Beruht „Gleichheit“ letztlich auf empirischer Beobachtung?

Das YouTube-Poster scheint logische und mathematische Gleichheit zu verschmelzen. Mathematische Gleichheit ist der Zustand des quantitativen Gleichseins , was seiner Ansicht nach empirische Beobachtung erfordert, um es zu beweisen. Auf die Werte von Aussagen wird logische Gleichheit angewendet. Für Ihre Zwecke ist das Leibnizsche Gesetz relevant, da Sie anscheinend mehr an Identität interessiert sind:

Die Identität der Ununterscheidbarkeit ist ein ontologisches Prinzip, das besagt, dass zwei oder mehr Objekte oder Entitäten identisch sind (ein und dieselbe Entität sind), wenn sie alle ihre Eigenschaften gemeinsam haben. Das heißt, die Entitäten x und y sind identisch, wenn ein Prädikat, das von x besessen wird, auch von y besessen wird und umgekehrt.

Oder formaler:

Gegeben jedes x und y, x = y wenn, gegeben jedes Prädikat P, P(x) genau dann, wenn P(y).

Was Sie definiert haben, ist in der formalen Logik als Tautologie bekannt , was eine Aussage ist, die nur durch Definition wahr wird oder weil Sie sie für wahr erklären. Im Wesentlichen haben Sie X als X definiert.

Tautologien können ihrer Natur nach als absolut wahr angesehen werden. Sie behaupten eine universelle, unbedingte Wahrheit. Die Aussage X = Xist also sicherlich und absolut wahr, weil Sie sie so definiert haben.

Allerdings stellt sich hier schnell das Problem, dass tautologische Aussagen keinerlei nützliche Informationen vermitteln. Sie sagen uns überhaupt nichts über die Natur der beteiligten Objekte. Ich kann keine Schlussfolgerungen ziehen oder irgendwelche Überlegungen zu Objekten des Typs X anstellen  , weil das Einzige, was ich wirklich über sie weiß, ist, dass sie sie selbst sind.

Deshalb sind Tautologien in der Philosophie im Grunde wertlos. Ich vergleiche sie gerne mit einer metaphysischen „Division durch Null“, ähnlich wie der bekannte mathematische „Beweis“, dass 1 = 0:

   x = 0  
∴ x(x - 1) = 0  
∴ x - 1 = 0
∴ x = 1
∴ 1 = 0

So wie man es bei der Division durch Null nicht mehr mit Zahlen zu tun hat, hat man es bei Tautologien nicht mehr mit logischen Aussagen zu tun. Sie haben überhaupt nichts bewiesen, und tatsächlich wird Ihr gesamtes Argument (wenn Sie in diesem Szenario ein tatsächliches Argument aus der Behauptung ableiten) fadenscheinig.

Während Sie also im Wesentlichen „bewiesen“ haben, dass die Aussage „von Natur aus wahr“ ist, indem Sie sie als solche definieren, haben Sie nicht wirklich eine logische Behauptung aufgestellt. Es muss nicht auf irgendwelchen empirischen Beobachtungen beruhen, weil es lediglich auf Definitionen gegründet ist. Aber Sie haben keine Lücke im System der Logik gefunden, genauso wenig wie ein Beweis, der die Division einer Zahl durch Null beinhaltet, eine Lücke im System der Mathematik gefunden hat.

Ich würde dem Argument der Person, mit der Sie streiten, nicht zustimmen, obwohl ich nicht glaube, dass ich beweisen könnte, dass X = X immer wahr ist; Ich akzeptiere das als Axiom. Ich würde jedoch jeden dazu auffordern, ein Gegenbeispiel zu liefern. Es gibt sicherlich keine empirische Beobachtung eines Dinges, das sich selbst nicht gleich ist.

Mein Gegenargument zu der Person, mit der Sie argumentieren, ist, dass Konzepte nicht empirisch beobachtbar sind, aber Quantität haben können. Daher ist eine empirische Beobachtung nicht notwendig, um über Quantität zu schlussfolgern. Da dies eines der Prinzipien seiner Argumentation ist, schlägt seine Argumentation fehl.

Es gibt mehrere Dinge, die man als Antwort sagen könnte.

1.) Man könnte argumentieren, dass Ihre Gleichung eigentlich keine Gleichung ist, weil es nicht um Zahlen geht, sondern um eine Identifikation . In diesem Fall scheint die Position des Youtube-Typen vernünftig zu sein.

2.) Nehmen wir an, Identifikation zählt als Gleichung. "Die einzige Möglichkeit, die Idee x = y zu abstrahieren, besteht darin, dass Sie sich vorstellen, dass sie Zahlen darstellen": Ihr Youtube-Freund scheint die Tatsache zu ignorieren, dass wir uns mentale Bilder von physischen Objekten oder Konzepten als identisch vorstellen können. Mir fallen zwei Bilder meiner Mutter in unterschiedlichem Alter ein und ich entscheide, dass sie dieselbe Person darstellen. Ich brauche keine Nummern, um beide Personen zu identifizieren.

3.) Wenn wir davon ausgehen, dass es sich tatsächlich um eine Gleichung handelt, könnte argumentiert werden, dass alles, was Sie zum Beweis brauchen, das Widerspruchsprinzip von Artistotle ist : Eine Aussage kann nicht gleichzeitig wahr und falsch sein . Es ist offensichtlich, dass dies x!=xgegen dieses Gesetz verstößt und daher unmöglich ist; daher, x=x. Noch einfacher wäre es mit dem Gesetz der Identität : Ein Ding ist dasselbe wie es selbst .

