Konnektoren sind bereits in der natürlichen Sprache vorhanden: Sie sind Teil der Syntax und ihre Verwendung wird durch die Grammatik geregelt .

Folglich sind logische Konnektive nicht willkürlich (oder konventionell), sondern ein vereinfachtes Modell, das auf der Art und Weise basiert, wie grammatikalische Konnektive funktionieren.

Die wahrheitsfunktionale Definition einiger von ihnen: Konjunktion, Verneinung, kommt der „natürlichen“ Art der Verwendung ihrer grammatikalischen Entsprechungen näher, während andere: Bedingung, Disjunktion, einige „unnatürliche“ Aspekte aufweisen.

Die Debatte über die Angemessenheit der wahrheitsfunktionalen Version von "wenn ..., dann ..." begann mit der formalen Logik selbst: siehe Stoische Logik und ist bis heute offen; siehe Bedingungen .

Die Antwort lautet meiner Meinung nach: Logische Verknüpfungen sind abstrakt, aber nicht konventionell.

Lassen Sie mich die Geschichte der logischen Verknüpfungen rekonstruieren.

(1) Zunächst gibt es Konnektoren in natürlichen Sprachen: und, oder, wenn...dann usw.

(2) Zweitens bemerkten Logiker, dass die Gültigkeit einiger Schlüsse von der Bedeutung dieser Konnektoren abhing. Aber sie bemerkten auch, dass diese Bedeutung nicht präzise genug war. Sie wollten sie also WAHRHEITSFUNKTIONAL machen, um den Wert des resultierenden Satzes allein auf der Grundlage der Wahrheitswerte der durch diese Verknüpfungen verbundenen atomaren Sätze BERECHNEN zu können.

(3) In diesem Moment verlässt die Logik vollständig den Boden der natürlichen Sprache. „Verknüpfungen“ werden zu FUNKTIONEN, wie mathematische Funktionen, so dass f(x)= x² oder f(x)=x; usw. Eine Verknüpfung wird nun als Wahrheitsfunktion definiert, dh eine Funktion, die Wahrheitswerte (oder Paare von Wahrheitswerten) als INPUT nimmt und Wahrheitswerte (Wahr oder Falsch) als OUTPUT zurückgibt.

Beispiele:

Eine der möglichen "Verbindungen" ist die folgende Funktion: Wenn der Eingang den Wert True hat, ist der Ausgang der Wert False, wenn der Eingang False ist, ist der Ausgang True.

T -------------> F

F---------------------> T

Eine andere mögliche Verknüpfung ist die folgende Funktion: Wenn die Eingabe das Paar ist (True, True), ist die Ausgabe True, wenn die Eingabe nicht ist (True, True), ist die Ausgabe der Wert False. Es "funktioniert" wie folgt:

(T, T) -------------> T

(T, F)--------------> F

(F, T) -------------> F

(F, F) -------------> F

Diese Verknüpfungen oder Funktionen sind keineswegs willkürlich. Es kann bewiesen werden, dass es nur 2 mögliche unäre Konnektoren (ein Eingang, ein Ausgang) und nur 16 mögliche binäre Konnektoren gibt (vier Paare als Eingang und zwei mögliche Werte als Ausgang). Diese Funktionen wurden nicht von Logikern geschaffen oder erfunden, sie wurden einfach entdeckt.

(4) Danach stellt sich das Problem, diesen Funktionen (dh Konnektoren) Namen zu geben. Und hier muss das Problem richtig verstanden werden: Wir wollen, dass gewöhnliche Sprachnamen der mathematischen Bedeutung der Konnektoren so nahe wie möglich kommen, nicht umgekehrt. So weisen wir zum Beispiel dem binären Bindewort den Namen AND zu, das True als Ausgabe liefert, wenn und nur wenn die Eingabe das Paar (True , True) ist, obwohl dies in vielen Fällen die gewöhnliche Bedeutung des Wortes „und“ nicht ist wahrheitsfunktional. Wir geben dem Bindewort, das die ganze Zeit Wahr als Ausgabe liefert, den Namen „ODER“, außer wenn die Eingabe das Paar ist: (Falsch, Falsch) – obwohl das Wort „oder“ in der gewöhnlichen Sprache oft die beiden verbundenen Sätze ausschließt gleichzeitig wahr sein.

