Überprüfen Sie einige Arbeiten zum Finden von Wurzeln

OK, ich habe die folgende Antwortfunktion:

$$H(\omega) = \frac{1-\omega^2 LC}{1+\omega^2 LC - i \omega RC}$$

Ich möchte herausfinden, wo es wird$\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Dies sollte einfach genug sein. Zuerst multipliziere ich das Ganze mit seinem komplexen Konjugierten, was mir den absoluten Wert im Quadrat oder 1/2 gibt:

$$\frac{1-\omega^2 LC}{1+\omega^2 LC - i \omega RC}=\frac{(1-\omega^2 LC)^2}{(1+\omega^2 LC)^2 + \omega^2 R^2C^2} = \frac{1}{2}$$

Dann möchte ich nach Omega auflösen. Da das irgendwie hässlich ist, multipliziere ich beide Seiten mit$2((1+\omega^2 LC)^2 + \omega^2 R^2C^2)$und enden mit

$$2(1-\omega^2 LC)^2=(1+\omega^2 LC)^2 + \omega^2 R^2C^2$$ was nachgibt

$$(1-\omega^2 LC)^2= \omega^2 R^2C^2$$

die ich die Quadratwurzeln von beiden Seiten ziehen und in ein Quadrat umwandeln kann

$$(1-\omega^2 LC)= \omega RC \rightarrow 1-\omega RC - \omega^2LC = 0$$

Ich ziehe die alte quadratische Formel heraus.$\omega = \frac{RC \pm \sqrt{R^2C^2+4LC}}{2LC}$

Auf der positiven Seite landen wir bei$\frac{2R^2C^2 + 2RC\sqrt{R^2C^2+4LC}+4LC}{2LC}=\frac{R^2C}{L}+\frac{R}{L}\sqrt{R^2C^2+4LC}+2$

und auf der Minusseite$\frac{2R^2C^2 - 2RC\sqrt{R^2C^2+4LC}+4LC}{2LC}=\frac{R^2C}{L}-\frac{R}{L}\sqrt{R^2C^2+4LC}+2$

Eine andere Methode, an die ich dachte, war zu versuchen, das Quadrat "von Hand" aufzubrechen - das heißt, zu versuchen, eine Quadratwurzel aus dem Koeffizienten von Omega zum Quadrat und der Hälfte von RC zu finden, aber auf diesem Weg liegt der Wahnsinn.

Okay, scheint in Ordnung zu sein. Aber mir wurde gesagt, dass die Antwort, die Sie bekommen sollten, lautet$\omega = \frac{1}{RC}$. Also entweder a) habe ich es falsch gemacht oder b) mir wurde etwas Falsches gesagt.

Habe ich hier etwas verpasst? Das ist nicht einmal Kalkül.

EDIT: schauen, wo ich es vermasselt habe: OK Sehen, wie ich hier vermasselt habe:

$$2(1-\omega^2LC)^2 = (1+\omega^2LC)^2 + \omega^2 R^2C^2$$

Das müsste eigentlich sein

$$(2 - 4\omega^2LC + 2\omega^4L^2C^2) = 1 + 2\omega^2LC + \omega^4L^2C^2+ \omega^2 R^2C^2$$

Was dann wird

$$(1 - 6\omega^2LC + \omega^4L^2C^2) = \omega^2 R^2C^2$$ das in etwas wie ein Quadrat umzuwandeln

$$1+(6LC-R^2C^2)\omega^2+ \omega^4L^2C^2=0$$

(und ersetzen$u$für$\omega^2$bedeutet, dass die LHS reduziert auf$(1+(6LC-R^2C^2)u + L^2C^2u^2)$

Wir treffen es mit der quadratischen Formel.

$$\frac{R^2C^2-6LC \pm \sqrt{36L^2C^2-12R^2LC^3+R^4C^4-4L^2C^2}}{2L^2C^2}=\frac{R^2C^2-6LC \pm \sqrt{32L^2C^2-12R^2LC^3+R^4C^4}}{2L^2C^2}=\frac{R^2}{2L^2}-\frac{3}{L}\pm \frac{\sqrt{32L^2-12R^2LC+R^4C^2}}{2L^2C}$$

Immer noch verrückte Zahlen .... hmmm.