Warum gleichen sich Temperaturen aus?

In einem System aus vielen Teilchen beobachten wir im Wesentlichen die wahrscheinlichste Konfiguration, und relative Schwankungen um sie herum sind vernachlässigbar. Hier werde ich beweisen, dass der wahrscheinlichste Zustand eines 2-Teilchen-Systems dieser mit gleichen Energien ist.

Die Wahrscheinlichkeit eines Zustands ist proportional zum Volumen des entsprechenden Teils des Phasenraums. Wenn ein Teilchen kinetische Energie zwischen hat$E$Und$E+\mathrm dE$, seine Geschwindigkeit liegt zwischen$v$Und$v+\mathrm dv$, mit$E=\frac 12mv^2$Und$\mathrm dE=mv\mathrm dv$, das ist$\mathrm dv=\mathrm dE/\sqrt{2mE}$. Das entsprechende Volumen im Phasenraum ist$4πv^2\mathrm dv∝\sqrt E\mathrm dE$.

Nun zu zwei Massenteilchen$m$Und$m'$, und der kinetischen Energien$E$Und$E'$. Bei normalen Temperaturen sind Stöße elastisch, daher bleibt die gesamte kinetische Energie erhalten:$E+E'=\text{const.}=K$. Wenn das erste Teilchen kinetische Energie zwischen hat$E$Und$E+\mathrm dE$, der zweite ist dazwischen$K-E$Und$K-E-\mathrm dE$. Das entsprechende Volumen im Phasenraum ist somit$∝\sqrt E\sqrt{K-E}\,(\mathrm dE)^2$. Die Funktion$\sqrt{E(K-E)}$liegt maximal bei$E=K/2$.

Ich denke, der Kommentar von Lucas ist die beste Antwort; Ich werde ein bisschen ausführlicher

Wenn ich diese beiden Behälter mische, haben schließlich sowohl der Sauerstoff als auch der Stickstoff die gleiche Temperatur. Warum das?

Unter Temperatur versteht man die mittlere Energie pro Teilchen. Wir beobachten experimentell, dass, wenn man zwei Teilchenhaufen mit unterschiedlichen mittleren Energien mischt, die Energien nach einiger Zeit den gleichen Mittelwert haben. Auch wenn die Teilchen völlig verschieden sind (siehe Haftungsausschluss unten), also ganz andere Massen haben als Sauerstoff und Wasserstoff.
Ich meine: Der Mittelwert der Teilchen einer Art wird gleich dem Mittelwert der anderen Art sein. Ich würde sagen, dass das alles andere als trivial ist (korrigieren Sie mich, wenn Sie etwas sehen), wenn Sie sie im mechanischen Modell als Kugeln betrachten, die ständig kollidieren.

Ich möchte betonen: Nur diese Tatsache erlaubt uns, die Temperatur als mittlere Energie zu definieren. Dies wäre keine sinnvolle Größe, wenn sich die Energien eines Gemisches nicht decken würden!

Natürlich ist es richtiger zu sagen, dass die Energie pro Freiheitsgrad im Gleichgewicht sein wird. Im Fall von$O_2$Und$N_2$dies entspricht einer gleichen Energie pro Teilchen.

Wenn Sie zwei Gase mischen, tauschen ihre Atome/Moleküle Energie, Impuls usw. aus. Es ist nicht verwunderlich, dass ein heißes Gas ein kaltes erwärmt. Es (Heizung) kann nur aufhören, wenn der gegenseitige Energieaustausch beider Gase gleich wird. Die Energieverteilungen von "Teilsystemen" sind also am Ende gleich, aber die Impulsverteilungen sind es immer noch nicht.

PS Die Subsystemenergien müssen nicht gleich sein. Im dynamischen Gleichgewicht sollten die Wärmeströme gleich sein.