(5) Was konventionell ist, sind also überhaupt nicht die Konnektoren selbst, sondern die Namen, die wir ihnen geben: Wir hätten " if ...then" nicht den Konnektor " --> " nennen können, aber wir haben uns dafür entschieden, wenn zu nennen " if...then" ( Implikation) weil " if ...then" der gewöhnliche Sprachausdruck ist, der " ---> " am nächsten kommt.

(6) Und die Entscheidungen, die Logiker in Bezug auf Namen getroffen haben (nicht in Bezug auf Bindewörter selbst), sind nicht schlecht. Zum Beispiel schaffen sie es mit ihrem abstrakten " --> ", einen Teil der gewöhnlichen Bedeutung der Implikation zu erfassen, die normalerweise eine Notwendigkeit beinhaltet. Sie sagen also, dass "John ist ein Pianist IMPLIZIERTE, dass John ein Musiker ist" bedeutet nicht nur, dass "John ein Pianist ist --> John ist ein Musiker", sondern dass "notwendigerweise (John ist ein Pianist --> John ist ein Musiker) ".

Da " --> " so nützlich ist, um die Bedeutung von " impliziert" in der gewöhnlichen Sprache zu erfassen (natürlich unter Hinzufügung des ergänzenden Begriffs der Notwendigkeit zu " --> "), war es keine schlechte Idee, dieses Bindeglied " wenn" zu nennen ...dann" . Auch wenn es natürlich seltsam klingen kann, das zu hören, wenn man mit Logik beginnt

                  " If 2+2=4 then The Nazis have  lost WWII" 

ist ein wahrer Satz, einfach weil sowohl der erste als auch der zweite Satz wahr sind. Man muss sich nur merken, dass " -->" (materielle Implikation) nur ein Baustein ist, um das Konzept der logischen Implikation zu definieren, und dass "Wenn 2 + 2 = 4, dann hat Deutschland den 2. Weltkrieg verloren" absolut nicht der Fall ist bedeutet, dass „Die Nazis haben den Zweiten Weltkrieg verloren“ eine logische Folge von „2+2=4“ ist. Wenn Logiker sagen: „Wenn 2+2=4, dann haben die Nazis den Zweiten Weltkrieg verloren“, meinen sie einfach: „Es ist nicht der Fall, dass (2+2=4 und dass die Nazis den Zweiten Weltkrieg NICHT verloren haben)“. Und das ist wahr, denn damit die Konjunktion wahr ist, müsste die zweite Aussage (" Die Nazis haben den Zweiten Weltkrieg NICHT verloren") falsch sein, und wie jeder weiß, ist sie es nicht ( ... zum Glück ).

Die weniger natürlichen Fälle in Ihren Beispielen sind erlaubt, ebenso wie jeder Fall mit irgendwelchen Sätzen, solange sie einen Wahrheitswert haben.

Dies ist ein Feature, kein Fehler: Die Logik soll völlig allgemein sein. Allerdings werden in der Regel pragmatische (im Gegensatz zu semantischen) Überlegungen unsere Urteile darüber leiten, was ein Sprecher sagen will, wenn er einen Satz mit Konjunktionen oder Implikationen äußert.

Generell ist die Bedeutung von Sätzen und Wörtern eine Frage der Syntax, Semantik und Pragmatik. Die Syntax befasst sich mit formalen Regeln zur Satzbildung und -bearbeitung und umfasst die Grammatikregeln und die in der Logik vorkommenden Deduktionsregeln. Semantik befasst sich mit konventioneller Bedeutung und Interpretation. Die Pragmatik befasst sich mit den chaotischeren Prinzipien und Richtlinien, die bestimmen, was ein Sprecher zu erreichen versucht, wenn er eine Äußerung in einem bestimmten Kontext, bei einer bestimmten Gelegenheit und vor einem bestimmten Publikum macht. Mathematiker mögen formale Beweise, die vom Kontext unabhängig sind, daher legt Mathematik großen Wert auf Syntax und vermeidet Pragmatik. Die gewöhnliche Sprache hingegen ist sehr pragmatisch: Sie ist ein wichtiges Merkmal, um zu verstehen, was die Menschen meinen. Deswegen,

