Komplexe Zahl Beweis von (z1z2)¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=z1¯¯¯¯¯z2¯¯¯¯¯(z1z2)¯=z1¯z2¯\overline{\left(\frac {z_1 }{z_2}\right)}=\frac {\overline{z_1}}{\overline{z_2}}.

Question

Komplexe Zahl Beweis von (z1z2)¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=z1¯¯¯¯¯z2¯¯¯¯¯(z1z2)¯=z1¯z2¯\overline{\left(\frac {z_1 }{z_2}\right)}=\frac {\overline{z_1}}{\overline{z_2}}.

Mathematik
komplexe Zahlen
Algebra-Vorkalkül

Benutzer332252

Lassen $z_1=a_1+b_1i$ Und $z_2=a_2+b_2i$ komplexe Zahlen sein. Lassen $\overline{z_1}$ Und $\overline{z_2}$ sei das Konjugat von $z_1$ Und $z_2$ , bzw. Beweisen:
$\bar{(\frac{z_{1}}{z_{2}})} = \frac{\bar{z_{1}}}{\bar{z_{2}}}$ $\overline{\left(\frac {z_1}{z_2}\right)}=\frac {\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$

Mein Versuch:

Ich begann mit $\overline{\left(\frac {z_1}{z_2}\right)}$ und multipliziert es mit $\frac {z_1}{z_2}$ zu bekommen $\left|\frac {z_1}{z_2}\right|^2=\frac {a_1^2+b_1^2}{a_2^2+b_2^2}$ , aber jetzt weiß ich nicht, wo ich danach weitermachen soll.

Antworten (4)

Komplexe Zahl Beweis von (z1z2)¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=z1¯¯¯¯¯z2¯¯¯¯¯(z1z2)¯=z1¯z2¯\overline{\left(\frac {z_1 }{z_2}\right)}=\frac {\overline{z_1}}{\overline{z_2}}.

Seed M · Answer 1

\begin{aligned} \frac{z_{1}}{z_{2}} & = \frac{A_{1} + ich B_{1}}{A_{2} + ich B_{2}} \\ = \frac{A_{1} + ich B_{1}}{A_{2} + ich B_{2}} \cdot \frac{A_{2} - ich B_{2}}{A_{2} - ich B_{2}} \\ = \frac{(A_{1} + ich B_{1}) (A_{2} - ich B_{2})}{(A_{2} + ich B_{2}) (A_{2} - ich B_{2})} \\ = \frac{(A_{1} + ich B_{1}) (A_{2} - ich B_{2})}{(A_{2}^{2} + B_{2}^{2})} \\ = \frac{(A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2}) + ich (- A_{1} B_{2} + A_{2} B_{1})}{(A_{2}^{2} + B_{2}^{2})} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{z_1}{z_2}&=\frac{a_1+ib_1}{a_2+ib_2}\\ \\ &=\frac{a_1+ib_1}{a_2+ib_2}\cdot\frac{a_2-ib_2}{a_2-ib_2}\\ \\ &=\frac{(a_1+ib_1)(a_2-ib_2)}{(a_2+ib_2)(a_2-ib_2)}\\ \\ &=\frac{(a_1+ib_1)(a_2-ib_2)}{(a_2^2+b_2^2)}\\ \\ &=\frac{(a_1a_2+b_1b_2)+i(-a_1b_2+a_2b_1)}{(a_2^2+b_2^2)} \end{align}$ Der

\frac{(a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2}) + i (- a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1})}{(a_{2}^{2} + b_{2}^{2})}

$\frac{(a_1a_2+b_1b_2)+i(-a_1b_2+a_2b_1)}{(a_2^2+b_2^2)}$ Bruch ist eine komplexe Zahl mit reellem Nenner (

a_{2}^{2} + b_{2}^{2}

$a_2^2+b_2^2$ ) und die Konjugation dieses Bruchs ändert nur den Zähler

(a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2}) + i (- a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1})

$(a_1a_2+b_1b_2)+i(-a_1b_2+a_2b_1)$ .

So

\begin{aligned} \bar{(\frac{z_{1}}{z_{2}})} & = \bar{(\frac{A_{1} + ich B_{1}}{A_{2} + ich B_{2}})} \\ = \bar{(\frac{(A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2}) + ich (- A_{1} B_{2} + A_{2} B_{1})}{(A_{2}^{2} + B_{2}^{2})})} \\ = \frac{(A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2}) - ich (- A_{1} B_{2} + A_{2} B_{1})}{(A_{2}^{2} + B_{2}^{2})} \\ = \frac{(A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2}) + ich (A_{1} B_{2} - A_{2} B_{1})}{(A_{2}^{2} + B_{2}^{2})} \\ = \frac{(A_{1} - ich B_{1}) (A_{2} + ich B_{2})}{(A_{2}^{2} + B_{2}^{2})} \\ = \frac{(A_{1} - ich B_{1}) (A_{2} + ich B_{2})}{(A_{2} - ich B_{2}) (A_{2} + ich B_{2})} \\ = \frac{A_{1} - ich B_{1}}{A_{2} - ich B_{2}} \cdot \frac{A_{2} + ich B_{2}}{A_{2} + ich B_{2}} \\ = \frac{A_{1} - ich B_{1}}{A_{2} - ich B_{2}} \\ = \frac{\bar{z_{1}}}{\bar{z_{2}}} \end{aligned}

