Beta-Funktion im Standardmodell

Question

Beta-Funktion im Standardmodell

Shen

In Srednickis Lehrbuch „Quantenfeldtheorie“ fordert uns Aufgabe 89.4 auf, die führenden Terme in der Betafunktion für jede der drei Eichkopplungen des Standardmodells zu berechnen. Diese Manometerkupplungen sind $g_{3}$ , $g_{2}$ Und $g_{1}$ , Entsprechend der $SU(3)$ , $SU(2)$ , Und $U(1)$ Gauge-Gruppen bzw. Die Antwort wird in Abschnitt 97 desselben Buches gegeben:

Mit den üblichen Feldern des Standardmodells finden wir aus unseren Ergebnissen in den Abschnitten 66 und 73, dass die Einschleifen-Betafunktionen für die drei Spurweitenkopplungen gegeben sind durch
$\begin{matrix} (97.26) & μ \frac{D}{D μ} G_{ich} = \frac{B_{ich}}{16 π^{2}} G_{ich}^{3} + Ö (G_{ich}^{5}), \end{matrix}$ $\begin{equation} \mu \frac{d}{d\mu}g_{i} = \frac{b_{i}}{16\pi^{2}} g_{i}^{3} + O(g_{i}^{5}), \tag{97.26} \end{equation}$ mit $\begin{matrix} (97.27) & B_{3} = - 11 + \frac{4}{3} N, \end{matrix}$ $\begin{equation} b_{3} = -11 + \frac{4}{3}n, \tag{97.27} \end{equation}$ $\begin{matrix} (97.28) & B_{2} = - \frac{22}{3} + \frac{4}{3} N + \frac{1}{6}, \end{matrix}$ $\begin{equation} b_{2} = -\frac{22}{3} + \frac{4}{3}n + \frac{1}{6}, \tag{97.28} \end{equation}$ $\begin{matrix} (97.29) & B_{1} = \frac{20}{9} N + \frac{1}{6}, \end{matrix}$ $\begin{equation} b_{1} = \frac{20}{9}n + \frac{1}{6}, \tag{97.29} \end{equation}$ Wo $n = 3$ ist die Anzahl der Generationen; Die $+\frac{1}{6}$ Beitrag zu $b_{2}$ Und $b_{1}$ sind aus der $\varphi$ (Higgs)-Feld.

Meine Frage ist mit $b_{1}$ [Gl. (97.29)]. In Abschnitt 66 wird die Beta-Funktion für $e$ (Kopplungskonstante) in QED abgeleitet wird

\begin{matrix} (66.29) & β_{e} (e, λ) = \frac{1}{12 π^{2}} (Σ_{Ψ} Q_{Ψ}^{2} + \frac{1}{4} Σ_{φ} Q_{φ}^{2}) e^{3} + . . . \end{matrix}

$\begin{equation} \beta_{e}(e, \lambda) = \frac{1}{12\pi^{2}} (\Sigma_{\Psi} Q_{\Psi}^{2} + \frac{1}{4} \Sigma_{\varphi} Q_{\varphi}^{2}) e^{3} + ... \tag{66.29} \end{equation}$ Wo

Q_{Ψ} e

$Q_{\Psi}e$ sind die elektrischen Ladungen der Dirac-Felder

Ψ

$\Psi$ 'S.

Berechnen $b_{1}$ , Ich lege $Q_{\nu_{e}} = 0, Q_{e} = -1, Q_{\overline{e}} = +1, Q_{u} = \frac{2}{3}, Q_{d} = -\frac{1}{3}, Q_{\overline{u}} = - \frac{2}{3}, Q_{\overline{d}} = \frac{1}{3}$ , Und $Q_{\varphi_{2}} = \frac{1}{2}, Q_{\varphi_{4}} = \frac{1}{2}$ in Gl. (66.29). Das ist mir auch aufgefallen $g_{1} = e/\cos\theta_{w}$ , und fügte ein hinzu $n$ im ersten Term in der Klammer in Gl. (66.29) zur Berücksichtigung von drei Generationen. Allerdings bekam ich

μ \frac{D}{D μ} G_{1} = \frac{\cos^{2} θ_{w}}{16 π^{2}} (\frac{112}{27} N + \frac{1}{6}) G_{1}^{3} .

