Bestimmung der Hodge-Zahlen einiger Orbifold-Beispiele

Ich werde auch einen kleinen Haftungsausschluss hinzufügen, ich bin ein Mathematiker mit wenig bis gar keinem physikalischen Hintergrund. Wenn also einer der folgenden Punkte erweitert werden muss, können Sie ihn gerne fragen! (Obwohl ich erwähnen werde, dass ich mich mit diesem Zeug viel wohler gefühlt habe, als ich zum ersten Mal die induzierten Aktionen berechnet habe, die ich unten erwähnen werde, und mir wirklich die Hände schmutzig gemacht habe, um alles zu überprüfen.)

Um zu sehen, dass es nur einen gibt$(1,1)$-Form, die von jedem Fixpunkt im ersten Beispiel kommt, müssen Sie sich ein wenig damit befassen, wie das Aufblasen tatsächlich etwas zur Kohomologie hinzufügt. Dazu gibt es zwei Schritte.

(1) Was ist die Explosion?

(2) Wie fügen wir Klassen in Kohomologie hinzu?

Beachten Sie, dass wir für (1) den Quotienten von nehmen$T^4$von$\mathbb{Z}_2$und das Problem ist, dass dies 16 Singularitäten erzeugt. Sie können diese Singularitäten tatsächlich aufblasen, aber es gibt keine Garantie, dass sie dadurch tatsächlich aufgelöst werden, so dass Sie nach einer einfachen Vergrößerung möglicherweise noch kein glattes Objekt haben (dh eine Auflösung!) und Sie möglicherweise weiter aufblasen müssen, um die Singularitäten tatsächlich aufzulösen . (Deshalb hat Beispiel 2 eine exotischere Auflösung.)

Um zu sehen, dass die Auflösung nach dem ersten Blowup vollständig ist, muss man sich irgendwie die Aktion merken$\mathbb{Z}_2$, induziert auf der$\mathbb{P}^1$s über jedem Fixpunkt liegt, ist trivial (der vergrößerte Quotient ist also glatt). Ein einfacher Weg dafür ist, zu notieren, dass die Involution wirkt als$-1$auf die Differentiale, (Kotangensraum) so wirkt wie$-1$auf dem Tangentialraum an jedem singulären Punkt, und die Vergrößerung ersetzt jeden Punkt durch die Projektion des normalen Bündels an diesem Punkt, aber die Projektion der Aktion durch$-1$ist trivial und die$\mathbb{P}^1$s sind in der Tat durch die Aktion behoben$\mathbb{Z}_2$.

Für Problem 2 betrachten wir dieselbe Situation, außer dass die Aktion dies nicht ist$-1$, und projektiviert nicht auf etwas Triviales. Daher, nach der ersten Explosion, die$\mathbb{P}^1$s sind nicht fixiert und Sie müssen die Fixpunkte (es gibt zwei) auf jedem sprengen$\mathbb{P}^1$über einem Fixpunkt liegen. Wenn Sie die Aktion auf den tragen$\mathbb{P}^1$und noch einmal auf die Explosion der Fixpunkte auf der$\mathbb{P}^1$Sie sehen, dass die Aktion beim zweiten Aufblasen trivial ist, also haben Sie 2 behoben$\mathbb{P}^1$s über jedem ursprünglichen Fixpunkt liegen.

Jetzt kommt der Spaß mit Teil (2). Warum fügt dies hinzu$(1,1)$-Formulare und sonst nichts? Die Originalquelle hierfür ist vielleicht Grothendiecks SGA V, in der (wenn ich mich recht erinnere) Abschnitt VII weitgehend dem Beweis des folgenden Ergebnisses gewidmet ist (das ich für den Fall mit Dimensionsbeispielen stark vereinfacht habe):

Lassen$X$sei eine zweidimensionale glatte projektive irreduzible Varietät mit$Y$eine endliche Menge von Punkten auf$X$. Lassen$\widetilde{X}$sei die Explosion von$X$entlang$Y$. Dann

$$H^k\left(\widetilde{X}\right) \simeq H^{k-2}(Y) \oplus H^k(X).$$

Ich werde die vollständige Version unten präsentieren, aber es ist viel einfacher für die Zweifachen und folgt einfach aus der topologischen Poincare-Dualität, also lasst uns zuerst die Beispiele beenden! Mit der Dualität müssen wir nur trainieren

$$H^0\left(\widetilde{X}\right) \simeq H^{-2}(Y) \oplus H^0(X),$$ $$H^1\left(\widetilde{X}\right) \simeq H^{-1}(Y) \oplus H^1(X),$$ Und $$H^2\left(\widetilde{X}\right) \simeq H^{0}(Y) \oplus H^2(X).$$

Jetzt$H^{-2}(Y) = H^{-1}(Y) = 0$, also ist die einzige Änderung, die die Vergrößerung in der Kohomologie hat, eingeschaltet$H^2$. (Beachten Sie das gemäß Ihrer Frage$H^{2,2}\left(\widetilde{X}\right) \simeq H^{0,0}\left(\widetilde{X}\right)$das zeigt also, dass es keine gibt$(2,2)$-Klassen, die aus der Explosion stammen.)