Hier sind einige Beispiele zur Veranschaulichung. Ihre Mathematikbücher definieren „P und Q“ einfach als P ist wahr und Q ist wahr. Aber die Bedeutung der Äußerung „Iss diesen Apfel und du stirbst“ drückt deutlich mehr aus: Das Essen dieses Apfels wird zu deinem Tod führen, vielleicht weil er giftig ist oder weil der Apfel mir gehört und ich dich töten werde wenn du es isst. „Alice ist nach Hause gefahren und hat ein Bier getrunken“ hat eine andere Bedeutung als „Alice hat ein Bier getrunken und ist nach Hause gefahren“. In beiden Fällen liegt der Unterschied in der Pragmatik der Sprache. Im ersten Beispiel wäre "du wirst sterben" irrelevant , es sei denn, der Sprecher möchte, dass das Publikum versteht, dass dies die Folge des Verzehrs des Apfels ist. Im zweiten Beispiel wäre es ungeordnetdes Sprechers zu sagen, was Alice in der falschen Reihenfolge gemacht hat. Viele dieser pragmatischen Merkmale können durch Paul Grices Theorie des kooperativen Prinzips und seine Verwendung in Implikaturen erklärt werden. https://plato.stanford.edu/entries/implicature/

Im Fall von Konditionalen ist die Sache noch komplizierter, weil Konditionale in gewöhnlichen Sprachen ziemlich unordentlich sind und es schwierig ist, die Grenze zwischen Semantik und Pragmatik zu ziehen. Die Bedingung in Ihrem mathematischen Text, dh dass "wenn P, dann Q" falsch ist, wenn P wahr und Q falsch ist, und sonst wahr, geht auf den stoischen Philosophen Philo zurück und wird normalerweise als materielle Implikation bezeichnet, ist es aber nicht nur bedingt, noch ist es typisch für den gewöhnlichen englischen Sprachgebrauch, obwohl es definitiv in der Mathematik nützlich ist. Normalerweise äußern wir im Englischen einen Konditional, um eine kausale oder offensichtliche Beziehung, eine Einschränkung oder eine Vorbedingung oder eine Reihe anderer Dinge auszudrücken.

Logische Konnektive sind also nicht willkürlich und haben oft konventionelle Bedeutungen, die von den Bedeutungen der Sätze abstrahieren, die sie verbinden, aber diese Bedeutungen erschöpfen ihre Verwendung im gewöhnlichen Englisch nicht. Die formale Logik ist ein Versuch, die Regeln zu formulieren, die die konventionelle Komponente der sprachlichen Bedeutung beschreiben, aber sie nähert sich nur den Bedeutungen innerhalb natürlicher Sprachen an.

Die Bedeutung zweier Aussagen beeinflusst manchmal, welche logischen Verbindungen hergestellt werden können.

Prämissen können willkürlich sein, aber manchmal sind die Prämissen vom Wahrheitswert der anderen abhängig. Das heißt, einige Prämissen sind bereits mit einer logischen Verbindung verbunden. Beispielsweise können Sie Q als Negation von P definieren, was eine exklusive Disjunktion impliziert. Oder Sie könnten P als immer falsch und Q als immer wahr definieren, was eine umgekehrte Nichtimplikation impliziert.

Jede der 16 logischen Verbindungen schließt sich gegenseitig mit einigen anderen Verbindungen aus - Sie können nicht behaupten, dass zwei Prämissen gleichzeitig immer wahr und immer falsch sind. Sie können auch nicht sowohl eine Konjunktion als auch einen Widerspruch behaupten. Sie können auch nicht gleichzeitig materielle Implikation und materielle Nichtimplikation beanspruchen. Wenn die Prämissen feste Wahrheitswerte haben, muss nur eine gültige logische Verbindung hergestellt werden. Und so weiter.

Ich werde unten Beispiele geben, die auf dem ursprünglichen Beitrag basieren.

Eine gültige Konjunktion

In Bezug auf das zweite Beispiel für die Konjunktion:

P stelle die Prämisse "Dieses Auto ist grün" dar.

Lassen Sie Q die Prämisse "Die Milchstraße ist 100.000 Lichtjahre breit" darstellen.

