Beweisen Sie, dass negative absolute Temperaturen tatsächlich heißer sind als positive absolute Temperaturen

Könnte mir jemand einen mathematischen Beweis dafür liefern, warum ein System mit einer absolut negativen Kelvin-Temperatur (wie die eines Spinsystems) heißer ist als jedes System mit einer positiven Temperatur (in dem Sinne, dass ein System mit negativer Temperatur und ein positives -Temperatursystem in Kontakt kommen, wird Wärme vom Negativ- zum Positivtemperatursystem fließen).

Antworten (7)

Arnold Neumaiers Kommentar zur statistischen Mechanik ist richtig, aber hier ist, wie Sie es nur mit Thermodynamik beweisen können. Stellen wir uns zwei Körper mit unterschiedlichen Temperaturen in Kontakt miteinander vor. Nehmen wir an, dass Körper 1 eine kleine Menge Wärme überträgt Q zu Körper 2. Die Entropie von Körper 1 ändert sich um − Q / T 1 , und die Entropie von Körper 2 ändert sich um Q / T 2 , also die totale Entropieänderung

Q ( 1 T 2 − 1 T 1 ) .
Diese Gesamtentropieänderung muss positiv sein (nach dem zweiten Hauptsatz), also wenn 1 / T 1 > 1 / T 2 dann Q muss negativ sein, was bedeutet, dass Körper 2 Wärme auf Körper 1 übertragen kann und nicht umgekehrt. Es ist das Zeichen von 1 T 2 − 1 T 1 die die Richtung bestimmt, in die Wärme fließen kann.

Nun sagen wir das T 1 < 0 und T 2 > 0 . Jetzt ist das klar 1 T 2 − 1 T 1 > 0 da beide 1 / T 2 und − 1 / T 1 sind positiv. Das bedeutet, dass Körper 1 (mit negativer Temperatur) Wärme auf Körper 2 (mit positiver Temperatur) übertragen kann, aber nicht umgekehrt. In diesem Sinne ist Körper 1 „heißer“ als Körper 2.

Das ist richtig, und der zentrale Punkt kann so formuliert werden: Wenn Wärmeenergie einen Körper mit negativer Temperatur verlässt, nimmt die Entropie dieses Körpers zu.
Ihr thermodynamischer Beweis ist falsch, weil in der Thermodynamik T < 0 bricht die Konsistenz der Thermodynamik, siehe dieses Nature Physics Paper Konsequente Thermostatistik verbietet negative absolute Temperaturen

Aus fundamentaler (statistisch-mechanischer) Sicht ist der physikalisch relevante Parameter Kälte = inverse Temperatur β = 1 / k B T . Dies ändert sich laufend. Wenn sie von einem positiven Wert über Null auf einen negativen Wert übergeht, ändert sich die Temperatur von sehr groß positiv zu unendlich (mit unbestimmtem Vorzeichen) zu sehr groß negativ. Daher haben Systeme mit negativer Temperatur eine geringere Kälte und sind daher heißer als Systeme mit positiver Temperatur.

Einige Referenzen:

D. Montgomery und G. Joyce. Statistische Mechanik von „negativen Temperatur“-Zuständen. Phys. Fluids, 17:1139–1145, 1974.
http://ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/19730013937_1973013937.pdf

EM Purcell und RV Pound. Ein Kernspinsystem bei negativer Temperatur. Phys. Rev., 81:279–280, 1951.
Link

Abschnitt 73 von Landau und EM Lifshits. Statistische Physik: Teil 1,

Beispiel 9.2.5 in meinem Online-Buch Classical and Quantum Mechanics via Lie algebras .

