ζ(−1)=−112⇏∑i=1∞i=−112ζ(−1)=−112⇏∑i=1∞i=−112\zeta(-1)=\frac{-1}{12 }\nRightarrow \sum_\limits{i=1}^\infty i=\frac{-1}{12} wie rechtfertigen wir also seine Verwendung in der Stringtheorie? [Duplikat]

Ich habe math.stackexchange nach meinen Bedenken bezüglich der Berechtigung der Behauptung gefragt, dass 1 + 2 + 3 + . . . = − 1 12

Sobald du hast

  1. definiert ζ ( S ) = ∑ N = 1 ∞ 1 N S Wo | S | > 1
  2. definiert ζ ' ( S ) = . . . durch analytische Fortsetzung für alle S

dann kannst du nur reklamieren

  1. ζ ( S ) = ζ ' ( S ) Wo | S | > 1

Somit, ζ ( − 1 ) = − 1 12 ⇏ ∑ ich = 1 ∞ ich = − 1 12

Zu meiner Überraschung habe ich anscheinend den Ball nicht fallen lassen, die Community dort scheint meinem Einwand zuzustimmen.

Ich kenne die Stringtheorie nicht, aber ich höre 1 + 2 + 3 + . . . = − 1 12 ist ein Standardlemma.

Ist die Verwendung dieses "Ergebnisses" durch die Stringtheorie tatsächlich streng? Wenn ja, was haben die Leute von math.stackexchange vermisst?

NB Es ist wahr, wenn bestimmte Arten von divergenten "Summierungs" -Techniken verwendet werden, wie z. B. die Ramanujan-Summierung.
Ich empfehle die Lektüre der ersten 3 Kapitel der Stringtheorie von Polchinsk, insbesondere am Ende jedes Kapitels.
Sie können zeigen, dass WENN es einen Wert gibt, der für diese Summe verwendbar ist, dieser -1/12 sein muss. Dies geschieht durch Manipulation von Summen. Das rechtfertigt es natürlich nicht, aber es spricht dafür.

Antworten (1)

Es stimmt, dass ζ ( − 1 ) = − 1 / 12 . Aber das impliziert das nicht

1 + 2 + ⋯ = − 1 12

Zum einen ist das lhs undefiniert, wenn wir uns an die Standardbedeutung von halten + . Wenn Sie möchten, können Sie die Definition von erweitern + damit diese Gleichung wahr ist. Aber das ist höchst nicht trivial: Die Standardregeln der Addition brechen in diesem verallgemeinerten Begriff der Summierung zusammen.

In der QM (und insbesondere in der Stringtheorie) müssen wir manchmal mit unechten Summen rechnen, und sie stellen sich manchmal als divergierend heraus. Wir mögen Unendlichkeiten aus dem offensichtlichen Grund nicht: Eine Theorie mit divergierenden Objekten ist schlecht definiert.

Wir führen daher eine Regularisierung ein, die darauf hinausläuft, eine bestimmte (kontextabhängige) Deformation der Grundobjekte zu definieren, sodass alles endlich ist. Sie führen einige (rigorose) algebraische Manipulationen in Bezug auf endliche Objekte durch, berechnen etwas Messbares und entfernen am Ende den Regler (indem Sie die Deformation in die Identitätstransformation umwandeln). Manchmal wird dieser langwierige Prozess zusammengefasst als

1 + 2 + ⋯ → − 1 12
was nicht bedeutet, dass diese beiden Objekte übereinstimmen; es bedeutet, dass Sie Ihre naiv abweichende Summe durch die rhs ersetzen können , und in einigen Fällen ist das Ergebnis richtig.

Dies ist eindeutig nicht streng, wenn Sie nicht alle Details der Regularisierung und Renormalisierung durchgehen, aber es ist ein sehr solides mathematisches Verfahren, sobald Sie wissen, was es tatsächlich bedeutet. Ich bin mir sicher, dass Sie so lange skeptisch bleiben, bis Sie selbst etwas berechnet haben. Sie sollten den Leuten nicht glauben, wenn sie Ihnen sagen, "es kann gerechtfertigt sein"; das solltest du selbst prüfen. Aber dazu müssen Sie die Grundlagen lernen, zum Beispiel QFT.

Abweichende Summen und Integrale tauchen überall in QM auf, aber aus irgendeinem Grund ist die beliebte Wahl, die Verrücktheit von QM dem allgemeinen Publikum vorzustellen, so 1 + 2 + ⋯ = − 1 / 12 . Es gibt Tausende von komplizierteren, interessanteren und wichtigeren Beispielen, aber dieses hier sieht komisch aus, und deshalb finden Sie dieses hier überall im Internet.

ζ(−1)=−112⇏∑i=1∞i=−112ζ(−1)=−112⇏∑i=1∞i=−112\zeta(-1)=\frac{-1}{12 }\nRightarrow \sum_\limits{i=1}^\infty i=\frac{-1}{12} wie rechtfertigen wir also seine Verwendung in der Stringtheorie? [Duplikat]
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