$\begin{equation} \mu\frac{d}{d\mu}g_{1} = \frac{\cos^{2}\theta_{w}}{16\pi^{2}}(\frac{112}{27}n + \frac{1}{6})g_{1}^{3}. \end{equation}$ Dies ist nicht das, was es nach Gl. (97.26) und (97.29). Was ist falsch?

Mir ist auch aufgefallen, dass Gl. (66.29) [was zu Gl. (97.29) bei Anwendung auf die Berechnung der Beta-Funktion im Standardmodell] wird von der Lagrange-Funktion in QED (Abschnitt 66) abgeleitet, die sich von der Lagrange-Funktion in der nichtabelschen Eichtheorie (Abschnitt 73) unterscheidet, aus der Gl. (97.27) und (97.28) sind gestemmt. Ist dies der Grund für die Diskrepanz zwischen Gl. (66.29) und Gl. (97,29)? In Srednickis Buch hat der Autor diese Diskrepanz jedoch nicht beachtet, sondern einfach die Ergebnisse in den Abschnitten 66 und 73 zu einer einheitlichen Gleichung kombiniert [Gl. (97.26)], was impliziert, dass Gl. (66.29) kann zur Berechnung der Beta-Funktion im Standardmodell verwendet werden. Ist hier etwas versteckt und muss angepasst und geklärt werden?

Antworten (2)

Beta-Funktion im Standardmodell

Kosmas Zachos · Answer 1

Sie lesen das Buch falsch, was konsequent ist. Der Autor hat Sie unerbittlich "aufmerksam" gemacht, wenn er QED in den SM einbettet. Ohne das Problem für Sie zu lösen, kann ich Sie beruhigen, dass Ihr Ausdruck für die β-Funktion von $g_1$ ist völlig unsinnig – Sie haben die Hyperladungs-U(1)-Kopplungsevolution mit der des Vektors EM U(1) verwechselt, wenn die Hyperladungs-Wechselwirkungen großartig chiral schief sind – Feynmans Beschwerde an Weinberg, dass sein Modell so „schief“ sei.

Der Autor wendet die Techniken an, um nicht den β-Funktionsausdruck von Abschnitt 66 und insbesondere 73 abzuleiten (97.26).

Wenn Sie den Weinberg-Winkel ersetzen und die Höhe des SM- Mischdreiecks im Wesentlichen auf zwei alternative Arten schreiben, um seine Fläche zu quantifizieren,

e^{2} = \frac{G_{1}^{2} G_{2}^{2}}{G_{1}^{2} + G_{2}^{2}},

$e^2=\frac{g_1^2 g_2^2}{g_1^2+ g_2 ^2}~~,$ (97.26,8,9) impliziert (66.29) ohne weiteres.

Speziell,

8 π^{2} \frac{\partial G_{2}^{2}}{\partial Protokoll μ} = G_{2}^{4} B_{2}, 8 π^{2} \frac{\partial G_{1}^{2}}{\partial Protokoll μ} = G_{1}^{4} B_{1} .