"Aus fundamentaler (dh statistischer Mechanik) Sicht ist der physikalisch relevante Parameter Kälte". Ich fürchte, das ist nicht richtig. Es ist Energie, wie in diesem Artikel gezeigt wird . Beispielsweise erlaubt die (inverse) Temperatur im Allgemeinen keine Bestimmung der Richtung des Wärmeflusses, da sie nur eine Ableitung davon ist S .
@jkds: Natürlich sind innere Energie, Temperatur, Druck usw. physikalisch relevant. Was ich gemeint hatte, ist, dass Kälte (inverse) Temperatur relevanter ist als die Temperatur selbst.
Sicher, aber die Autoren zeigten, dass die Temperatur nicht eins zu eins mit dem Makrozustand eines Systems übereinstimmt. Das gleiche System kann bei völlig unterschiedlichen inneren Energien die gleiche Temperatur haben. Also Temperatur, anders E / N , kann eine irreführende Beschreibung des Systems sein.
@jkds: Im kanonischen Ensemble wird der Makrozustand durch die Temperatur bestimmt; in anderen Ensembles (wie dem großkanonischen) braucht man natürlich zusätzliche Parameter. Dann stehen Temperatur und innere Energie nicht mehr in einer 1:1-Beziehung, sondern sind durch eine Zustandsgleichung mit den anderen Parametern verknüpft. Aber meine Antwort ist sowieso unabhängig vom Wärmefluss.
Nein das ist nicht das Problem. Das Problem ist, dass für einen nicht konvexen DoS (denken Sie an eine Treppe) ∂ S ∂ E können bei unterschiedlichen Energien denselben Wert und damit dieselbe Temperatur annehmen. Das ist alles. Sie brauchen nur das mikrokanonische Ensemble, um es zu sehen.
@jkds: Temperatur ist eine Eigenschaft der thermodynamischen Grenze, bei der das mikrokanonische Ensemble dem kanonischen Ensemble entspricht. Im kanonischen Ensemble ist die 1-1-Korrespondenz selbstverständlich. Außerdem kann man Konvexität beweisen. Wenn Sie also ein nicht-konvexes Entropiefunktional annehmen, befinden Sie sich in der thermodynamischen Situation erst nach Durchführung der Maxwell-Konstruktion (entspricht hier der Annahme der konvexen Hülle).
Ich denke, es wäre einfacher zu erklären, wenn ich selbst eine Antwort mit Zahlen geschrieben hätte. Aber die TLDR; ist (i) das mikrokanonische Ensemble ist die Basis von stat. mech. Wenn dort etwas ausfällt, können Sie es später nicht reparieren. (ii) Konvexität von S ( E ) , während dies für normale Systeme wie ideale Gase usw. im Allgemeinen nicht der Fall ist. Lehrbuch-Gegenbeispiel: N Drehungen auf einer Linie in 1D: S ( E ) sieht aus wie das ⋂ , konkav. (iii) Ensembles sind im Allgemeinen nicht äquivalent. Aber das ist ein subtilerer Punkt.

Nehmen Sie ein Wasserstoffgas in einem Magnetfeld. Die Kerne können mit dem Feld niedrige Energie oder dagegen mit hoher Energie ausgerichtet werden. Bei niedriger Temperatur sind die meisten Kerne mit dem Feld ausgerichtet, und egal wie sehr ich das Gas erhitze, ich kann niemals erreichen, dass die Bevölkerung des höheren Energiezustands den niedrigeren Energiezustand überschreitet. Alles, was ich tun kann, ist, sie fast gleich zu machen, wie durch die Boltzmann-Verteilung beschrieben.

Jetzt nehme ich eine weitere Wasserstoffprobe, bei der ich eine Besetzungsinversion erzeugt habe, vielleicht durch eine Methode, die der in einem Laser verwendeten ähnelt, sodass mehr Kerne gegen das Feld ausgerichtet sind als mit ihm. Das ist mein Negativtemperaturmaterial.

Was passiert, wenn ich die Proben mische. Nun, ich würde erwarten, dass das invertierte Gas der Population "abkühlt" und das normale Gas "erwärmt", sodass meine Mischung mit der Boltzmann-Verteilung von ausgerichteten und gegenüberliegenden Kernen endet.

Ah, aber wer sagt, dass es überhaupt negative absolute Temperaturen gibt? Dies ist nicht ohne Kontroversen. Hier gibt es ein Naturpapier , das die bloße Existenz negativer absoluter Temperaturen in Frage stellt und argumentiert, dass negative Temperaturen aufgrund einer schlechten Methode zur Definition der Entropie entstehen, die wiederum zur Berechnung der Temperatur verwendet wird.

Andere Leute bestehen darauf, dass diese negativen Temperaturen "echt" sind.