$\begin{align} \overline{\Big(\frac{z_1}{z_2}\Big)}&=\overline{\Big(\frac{a_1+ib_1}{a_2+ib_2}\Big)}\\ \\ &=\overline{ \Big(\frac{(a_1a_2+b_1b_2)+i(-a_1b_2+a_2b_1)}{(a_2^2+b_2^2)}\Big)} \\ \\ &=\frac{(a_1a_2+b_1b_2)-i(-a_1b_2+a_2b_1)}{(a_2^2+b_2^2)} \\ \\ &=\frac{(a_1a_2+b_1b_2)+i(a_1b_2-a_2b_1)}{(a_2^2+b_2^2)} \\ \\ &=\frac{(a_1-ib_1)(a_2+ib_2)}{(a_2^2+b_2^2)} \\ \\ &=\frac{(a_1-ib_1)(a_2+ib_2)}{(a_2-ib_2)(a_2+ib_2)} \\ \\ &=\frac{a_1-ib_1}{a_2-ib_2} \cdot\frac{a_2+ib_2}{a_2+ib_2} \\ \\ &=\frac{a_1-ib_1}{a_2-ib_2} \\ \\ &=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} \end{align}$

Ah! Vielen Dank für die Erläuterung, warum jeder Schritt so ist!

Emilio Novati · Answer 2

Hinweis:

Du kannst deinen Beweis vervollständigen, indem du auch die RHS mit multiplizierst $\frac{z_1}{z_2}$ dann zeige das $\left|\frac {z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$ (einfach in Polarform).

Nosrati · Answer 3

Wenn $w_1=re^{i\theta}$ Und $w_2=\rho e^{i\phi}$ Dann

\bar{w_{1}} \bar{w_{2}} = R e^{- ich θ} ρ e^{- ich ϕ} = R ρ e^{- ich (θ + ϕ)} = \bar{w_{1} w_{2}}

$\overline{w_1}\ \overline{w_2}=re^{-i\theta} \rho e^{-i\phi}=r\ \rho e^{-i(\theta+\phi)}=\overline{w_1\ w_2}$ So

\bar{w_{1}} \bar{w_{2}} = \bar{w_{1} w_{2}}

$\boxed{\overline{w_1}\ \overline{w_2}=\overline{w_1\ w_2}}$ Nun lass

w_{1} = \frac{z_{1}}{z_{2}}

$w_1=\dfrac{z_1}{z_2}$ Und

z_{2}

$z_2$ . Auch unkomplizierte Shows

\bar{(\frac{w_{1}}{w_{2}})} = \frac{R}{ρ} e^{- ich (θ - ϕ)} = \frac{R e^{- ich θ}}{ρ e^{- ich ϕ}} = \frac{\bar{w_{1}}}{\bar{w_{2}}}

$\overline{\left(\frac {w_1}{w_2}\right)}=\dfrac{r}{\rho} e^{-i(\theta-\phi)}=\dfrac{re^{-i\theta}}{\rho e^{-i\phi}}=\dfrac{\overline{w_1}}{\overline{w_2}}$

Dr. Sonnhard Graubner · Answer 4

wir bekommen

\frac{A_{1} + B_{1} ich}{A_{2} + B_{2} ich} = \frac{A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} + (A_{2} B_{1} - A_{1} B_{2}) ich}{A_{2}^{2} + B_{2}^{2}}

$\frac{a_1+b_1i}{a_2+b_2i}=\frac{a_1a_2+b_1b_2+(a_2b_1-a_1b_2)i}{a_2^2+b_2^2}$ und die Ergänzung ist

\bar{\frac{A_{1} + B_{1} ich}{A_{2} + B_{2} ich}} = \frac{A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} - (A_{2} B_{1} - A_{1} B_{2}) ich}{A_{2}^{2} + B_{2}^{2}}

$\overline{\frac{a_1+b_1i}{a_2+b_2i}}=\frac{a_1a_2+b_1b_2-(a_2b_1-a_1b_2)i}{a_2^2+b_2^2}$ Und

\frac{A_{1} - B_{1} ich}{A_{2} - B_{2} ich} = \frac{(A_{1} - B_{1} ich) (A_{2} + B_{2} ich)}{(A_{2} - B_{2} ich) (A_{2} + B_{2} ich)} = . . .

$\frac{a_1-b_1i}{a_2-b_2i}=\frac{(a_1-b_1i)(a_2+b_2i)}{(a_2-b_2i)(a_2+b_2i)}=...$ kannst du fortfahren?

Komplexe Zahl Beweis von (z1z2)¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=z1¯¯¯¯¯z2¯¯¯¯¯(z1z2)¯=z1¯z2¯\overline{\left(\frac {z_1 }{z_2}\right)}=\frac {\overline{z_1}}{\overline{z_2}}.

Benutzer332252

Antworten (4)

Seed M

Benutzer332252

Emilio Novati

Nosrati

Dr. Sonnhard Graubner

Gibt es einen natürlichen Weg, um zu beweisen, dass trigonometrische Identitäten auch für komplexe Zahlen gelten?

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Wenn z1z1z_1 und z2z2z_2 zwei komplexe Zahlen sind und wenn z31−3z21z2=2,3z1z22−z32=11z13−3z12z2=2,3z1z22−z23=11z_1^3-3z_1^2z_2=2,3z_1z_2^2-z_2^3=11 ,

USAMO 1973 (Simultangleichungen)

Beweisen Sie, dass z¯1z2+z1z¯2=2R(z¯1z2)z¯1z2+z1z¯2=2ℜ(z¯1z2)\bar z_1 z_2+z_1 \bar z_2=2\Re(\bar z_1 z_2)