Für$H^0(Y)$, beachten Sie, dass jeder Punkt a hat$(0,0)$-Klasse, also trägt jeder Punkt 1 Klasse bei$H^{1,1}\left(\widetilde{X}\right)$wie gewünscht.

Denken Sie daran, dass wir in Beispiel zwei zwei Fixpunkte zum Aufblasen hatten, die über den ursprünglichen Fixpunkten liegen, also gibt es 18$(0,0)$-Klassen kommen in die endgültigen Zahlen.

Das vollständige SGA-Ergebnis lautet wie folgt:

Lassen$X$sei eine glatte projektive irreduzible Dimensionsvarietät$n$, und lass$Y_1,\ldots,Y_r \subset X$seien gegenseitig disjunkt geschlossene irreduzible Unterarten von$X$der Kodimension$d\geq 2$. Lassen$Y$sei die Vereinigung der$Y_i$und lass$\widetilde{X}\to X$sei die Explosion von$X$entlang$Y$. Dann

$$H^k\left(\widetilde{X}\right) \simeq H^{k-2}(Y) \oplus \cdots \oplus H^{k-2(d-2)}(Y)\xi^{d-2} \oplus H^k(X),$$ Wo $\xi$stellt das Linienbündel dar $\mathcal{O}(1)$. (So ​​können Sie Chern-Klassen definieren, indem Sie die $\xi^i$als Grundlage für die Kohomologie des Blowups - oder jedes Vektorbündels im Allgemeinen -, wenn Sie diese schon einmal gesehen haben.)

Also oben, mit den schönen zweifachen Beispielen, die$\xi$Terme waren nicht notwendig, da die Exponenten nicht groß genug sind.

Beachten Sie jedoch, dass wie jeder$n$-faches Produkt von elliptischen Kurven (oder Kurven im Allgemeinen) hat nur Fixpunkte im singulären Ort, also bekommst du nur$(1,1)$-Klassen in der Auflösung. Sie müssen sich exotischere Konstruktionen ansehen, wie z$E\times S/\mathbb{Z}_2$Wo$E$ist eine elliptische Kurve und$S$ist eine Fläche, auf der sich der feste Ort befindet$S$kann jetzt Kurven haben, so finden Sie$(2,1)$-Klassen in der Auflösung, und immer kompliziertere feste Loci (können) höhere Klassen in der Kohomologie ergeben. (Wegen Ihrer Tags erwähne ich die$E\times S$Dabei handelt es sich um die klassische Borcea-Voisin-Konstruktion$S$ist eine K3-Fläche und die Involutionen sind nicht-symplektisch.)

Hinzugefügt : Schauen wir uns die zweite Explosion explizit an. Wir kennen die Aktion von$\mathbb{Z}_3$auf den beiden Tori bewirkt eine Aktion auf dem jeweiligen$1$-Formen der Multiplikation mit$\omega$Und$\omega^{-1}$. Um herauszufinden, wie sich dies auf die Explosion auswirkt, müssen wir sehen, was die Wirkung auf den Tangentialraum eines Fixpunkts ist. Beachten Sie, dass diese 1-Formen uns eine Basis für den Kotangentenraum jedes Torus geben, der isomorph zum Tangentenraum ist (der im Allgemeinen die Transponierungsaktion übernimmt, aber in unserem eindimensionalen Fall bedeutet dies, dass es dieselbe Aktion ist).$\mathbb{Z}_3$Aktion induziert Multiplikation mit$\omega$Und$\omega^{-1}$auf den jeweiligen Tangentialräumen.

Um die Dinge etwas einfacher zu machen, geben wir unserem (komplexen) Zweifachen einen Namen, let

$$X = T^2\times T^2/\mathbb{Z}_3.$$

Somit kann die Vergrößerung eines affinen Diagramms um einen festen Punkt (den wir als Ursprung festlegen können) geschrieben werden als

$$\widetilde{X} = \left\{\Big((x,y),[u:v]\Big) \mid xu = vy\right\} \subset \mathbb{A}^2\times \mathbb{P}^1,$$ Die $\mathbb{P}^1$das zu sein, was wir in der Explosion hinzugefügt haben. Um zu überprüfen, ob dies korrekt ist, beachten Sie, dass jeder Punkt $(x,y)\neq (0,0)$hat ein einzelnes Paar $[u:v]$die Bedingung erfüllen $xu=vy$, während der Ursprung $(x,y)=(0,0)$hat das ganze $\mathbb{P}^1$befriedigend $xu=vy$, also haben wir wirklich eine Mannigfaltigkeit, die eins zu eins mit übereinstimmt $X$, weg von der Singularität, und die $\mathbb{P}^1$liegt über dem Fixpunkt.