Je nachdem, welcher Seite dieser Debatte Sie sich anschließen, können diese Systeme also mit positiven Temperaturen beschrieben werden (und sich entsprechend verhalten) oder mit negativen Temperaturen, die sehr exotische Eigenschaften haben.

Damit ist die Frage nicht beantwortet (der geforderte Nachweis stützt sich nicht darauf, ob solche Systeme tatsächlich existieren oder nicht).
Einig sind sich alle darin, dass ihr Verhalten etwas überraschend ist, und das war zu erwarten, da wir im täglichen Leben nicht auf Systeme mit Temperaturobergrenzen stoßen. Auf jeden Fall wird dieses Papier in den Kommentaren zu den meisten unserer Fragen zur "negativen absoluten Temperatur" zitiert. Ich kann Ihnen versichern, dass die meisten Antwortautoren sich dessen bewusst sind. Die Frage setzt jedoch die Definition der Temperatur voraus, die „negative“ Werte erzeugt, und dieser Beitrag geht nicht wirklich darauf ein.
@ACuriousMind: Was ist mit E=-mcc? Matt Thompsons Antwort ist zu behaupten, dass die negativen Temperaturen ein ähnliches Biest falscher mathematischer Lösungen sind und keinerlei Bedeutung haben.
@matt-thompson: du bist genau richtig. Tatsächlich ist "Temperatur" im Gegensatz zu Energie nur eine abgeleitete Größe (eine Ableitung von S ) und bei weitem nicht so grundlegend. Durch die Betrachtung nicht monoton wachsender Zustandsdichten lassen sich leicht Paradoxien konstruieren, wie Systeme, in denen Wärme vom kälteren zum heißeren Bad fließt, unabhängig davon, welche Entropiedefinition verwendet wird, siehe das Folgepapier der Autoren
Für negative Temperaturen benötigen Sie ein thermisches Gleichgewicht, in dem dS/dU < 0 ist. Dies kann passieren, aber nur in einem metastabilen Sinne. Ein Großteil der thermischen Gleichgewichtsphysik kann jedoch auf langlebige metastabile Gleichgewichte angewendet werden. Das Konzept der negativen Temperatur stimmt damit überein. (Und übrigens, wenn es wahr wäre, dass jemand einen Weg gefunden hätte, wie Wärme von einem kälteren zu einem heißeren Bad (richtig definiert) fließen kann, ohne dass die Entropie an anderer Stelle zunimmt, dann wüssten wir alle davon, weil sie reich und unser wären Energieprobleme wären vorbei.)

Für die visuell geneigten Personen erklärt dieser Artikel es einfach. Die maximale Schärfedefinition ist das mittlere Bild anstelle des erwarteten rechten Bildes:

absoluter Nullpunkt, unendlich heiß und darüber hinaus unendlich heiß

Aufgrund der nicht intuitiven Definition von Wärme ist eine Probe, die nur heiße Partikel enthält, negativ Kelvin / jenseits von unendlich heiß und würde, wie aus dem Bild hervorgeht, kälteren Partikeln Energie geben.

Negative Temperatur - ja, das ist mir einmal begegnet: Ich meine mich zu erinnern, dass es der Zustand ist, der entsteht, wenn Sie, sagen wir, ein System magnetischer Dipole in einem Magnetfeld haben und sie eine Gleichgewichtsverteilung von Orientierungen erreicht haben ... und dann das Magnetfeld wird plötzlich umgekehrt und die Verteilung ist vorübergehend rückwärts – im Grunde die Verteilung, die durch Ersetzen eines negativen Werts von T gegeben ist . Andere Szenarien können wahrscheinlich erdacht oder tatsächlich ins Leben gerufen werden, die diese Vorstellung ähnlich hervorrufen würden. Ich denke, die Antwort ist möglicherweise, dass das System völlig außerhalb des thermodynamischen Gleichgewichts ist, weshalb die „Temperatur“ nur die Variable ist, die früher wirklich wareine Temperatur, und ist jetzt nur noch ein Artefakt , das diese Nichtgleichgewichtsverteilung ergibt, wenn man es grob in die Verteilungsformel einfügt. Es wird also Wärme übertragen, weil Sie jetzt ein hocherregtes System haben, das völlig aus dem Gleichgewicht geraten ist und auf ein System trifft, das sich einem Wärmereservoir annähert. Ich denke, es kommt nicht wirklich in Frage, die Wärmeübertragung nach der üblichen Methode zu berücksichtigen, dh wenn beide Temperaturen positiv sind, indem die Temperaturdifferenz als diejenige eingeführt wird , die die Übertragung antreibt .