$8\pi^2\frac {\partial g_2^2}{\partial \log \mu}= g_2^4 b_2 ~,\\ 8\pi^2\frac {\partial g_1^2}{\partial \log \mu}= g_1^4 b_1 ~.$

Sie können sie dann einfach kombinieren, um das Obige zu bewerten,

8 π^{2} \frac{\partial e^{2}}{\partial Protokoll μ} = 8 π^{2} \frac{\partial \frac{G_{1}^{2} G_{2}^{2}}{G_{1}^{2} + G_{2}^{2}}}{\partial Protokoll μ} = e^{4} (B_{1} + B_{2}) = e^{4} (\frac{1}{3} + \frac{32}{9} N - \frac{22}{3}),

$8\pi^2\frac {\partial e^2}{\partial \log \mu}= 8\pi^2\frac {\partial \frac{g_1^2 g_2^2}{g_1^2+ g_2 ^2}}{\partial \log \mu} \\ = e^4 (b_1+b_2)=e^4 \Bigl ( \frac{1}{3}+ \frac{32}{9}n -\frac{22}{3}\Bigr ),$ der erste Term ist auf die Higgs zurückzuführen, der zweite auf Fermionen und der dritte auf die W s, die geladenen Vektoren, die in Ihrem (66.29) fehlen (und daher Teil der Ellipse sind!):

8 π^{2} \frac{\partial e^{2}}{\partial Protokoll μ} = \frac{4}{3} e^{4} (\frac{1}{4} + N (1 + \frac{1}{3} + \frac{4}{3}) + . . .) .

$8\pi^2 \frac {\partial e^2}{\partial \log \mu} = \frac{4}{3} e^4 \Biggl (\frac{1}{4} + n \left (1+\frac{1}{3} + \frac{4}{3}\right ) +...\Biggr ).$ Verstehen Sie, dass Ihr EM (66.29) Vektorkopplungen mit Fermionen, jetzt Dirac-Teilchen, beinhaltet, sodass das Elektron ausreicht, um auch das Positron abzudecken: Sie müssen es nicht doppelt zählen!

Soweit ich weiß, ist das Elektron ein Dirac-Teilchen und das Positron ein weiteres Dirac-Teilchen. Wir haben also zwei Dirac-Teilchen, richtig? Aber warum zählen wir nur einmal? Ich bin hier nicht klar.
Nein, sowohl das Elektron als auch das Positron sind im Feld verpackt $\Psi$ von (66.29). Dasselbe gilt für (97), außer dass der linke und der rechte Modus materiell unterschiedlich sind und getrennt gezählt werden sollen. Man zählt also beispielsweise Antiquarks nicht auf Quarks. Das sollte Ihr Text deutlich machen.

Shilpa · Answer 2

Ich frage mich, wie im Standardmodell der skalare Beitrag für die Berechnung der berücksichtigt wird $\beta$ -Funktion der $g_2$ Kupplung

μ \frac{D G_{2}}{D μ} = β (G_{1}, G_{2}, G_{3}, . .)

$\mu\frac{dg_2}{d\mu} = \beta(g_1,g_2,g_3,..)$

anscheinend ist es 1/6 für Skalare und 1/3 für komplexe Skalare, multipliziert mit der Anzahl der Skalarfelder.

Beta-Funktion im Standardmodell

Shen

Antworten (2)

Kosmas Zachos

Shen

Kosmas Zachos

Shilpa

Anomale Dimensionen von Gauge-Wechselwirkungen

Werte von SM-Parametern auf einer bestimmten Skala

Was meinen wir, wenn wir sagen, dass 't Hooft bewiesen hat, dass das Standardmodell renormierbar ist?

Warum ist die Beziehung MW=MZcosθWMW=MZcos⁡θWM_W=M_Z\cos\theta_W nur auf Baumebene wahr?

Eichinvarianz oder globale Invarianz, was macht die Theorie renormierbar?

Erhaltene topologische Ladung für d=3 Yang-Mills. G=U(2)

Renormierung mit auf Null gesetzten externen Impulsen

Wiederherstellen der SU(2)SU(2) SU(2) ununterbrochenen Grenze durch Nehmen von mW,mZ→0mW,mZ→0m_W, m_Z \to 0

Hindernis bei der Berechnung der ZN=1ZN=1\mathcal{Z}_{\mathcal{N}=1} SYM-Partitionsfunktion

Renormierungsbedingung