Nebenbei : Das$\mathbb{P}^1$entsteht, weil es sich um die (Projektivierung des) Normalbündels des singulären Punktes handelt$X$. Im Allgemeinen, wenn Sie a$d$-dimensionale Untermannigfaltigkeit auf an$n$-dimensionale Mannigfaltigkeit erhalten Sie a$\mathbb{P}^{d-1}$über dem Ort liegen, den Sie in die Luft sprengen. (Beispiel: Auf einer Fläche ergibt das Aufblasen einer Kurve a$\mathbb{P}^1$über jedem Punkt auf der Kurve liegen, wohingegen das Aufblähen eines Punktes a ergibt$\mathbb{P}^2$über dem Punkt liegen.) Die Idee des Aufblasens im Allgemeinen ist (locker), dass Sie alle Informationen hinzufügen möchten, die an der Singularität `zusammenhängen´. Wenn Sie noch nie viel über die Auflösung von Singularitäten gesehen haben, empfehle ich, die Wiki-Seite zu beschönigen, da sie eine schöne Beschreibung der Sprengung des projektiven Raums, des affinen Raums, der komplexen Mannigfaltigkeiten und (vielleicht am besten zu ignorieren) der Methode der schweren Schemata enthält.

Zurück an die Arbeit : Aber das bedeutet, wir kennen die Aktion auf der$\mathbb{P}^1$das liegt über dem Fixpunkt, da wir die Wirkung kennen$\mathbb{Z}_3$auf dem Tangentialraum des obigen Fixpunktes. Wir haben

$$[u:v] \mapsto [\omega u:\omega^{-1}v].$$ Diese Aktion ist nicht trivial, so die $\mathbb{P}^1$wird durch die Aktion nicht behoben, also haben wir einfach eine hinzugefügt $\mathbb{P}^1$aber die feste Ortskurve an dem Punkt nicht geändert, also hat der Quotient hier immer noch eine Singularität!

Die Dinge werden jedoch schlimmer, als dies$\mathbb{P}^1$hat eigentlich zwei Fixpunkte! Der Ursprung$[0:v]$und der Punkt im Unendlichen$[u:0]$. (Unsere Mannigfaltigkeit hat jetzt 18 Fixpunkte, aber sie sind alle isolierte Fixpunkte, also sind sie alle dieselbe Art von Singularität wie zuvor.)

Wir müssen jetzt versuchen, beides zu lösen. Wir können die Karte nehmen$v\neq 0$und beachten Sie, dass wir schreiben können

$$\widetilde{X} = \left\{\left((x,\frac{xu}{v}),\left[\frac{u}{v}:1\right]\right) \right\},$$ dh es gibt nur zwei Freiheitsgrade. Dies bedeutet, dass wir unser affines Diagramm (immer noch auf einem zweifachen) in den Koordinaten schreiben können $$Y := \{(x,z)\}$$ Wo $z = u/v$. Beachten Sie die Aktion von $\mathbb{Z}_3$An $z$Ist $$z = \frac{u}{v} \mapsto \frac{\omega u}{\omega^{-1} v} = \omega^{-1}\frac{u}{v} = \omega^{-1}z.$$

Wenn wir das in die Luft jagen, haben wir die gleiche Geschichte wie oben, und

$$\widetilde{Y} = \left\{\Big((x,z),[s:t]\Big) \mid xs = zt\right\}.$$ Diesmal haben wir die Wirkung auf den Tangentialraum um den Fixpunkt nicht $(0,0)$In $\widetilde{X}$, aber wir können es tatsächlich von oben entschlüsseln. Wir kennen die Aktion auf $[u:v]$in der ersten Explosion, so der Zustand $xu = vy$sagt uns $$xu \mapsto \omega xu$$ Und $$vy \mapsto \omega^{-1}vy,$$ also haben wir $(x,y)\mapsto (\omega^{-1}x,\omega y)$. Somit ist unsere Aktion auf der $\mathbb{A}^2$in der zweiten Explosion ist $(x,z)\mapsto (\omega^{-1} x,\omega^{-1} z)$. Daher der Zustand $xs = ut$in der zweiten Vergrößerung bedeutet die (projektive!) Wirkung von $\mathbb{Z}_3$darauf $\mathbb{P}^1$ist trivial, und unser fester Ort hat jetzt ein Ganzes $\mathbb{P}^1$statt nur einen Punkt.

Somit ist zumindest an dieser Stelle$\widetilde{Y}$ist glatt. Eine ähnliche Rechnung zeigt die$\mathbb{P}^1$über dem Punkt bei Unendlich liegen, sagen wir im Diagramm$u\neq 0$, steht auch fest. Damit ist jeder Fixpunkt auf$X$ist erst nach den beiden Blowups gelöst, wo wir insgesamt 18 Fixpunkte gelöst haben.