Und wäre es überhaupt eine Wärmeübertragung , wenn die Energie von einer Quelle ausgeht , die völlig außerhalb des thermodynamischen Gleichgewichts liegt? Es ist eher so, dass die übertragene Energie zu Wärme wird, würde ich sagen.

Nur um zu sagen, dass das System im Spin-Beispiel nicht "völlig aus dem Gleichgewicht" ist. So überraschend es scheinen mag, ist die Situation mit Spins, die mehr "oben" als "unten" sind, ein metastabiles Gleichgewicht, weil die zweite Ableitung der Entropie negativ ist. Das bedeutet, dass sich das System nach einer kleinen Schwankung in den negativen Temperaturzustand zurückbewegt oder „entspannt“, und in diesem Sinne können wir hier von thermischem Gleichgewicht sprechen.
Wirklich!? Es ist metastabil , oder? Das ist wirklich bemerkenswert! Ich habe das Bedürfnis, mir das genauer anzusehen. Vielen Dank.

Keine der obigen Antworten ist richtig. Die Antwort von Matt Thompson liegt nahe.

Das OP bittet um einen mathematischen Beweis dafür

Wenn ein System mit negativer Temperatur und ein System mit positiver Temperatur in Kontakt kommen, fließt Wärme vom System mit negativer Temperatur zum System mit positiver Temperatur

Es gibt keinen Beweis für diese Aussage, weil sie falsch ist

In der statistischen Mechanik ist die Temperatur definiert als

1 T = ∂ S ∂ E

dh ein Derivat von S . Zum n Ö r m a l Systeme, wie ideale Gase usw. S ( E ) ist eine stark konvexe Funktion von E und es besteht eine 1-zu-1-Beziehung zwischen dem Makrozustand des Systems und seiner Temperatur.

In Fällen, in denen jedoch S ist keine konvexe Funktion von E , ∂ S ∂ E kann bei unterschiedlichen Energien denselben Zahlenwert annehmen E und damit die gleiche Temperatur. Mit anderen Worten, T , nicht wie E beschreibt im Allgemeinen den Makrozustand eines Systems nicht eindeutig. Diese Situation tritt in Systemen auf, die eine negative Boltzmann-Temperatur haben (Detail: für eine negative Boltzmann-Temperatur S muss nicht eintönig sein E ).

Ein isoliertes System 1 mit negativer Boltzmann-Temperatur T B < 0 kann entweder eine höhere oder eine niedrigere innere Energie haben E 1 / N als ein anderes isoliertes System, System 2, mit dem es gekoppelt wird.

Je nachdem welches System eine höhere hat E ich / N , ich = 1 , 2 Wärme fließt entweder von System 1 zu System 2 oder umgekehrt, unabhängig von den Temperaturen der beiden Systeme vor der Kopplung. Einzelheiten finden Sie unter

Unten habe ich Abb. 1 beigefügt, die der Arxiv-Version dieser Arbeit entnommen ist, um diese Tatsache zu veranschaulichen.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

PS

  1. Ich bin kein Autor einer der zitierten Arbeiten.

  2. Die Thermodynamik ist mit der Verwendung der Gibbs-Entropie kompatibel, nicht jedoch mit der Boltzmann-Entropie. Dies zeigt ein vierzeiliger Beweis, siehe dieses Nature Physics Paper Konsequente Thermostatistik verbietet negative absolute Temperaturen . Die Gibbs-Temperatur ist (im Gegensatz zur Boltzmann-Temperatur) immer positiv, T > 0 .

  3. Der obige Versuch von @Nathaniel eines rein thermodynamischen Beweises für die Aussage des OP beruht auf der Prämisse, dass T < 0 ist mit der Thermodynamik vereinbar. Dies ist nicht der Fall, siehe Punkt 2. Der erbrachte Nachweis ist ungültig.

