Beugung an den Rändern eines undurchsichtigen Objekts?

Eine Möglichkeit, diesen Fall zu untersuchen, ist die numerische Analyse der Beugung, wie in meiner anderen Antwort an Sie beschrieben .

Sie können dies auch ziemlich genau so tun, wie Sie es durch das Huygens-Prinzip beschreiben oder wie Feynman es in seinem beliebten QED-Buch beschreibt. Wenn Sie eine Gleichung aufstellen, um zu beschreiben, was Sie gesagt haben, werden Sie sehen, dass die Amplitude an einem Punkt mit transversaler Koordinate liegt$X$auf einem Sieb in axialem Abstand$d$aus der Ebene mit der Messerschneide ist:

$$\psi(X) \approx\int\limits_0^\infty\exp\left(i\,k\,\sqrt{(X-x)^2+d^2}\right)\,{\rm d}\,x\tag 1$$

wo die Quellenlinie verläuft$x=0$Zu$w$(die Breite der hellen Region), wo wir nehmen können$w\to+\infty$wenn wir mögen. Wir haben die Abhängigkeit der Größe des Beitrags jeder Quelle von der Entfernung vernachlässigt$\sqrt{(X-x)^2+d^2}$. Dies liegt daran, dass wir uns jetzt auf eine Idee aus der Methode der stationären Phase berufen , wobei nur Beiträge des Integranden in der Nähe des Punktes auftreten$x=X$wo die Phase des Integranden stationär ist, wird wichtig sein. Also für$x\approx 0$wir können annehmen$|X-x|\ll d$und so:

$$\psi(X) \approx\int\limits_0^w\exp\left(i\,k\,\frac{(X-x)^2}{2\,d}\right)\,{\rm d}\,x\tag 2$$

ein Integral, das in geschlossener Form ausgeführt werden kann:

$$\begin{array}{lcl}\psi(X) &\approx& \sqrt{\frac{2\,d}{k}}\displaystyle \int\limits_{\sqrt{\frac{k}{2\,d}}(X-w)}^{\sqrt{\frac{k}{2\,d}} X} e^{i\,u^2}\,{\rm d}\,u \\ &=& \sqrt{\frac{d}{2\,k}} e^{i\frac{\pi}{4}} \sqrt{\pi} \left({\rm Erf}\left(e^{3\,i\frac{\pi}{4}}\sqrt{\frac{k}{2\,d}}(x-w)\right)-{\rm Erf}\left(e^{3\,i\frac{\pi}{4}}\sqrt{\frac{k}{2\,d}}\, x\right)\right) \\ &=& \sqrt{\frac{d}{2\,k}} \left(C\left(\sqrt{\frac{k}{2\,d}} X\right) + i\,S\left(\sqrt{\frac{k}{2\,d}}X\right) -\right.\\ & & \qquad\left.\left(C\left(\sqrt{\frac{k}{2\,d}}(X-w)\right) + i\,S\left(\sqrt{\frac{k}{2\,d}}(X-w)\right)\right)\right)\end{array}\tag 3$$

Wo:

$$\begin{array}{lcl} C(s) &=& \displaystyle \int\limits_0^s\, \cos(u^2)\,{\rm d}\,u\\ S(s) &=& \displaystyle \int\limits_0^s\, \sin(u^2)\,{\rm d}\,u\\ \end{array}\tag 4$$

Wo$C(s)$Und$S(s)$heißen Fresnel-Integrale.

Wenn ich die quadrierte Größe dieser Funktion (bezogen auf die Fresnel-Integrale) in normalisierten Einheiten zeichne, wenn$k=d=1$Und$L\to\infty$(Bemerkung$C(\infty)=S(\infty) = -1/2$) für$X\in[-10,20]$Ich bekomme die folgende Handlung:

was meiner Meinung nach genau Ihre Handlung mit einer geschrumpften horizontalen Achse ist (Ihre ist wahrscheinlich meine mit der Transformation$x_S = 2\,\pi\,x_R$Wo$x_S$ist Satwiks$x$-koordinieren und$x_R$Rods).

Fußnote: Eine der schönsten Kurven der Mathematik des 18. und 19. Jahrhunderts ist die Cornu-Spirale, die ein Sonderfall der Euler-Spirale ist .$\psi(X)$in (3) verfolgt einen Pfad in der komplexen Ebene, die durch parametrisiert ist$X$, was sich als Bogenlänge herausstellt$s$des spiralförmigen Weges in$\mathbb{C}$so dass:

$$\begin{array}{lcl}x &=& {\rm Re}(\psi(s)) \propto C(s) + \frac{1}{2}\\ y &=& {\rm Im}(\psi(s)) \propto S(s) + \frac{1}{2}\end{array}\tag 4$$

und ich zeichne den normalisierten und verschobenen Pfad auf$z = C(s) + i\,S(s)$Ich bekomme die schöne Spirale unten. Die geschweiften Bits spiralförmig bis nach innen$\pm(1+i)/2$als$s\to\infty$. Das Verschieben und anschließende Quadrieren der Größe erklärt, warum das Intensitätsdiagramm oben nicht symmetrisch ist$X=0$, oszillierend als$X\to\infty$und abnehmend monoton als$X\to-\infty$.