum perfekten Quadrat$(r_+^2+a^2)^2$. Damit vereinfacht sich das Flächenelement auf das trivial zu Integrierende

$$dA_+=(r_+^2+a^2)\sin{\theta}\,d\theta\,d\phi.$$

Integrieren vorbei$\theta$aus$0$Zu$\pi$und über$\phi$aus$0$Zu$2\pi$gibt die Fläche des Ereignishorizonts an,

$$A_+=4\pi(r_+^2+a^2)=4\pi\left(2M^2-Q^2+2M\sqrt{M^2-a^2-Q^2}\right).$$