  4. Für normale Systeme ist die Unterscheidung zwischen Gibbs- und Boltzmann-Temperatur praktisch irrelevant. Der Unterschied wird jedoch drastisch, wenn Randfälle betrachtet werden, zB abgeschnittene Hamiltonoperatoren oder Systeme mit nicht-monotonen Zustandsdichten. Tatsächlich wird in den meisten Berechnungen in Lehrbüchern der statistischen Mechanik die Gibbs-Entropie anstelle der Boltzmann-Entropie verwendet. Denken Sie daran, „alle Zustände bis zur Energie“ zu berechnen E " statt "alle Staaten in einem ϵ Schale auf Energie E "? Das ist der Unterschied.

  5. Es gibt eine ganze Reihe von Versuchen, Kommentare zum Nature Physics-Artikel von Dunkel und Hilbert zu veröffentlichen, aber alle wurden abgelehnt. Diese folgen alle dem Muster, einen Widerspruch zu erzeugen, aber keiner war in der Lage, ein Loch in Dunkels und Hilberts kurze mathematische Argumentation zu schlagen.

Es ist nicht notwendig für S nicht konvex sein, um eine negative Temperatur zu haben. Das kanonische Ensemble für ein einfaches 2-Zustandssystem hat ein negatives Temperaturregime, aber S ( E ) ist in diesem Fall konvex. Es ist sicherlich so, dass Nichtkonvexität die Dinge komplizierter machen kann, wenn Sie sich zum mikrokanonischen Ensemble bewegen, aber das ist tangential zu dieser Frage.
Ich warf einen kurzen Blick auf die Zeitung, nur für den Fall, aber ich änderte meine Meinung nicht. Der Beweis in meiner Antwort ist wirklich ein mathematischer Beweis - er besagt, dass (i) wenn Temperatur definiert ist als 1 / T = ∂ S ∂ E , und (ii) wenn der erste und der zweite Hauptsatz gelten, dann (iii) muss Wärme immer von unten fließen 1 / T zu höher 1 / T . Wenn nicht, verwenden Sie das falsche Ensemble oder haben einen anderen Fehler gemacht - es gibt keine andere Möglichkeit. Weder Nicht-Konvexität der Entropie noch Nicht-Eindeutigkeit von E ( T ) kann dies ändern.
@Nathaniel das hier zitierte Forschungsergebnis, inklusive eines konkreten Beispiels, ist genau das, dass die Temperatur (egal welche Entropie verwendet wird) keinen Rückschluss auf die Richtung des Wärmeflusses zulässt. Meine Antwort ist spezifisch für die OP-Frage und kurz, weil ich nicht auf alle Details eingehen wollte. Bitte lesen Sie das verlinkte Papier und andere von denselben Autoren, um Antworten auf Ihre Fragen zu erhalten.
Ja, ich habe die Zeitung gelesen, wenn auch nur kurz, wie gesagt. Sie überprüfen mehrere statistische Definitionen der Entropie und Temperatur und behaupten, dass für einige von ihnen die Temperatur die Richtung des Wärmeflusses nicht vorhersagt. Aber das impliziert eine Verletzung des zweiten Hauptsatzes, also bedeutet es nur, dass diese Definitionen nicht die richtigen für das betreffende System sind. Ich stimme ihnen zu, dass die Temperatur den thermodynamischen Zustand nicht eindeutig bestimmt, wenn die Entropie nicht konvex ist, aber sie scheinen zu sagen, dass dies impliziert, dass die Richtung des Wärmeflusses nicht vorhergesagt werden kann, was überhaupt nicht folgt .
@Nathaniel "Aber das impliziert eine Verletzung des zweiten Gesetzes". Nicht richtig. Das zweite Gesetz wird in der Abhandlung in Sec. V. Von den überprüften Entropiedefinitionen erfüllt nur eine – die Gibbs-Entropie – den zweiten Hauptsatz strikt.
