Wenn z1z1z_1 und z2z2z_2 zwei komplexe Zahlen sind und wenn z31−3z21z2=2,3z1z22−z32=11z13−3z12z2=2,3z1z22−z23=11z_1^3-3z_1^2z_2=2,3z_1z_2^2-z_2^3=11 ,

Dividieren der beiden Gleichungen, die wir erhalten

$$\frac{z_1^2}{z_2^2} \times \frac{z_1-3z_2}{3z_1-z_2}=\frac{2}{11}$$ $\implies$vorausgesetzt $\frac{z_1}{z_2}=p$wir bekommen

$$\frac{p^2(p-3)}{3p-1}=\frac{2}{11}$$ dh,

$$11p^3-33p^2-6p+2=0$$ und diese kubische Gleichung hat drei reelle Wurzeln, was bedeutet

$\frac{z_1}{z_2}$ist echt.

Jetzt

$$|z_1^2+z_2^2|=|p^2z_2^2+z_2^2|=|z_2^2|(p^2+1) \tag{1}$$

Auch

$$(z_1-z_2)^3=13$$ $\implies$

$$(pz_2-z_2)^3=13$$ , So

$$z_2^3=\frac{13}{(p-1)^3}$$ So

$$|z_2|^2=\frac{13^{\frac{2}{3}}}{(p-1)^2}$$ diese einwechseln $(1)$wir bekommen

$$|z_1^2+z_2^2|=\frac{13^{\frac{2}{3}}(p^2+1)}{(p-1)^2}$$ also haben wir jeweils drei Antworten $p \in \mathbb{R}$

$$z_{1}(z^2_{1}-3z^2_{2}) = 2\Rightarrow z^3_{1}-3z_{1}z^2_{2} = 2\cdots \cdots (1)$$

Ähnlich

$$z_{2}(3z^2_{1}-z_{2}^2) = 11\Rightarrow 3z^2_{1}z_{2}-z^3_{2} = 11\cdots (2)\times i$$

Jetzt addieren und subtrahieren Sie diese beiden Gleichungen, wir bekommen

$$(z_{1}+iz_{2})^3 = 2+11i$$

$$(z_{1}-iz_{2})^3 = 2-11i$$

So

$$(z^2_{1}+z^2_{2})^3 = (2+11i)(2-11i) = 125\Rightarrow |z^2_{1}+z^2_{2}|=5$$