Daher bedeutet P∧Q „Dieses Auto ist grün und die Milchstraße ist 100.000 Lichtjahre breit“. Ist das eine gültige logische Aussage? Ja: Wenn beide Sätze (Prämissen) wahr sind, dann ist die Verbindung dieser beiden per Definition wahr. Hier gibt es keine versteckte Prämisse, die besagt, dass die Farbe des Autos mit der Breite der Galaxie zusammenhängt.

Dies kann wie folgt in einem Venn-Diagramm dargestellt werden:

Sie können diese Konjunktion noch verfälschen, indem Sie den Prämissen widersprechen – meist mit Feststellungen wie „dieses Auto ist gelb“. Es gibt einen weiteren Fall, in dem sich die Prämissen widersprechen, auf den ich weiter unten eingehen werde.

Das Originalplakat schien an der willkürlichen Wahl der Räumlichkeiten hängen zu bleiben. Wie von Schiphol angemerkt , wirkt sich diese Willkür nicht unbedingt auf die Gültigkeit der Konjunktion aus. Aber die Willkür kann die Nützlichkeit der Schlussfolgerung unterminieren. In der Tat kann man eine unendliche Anzahl logischer Verbindungen zwischen gültigen, willkürlichen Prämissen herstellen ... aber diese Schlussfolgerungen implizieren nicht unbedingt eine sinnvolle Korrelation.

Dieses Auto ist grün und die Milchstraße ist 100.000 Lichtjahre breit. Na und?

Eine ungültige Konjunktion

Gemäß der obigen Definition kann ich jedes beliebige Paar von Sätzen betrachten und es durch die „Konjunktion“ verbinden, da es keine Einschränkung für die Bedeutung von P und Q auferlegt.

Diese Annahme gilt nicht, wenn sich die Prämissen gegenseitig ausschließen. Betrachten Sie das folgende Gegenbeispiel:

P stelle die Prämisse "Dieses Auto ist grün" dar.

Q soll die Prämisse "Dieses Auto ist nicht grün" darstellen. Q kann auch als ¬P oder "nicht P" dargestellt werden.

Dies impliziert eine logische Verbindung: exklusive Disjunktion. Der Wahrheitswert von P unterscheidet sich immer vom Wahrheitswert von Q. Mit anderen Worten, es gibt eine dritte verborgene Prämisse: „Entweder ist es ausschließlich wahr, dass dieses Auto grün ist, oder es ist ausschließlich wahr, dass dieses Auto nicht grün ist grün." Das mag langatmig und wortreich klingen, ist aber weniger zweideutig als umgangssprachliches Englisch.

Jetzt können Sie die Konjunktion P∧Q nicht machen. Hier löst sich P∧Q auf "Dieses Auto ist grün und es ist falsch, dass dieses Auto grün ist", was ein eklatanter Widerspruch zu der obigen exklusiven Disjunktion ist. Ein Venn-Diagramm hat keinen überlappenden Raum, und die Konjunktion ist auf der Vorderseite ungültig.

Materielle Implikation

Betrachten Sie als Nächstes das Beispiel Box und Regen:

P stelle die Prämisse "Diese Kiste ist groß" dar.

Q soll die Prämisse "Morgen wird es regnen" darstellen.

Ich behaupte, P→Q "Wenn diese Kiste groß ist, dann wird es morgen regnen". Das verwirrt viele Menschen, aber materielle Auswirkungen implizieren keine Kausalität. In der Logik bedeuten die Worte "Wenn ... dann ..." nicht, dass es eine kausale Beziehung zwischen den beiden gibt. Es bedeutet nur, wenn das eine wahr ist, ist das andere wahr.

Zum Beispiel kann die obige Aussage zutreffen, wenn ich in einer Wetterstation arbeite und wir jedes Mal, wenn wir Regen vorhersagen, eine große Kiste herausbringen. Die Box verursacht keinen Regen, impliziert aber logischerweise immer noch Regen.

Letztendlich müssen Sie auf Beobachtungen zurückgreifen, um zu entscheiden, ob diese materielle Implikation wahr ist oder nicht. Aber solange nicht davon ausgegangen wird, dass es morgen nie regnen wird oder dass "diese Kiste" nichts mit dem Wetter von morgen zu tun hat, ist die Aussage auf den ersten Blick gültig. Der Kontext ist wichtig.