Schau, wenn T wird über definiert 1 / T = ∂ S ∂ E dann gilt für zwei gekoppelte Systeme ∂ S ∂ E 1 = ∂ ( S 1 + S 2 ) ∂ E 1 = ∂ S 1 ∂ E 1 − ∂ S 2 ∂ E 2 = 1 / T 1 − 1 / T 2 , und die Entropie nimmt genau dann zu, wenn Wärme aus dem System mit geringer abfließt 1 / T zum System mit höher 1 / T . Das ist eine ganz einfache, völlig unumstößliche Konsequenz der Definition. Wenn Ihre statistische Definition der Entropie dem widerspricht, dann widerspricht sie dem zweiten Hauptsatz, selbst wenn Sie ein Nature-Papier haben.
In Bezug auf den Artikel über Naturphysik von Dunkel und Hilbert ist es für mich verblüffend, dass sie die Gibbs-Shannon- oder die von Neumann-Entropie nicht erwähnen, da dies die statistischen Definitionen sind, aus denen die Boltzmann-Verteilung überhaupt abgeleitet wird. Es überrascht mich jedoch nicht, dass das, was sie die Gibbs-Entropie nennen (was eigentlich Boltzmanns Definition der Entropie ist), eine bessere Annäherung ist als das, was sie die Boltzmann-Entropie nennen. Also ich widerspreche ihnen in diesem Punkt nicht.
Ihr Argument über negative Temperaturen ist jedoch nicht überzeugend, da es wirklich nur eine Behauptung und überhaupt kein mathematisches Argument ist. Sie sagen: "Insbesondere muss eine solche Analyse die besondere Tatsache berücksichtigen, dass, wenn die Wärmekraftmaschine in der Lage ist, eine Besetzungsinversion zu durchlaufen, sowohl ein heißes als auch ein kaltes Bad Wärme in das System einspeisen kann", als ob dies eine Kritik darstellen würde, aber in der Tat ist es der ganze Punkt!
Übrigens, um jeden Zweifel auszuschließen, die Ablehnung stammt nicht von mir.
@Nathaniel. Wir könnten ewig darüber diskutieren, aber das ist wahrscheinlich nicht der beste Ort dafür. Nur zu Ihrer ersten Bemerkung zum Wärmefluss: Was Dunkel und Hilbert in der Nat.Phys. ist das befriedigend d E = T d S − p d v führt direkt zur Gibbs-Entropie und nicht zur Boltzmann-Entropie. All dies dauert 12 Gl. einschließlich 8 Gl. von Definitionen. Als Folge T > 0 in der Thermostatik. Wenn Sie also einen thermodynamischen Beweis erbringen wollen, können Sie nicht einfach einstecken T < 0 . Diese Einschränkung in TD folgt auch aus der Möglichkeit, zwischen ihnen umzuschalten E ( S , v , N ) und S ( E , v , N ) . Sie müssen eintönig sein.
@Nathaniel vielleicht könnt ihr zwei das im Chat besprechen. Das wird interessant.
Ich verstehe nicht, warum du mir immer erzählst, was in ihrer Zeitung steht. Ich habe es gelesen. Aber was Sie in Ihrem letzten Kommentar dazu sagen, ist falsch. Es mag stimmen, dass die Beziehung d E = T d S − p d v nicht zufrieden ist mit dem, was D&H "die Boltzmann-Entropie" nennt, und es kann auch wahr sein, dass es auch mit dem zufrieden ist, was sie "die Gibbs-Entropie" nennen, ich argumentiere gegen nichts davon. Aber diese Beziehung wird sicherlich auch durch das erfüllt, was wir jetzt die Shannon-Entropie nennen, also ist es nicht wahr, dass sie "direkt zur Gibbs-Entropie führt".
Wichtiger noch: Es gilt natürlich, dass wenn man zwischen E(S) und S(E) umschalten kann, die Temperatur immer das gleiche Vorzeichen (positiv oder negativ) haben muss, weil diese Funktionen dazu monoton sein müssen der Fall sein. Aber für Systeme mit begrenzten Energieniveaus können Sie das nicht, und sie sind es nicht. Es gibt kein Prinzip, das besagt, dass Sie in der Lage sein müssen, auf diese Weise zwischen ihnen umzuschalten, und die Unfähigkeit, dies bei einigen Systemen zu tun, hat keinen Einfluss auf die Definition oder das Verhalten von Temperatur oder Wärmefluss.
