Beweisen Sie, dass eine von zwei gegebenen komplexen Zahlen 111 oder −1−1-1 ist, wenn uv=5+2i3–√uv=5+2i3uv = 5 + 2i\sqrt{3}

Angesichts des Satzes$A = \{a + ib\sqrt{3} \mid a, b \in \mathbb{Z}\}$Und$u, v \in A$mit$uv = 5 + 2i\sqrt{3}$, beweisen, dass einer von$u$Und$v$Ist$1$oder$-1$.

Lassen Sie uns zunächst darstellen$u$Und$v$folgendermaßen:$u = a + ib\sqrt{3}$Und$v = c + id\sqrt{3}$, Wo$a, b, c, d \in \mathbb{Z}$.

Indem ich einige grundlegende Operationen mit dem durchführte, was uns gegeben wurde, erhielt ich Folgendes$abcd = 0$Und$(a^2 - 3b^2)(c^2 - 3d^2) = 13$. Weil$a, b, c, d$ganze Zahlen sind, haben wir nur vier Möglichkeiten für die letzte Multiplikation:$1 \cdot 13, 13 \cdot 1, -1 \cdot (-13), -13 \cdot (-1)$. Nun müssen wir jeden dieser Fälle betrachten und in jedem Fall müssen wir uns auch damit befassen$abcd = 0$indem Sie jede der Zahlen einstellen$a, b, c, d$Zu$0$separat.

Nachdem ich getan hatte, was ich oben erklärt hatte, bekam ich zuerst$b = 0$Und$a = \pm 1$und dann$d = 0$Und$c = \pm 1$.

Diese Lösung scheint jedoch etwas zu lang zu sein, und ich hätte gerne eine direktere Lösung. Wenn Sie also Ideen haben, teilen Sie sie bitte mit!

Danke schön!