Beruhen diese Gesetze auf Beobachtung? Man könnte argumentieren, dass die Menschheit diese Denkweisen entwickelt hat (denn das sind sie), inspiriert von Beobachtungen, dass der Mond nicht gleichzeitig scheinen und nicht scheinen kann und dass es nicht der Mond sein kann.

Aber dieser Zusammenhang erscheint trivial, da wir diese Gesetze gleichermaßen auf abstrakte Dinge anwenden. Wenn wir sie auf empirischer Beobachtung beruhend nennen sollten, sollten wir auch alle Aspekte des menschlichen Denkens berücksichtigen, die auf empirischer Beobachtung beruhen; einige Empiriker (Locke?) mögen diese Position vertreten. Kant würde sagen, dass diese Gesetze a priori Teile des menschlichen Denkens sind. Das erscheint sinnvoll.

Kategorientheoretiker spielen gern mit Gleichheitsbegriffen. Dieses Stück ist interessant und aufschlussreich.

Kurz gesagt, ob zwei Dinge gleich sind, hängt ziemlich stark davon ab, für welche Zwecke Sie sich interessieren.

Wo x = x in der physikalischen Welt, wie bei einer Zuordnung einer singulären Eigenschaft, die nicht mehr in weitere Eigenschaften unterteilt werden kann, dann kann der Begriff der Gleichheit wirklich behauptet werden.

Aber solange der Beobachter (in der Zeit) den Umfang der Eigenschaften ändern kann, aus denen ein bestimmtes Objekt besteht, kann es nicht mehr mit dem anderen gleichgesetzt werden, weil das Potenzial dafür besteht, dass diese Eigenschaften nicht mehr gleich sind, und damit jedes Objekt müssen noch einmal beachtet werden, bevor die wahre Gleichheit erneut bestätigt werden kann.

Dies ist eigentlich nicht wahr. Ein Argument dagegen ist als Russel's Paradox bekannt . Aus Wikipedia

Nach der naiven Mengenlehre ist jede definierbare Menge eine Menge. Sei R die Menge aller Mengen, die nicht Mitglieder ihrer selbst sind. Wenn R sich als Mitglied von sich selbst qualifiziert, würde es seiner eigenen Definition als Menge widersprechen, die alle Mengen enthält, die nicht Mitglieder von sich selbst sind. Wenn andererseits eine solche Menge kein Mitglied von sich selbst ist, würde sie sich nach derselben Definition als Mitglied von sich selbst qualifizieren. Dieser Widerspruch ist Russells Paradoxon.

In Bezug auf die Verschmelzung von logischer und mathematischer Gleichheit: Wenn man ein Objekt vernünftig von einem anderen unterscheiden kann, wäre dieses Objekt natürlich gleich, wenn die Eigenschaften der Objekte identisch sind.

Da die Zeit jedoch eine Funktion der Unterscheidbarkeit ist, wird behauptet, dass identische Eigenschaften von Objekten in Raum und Zeit zu keinem Zeitpunkt existieren können.

Unabhängig davon können alle Gleichheiten für praktische Zwecke als mathematisch rationalisiert werden, als Schirm über logischen Gleichheiten, abhängig von dem akzeptierten Grad an gewünschter Genauigkeit.

Ihr (X = X) ist wahr, aber in Wirklichkeit nicht für immer wahr .

Nur um festzuhalten, es gibt empirische Ansätze zum mathematischen Realismus, die Mengentheorie verwenden, die versuchen, Sätze „natürlicher Art“ mit Gehirnzuständen oder „Zellverbänden“ zu korrelieren, so wie wahrgenommene Objekte auch bestimmte neurale „Zellverbände“ erzeugen. Es wird angenommen, dass sich diese physisch entwickeln, wenn das Gehirn in der Kindheit „Objektpermanenz“ und „Identität“ entwickelt.

Vermutlich würden diese "Zellverbände" auf die Mächtigkeit von Mengen und damit auf eine primale Äquivalenz (=) zutreffen. Aber Äquivalenz ist nicht Identität. Offensichtlich ist 1 + 1 nicht identisch mit 2, und X = X hat zwei X in zwei nicht identischen Spiegelpositionen zur Folge . Das = markiert eine potenziell gebrochene Symmetrie.

Das Gleichheitszeichen (=) wurde von dem walisischen Mathematiker Robert Recorde aus dem 16. Jahrhundert geschaffen. Seine Begründung war, dass zwei parallele Linien (=) idealerweise so ähnlich seien, wie es zwei nicht identische Dinge sein könnten. Damit steht das Gleichheitszeichen in verlorener historischer Beziehung zu Euklids fünftem Postulat. Und dieses Postulat erweist sich als berühmt paradox, weil es eine negative Unendlichkeit einführt . Wie können wir davon ausgehen, dass sich die beiden Linien „niemals“ treffen? Was hält sie auseinander?

Wie können wir ebenso die unendliche Nichtidentität (=) von linkem X und rechtem X erkennen? Wir können sie sehen und sie vielleicht in überlappende „Zellanordnungen“ kategorisieren. Aber ich sehe nicht, dass dies die Idealisierung der negativen „Unendlichkeit“ ihrer „Gleichheit“ erklärt. Hier ist das Symbol (=) ein gutes Beispiel für das, was Hegel die „Identität von Identität und Differenz“ nennt.

Entschuldigung, das ist ein bisschen gedankliches Herumirren, inspiriert von dieser sehr interessanten Frage. Vielleicht ist da irgendwo eine Teilantwort drin. Grundsätzlich stimme ich zu, dass die rein empirische Korrelation nicht Bestand haben kann.