@Nathaniel: OK (i), um den Jargon richtig zu machen: Wenn es welche gibt W Mikrozustände bei Energie E , alle gleich wahrscheinlich mit p ich = 1 / W , dann S = − k b ∑ ich = 1 W p ich l Ö g ( p ich ) = k B ∑ ich = 1 W l Ö g ( W ) / W = k B l Ö g ( W ) . Also sind für uns Physiker Boltzmann und Shannon Entropie hier dasselbe, weil wir das fundamentale Postulat von stat verwenden. mech. dass alle Mikrozustände gleich wahrscheinlich sind. Einverstanden?
@Nathaniel: "Es gibt kein Prinzip, das besagt, dass Sie in der Lage sein müssen, auf diese Weise zwischen ihnen zu wechseln." Lassen Sie mich Sie an das dritte Postulat der Thermodynamik erinnern: Die Entropie eines zusammengesetzten Systems addiert sich zu den konstituierenden Subsystemen. Die Entropie ist stetig und differenzierbar und ist eine monoton steigende Funktion der Energie , siehe zB cvika.grimoar.cz/callen/callen_01.pdf[Callen] Also in der Thermodynamik (noch kein stat. mech) T ist positiv. Die Frage ist dann: Welche Entropiedefinition stimmt mit TD überein?
In Bezug auf die Entropie von Shannon vs. Boltzmann haben Sie Recht, dass sie unter dieser Annahme gleich sind, aber für jedes gegebene System kann diese Annahme richtig sein oder nicht. Dies ist ein weiteres dieser Dinge, die für große Systeme (aufgrund der asymptotischen Gleichverteilungseigenschaft) tendenziell keine Rolle spielen, für kleine jedoch eher eine Rolle spielen. Selbst wenn es anfangs zufrieden ist, ist es unwahrscheinlich, dass es weiterhin zufrieden ist, wenn das System beginnt, Wärme mit einem anderen System auszutauschen.
Beachten Sie auch, dass das, was Sie "die Bolztmann-Entropie" nennen, das ist, was D & H "die Gibbs-Entropie" nennen, und was sie "die Boltzmann-Entropie" nennen, eine Art idealer Gasansatz ist.
Was Callens Postulate betrifft, so handelt es sich um eine phänomenologische Beschreibung der klassischen makroskopischen Thermodynamik - es ist nicht so überraschend, dass sie für mikroskopische Systeme zusammenbrechen würden. Interessant ist, dass Sie so ziemlich alle beibehalten können, bis auf die Aussage, dass die Entropie monoton ansteigt.
Es tut mir leid, aber nichts von dem, was Sie geschrieben haben, ist richtig. Du schreibst so viel falsches, dass ich gar nicht alles beantworten kann. Gibbs-Entropie: Let Ω ( E ) sei die Summe aller Mikrozustände bis zur Energie E Beginnend bei 0, dann ist die Gibbs-Entropie S G = k B l n Ω . Boltzmann-Entropie S B = k B l n ( Ω ' ( E ) ϵ ) wo ϵ ist eine kleine Energie, die benötigt wird, um das Argument des Protokolls dimensionslos zu machen.
Weiter: Thermodynamik wollen wir mit stat erklären. Mechanik. Dies sind nicht nur Callens-Postulate, sondern die Grundlage von TD. Wir wollen einen Stat-Mech, damit wir erklären können, warum Ihr Motor funktioniert.
Also aus rein TD-Gründen, wenn die Entropie nicht monoton mit zunimmt E , konnten wir nicht gehen d E = T d S − p d v − ∑ ich a ich d EIN ich zu d S = 1 T d E + p T d v + ∑ ich a ich T . Dies wird als Fundamentalbeziehung bezeichnet. Das erste erfordert E ( S , v , N ) der Zweite S ( E , v , N ) . Das ist also der rein thermodynamische Grund , warum die Entropie mit ansteigen muss E . In TD gibt es keine T < 0 . Aber das folgt auch aus der Anforderung dieser Statistik. mech. erfüllt die grundlegende Beziehung, und das haben Dunkel und Hilbert gezeigt.
Beweisen Sie, dass negative absolute Temperaturen tatsächlich heißer sind als positive absolute Temperaturen
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