Beziehung zwischen Koeffizienten einer Matrix und ihren Eigenwerten

Question

Beziehung zwischen Koeffizienten einer Matrix und ihren Eigenwerten

Matrizen
Mathematik
Eigenwerte-Eigenvektoren

Mia

Lassen $A \in \mathbb{R}^{nxn}$ sei eine Matrix und $\rho(A)$ sein größter Eigenwert (oder größtes Modul seiner Eigenwerte). Lassen $a_{ij}$ ein typischer Eintrag der Matrix sein $A$ Bei der $i$ -te Reihe und $j$ -te Spalte so dass $a_{ij} \in \{0,1\}$ Und $a_{ii} \equiv 0$ . Wenn die folgende Bedingung für eine Konstante erfüllt ist $\alpha > 0$

a ρ (A) < 1

$\alpha \rho(A) < 1$ können wir das ableiten

a A_{ich J} < 1

$\alpha a_{ij} < 1$ für alle

i

$i$ Und

j

$j$ In

{1, \dots n}

$\{1, \ldots n \}$ ?

Nennen Sie zum Beispiel die folgende Matrix A,

(\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

hat Eigenwerte $-0.6180$ Und $1.6180$ Und $-1.0000$ . Seit $\rho(A)= 1.618$ es scheint für diesen Spezialfall zuzutreffen. Kann jemand ein offensichtliches Gegenbeispiel sehen?

Wir wissen aus dem Kreissatz von Gershgorin, dass jeder Eigenwert der quadratischen Matrix $A$ liegt in mindestens einer von Gershgorins Scheibe $D(a_{ii} , R_i)$ , Wo $D(a_{ii} , R_i)$ ist eine geschlossene Scheibe mit Mittelpunkt $a_{ii}$ mit Radius $R_i = \sum_{ j \neq i } |a_{ij} |$ . Wir haben also eine Schätzung des Bereichs der Eigenwerte, aber sie beantwortet meine Frage nicht direkt.

Surb

Wie Sie in meiner Antwort sehen können, hängt dies von der Wahl ab

α

$\alpha$ .

Mia

Ja, das war mir klar, vielen Dank, Ihre Antwort ist sehr klar, @Surb

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Beziehung zwischen Koeffizienten einer Matrix und ihren Eigenwerten

Wie Sie in meiner Antwort sehen können, hängt dies von der Wahl ab $\alpha$ .
Ja, das war mir klar, vielen Dank, Ihre Antwort ist sehr klar, @Surb

Surb · Answer 1

Frage: Lass $A=(a_{i,j})\in\{0,1\}^{n\times n}$ , finden $I\subset [0,\infty)$ so dass
$a \in ICH ⟺ {\begin{cases} a ρ (A) < 1 \\ a A_{ich, J} < 1 & \forall ich, J = 1, \dots, N \end{cases}$ $\alpha \in I\qquad \iff \qquad \begin{cases}\alpha\ \rho(A)<1 \\ \alpha\ a_{i,j}<1 & \forall i,j=1,\ldots,n\end{cases}$

Antwort:
- Wenn $\rho(A)>0$ , Dann $I=\big[0,\min\{1,\rho(A)^{-1}\}\big).$
- Wenn $\rho(A)=0$ Und $A\neq 0$ , Dann $I= [0,1)$
- Wenn $A=0$ , Dann $I =[0,\infty)$ .

Beachten Sie, dass wenn $\rho(A)> 0$

a ρ (A) < 1 ⟺ a < ρ (A)^{- 1} Und a A_{ich, J} < 1 \forall ich, J ⟺ a < 1.

$\alpha \ \rho(A)< 1 \quad\iff\quad \alpha < \rho(A)^{-1} \qquad \text{and}\qquad \alpha \ a_{i,j}<1\quad \forall i,j\quad \iff\quad \alpha <1.$ Wo wir das verwendet haben

ρ (A) > 0

$\rho(A)>0$ impliziert

A \neq 0

$A\neq 0$ und so gibt es

i, j

$i,j$ so dass

a_{i, j} = 1

$a_{i,j}=1$ .
Wenn

ρ (A) = 0

$\rho(A)=0$ Und

A \neq 0

$A\neq 0$ , Dann

0 = a ρ (A) < 1 Und a A_{ich, J} < 1 \forall ich, J ⟺ a < 1

$0=\alpha \ \rho(A)< 1 \qquad \text{and}\qquad \alpha \ a_{i,j}<1\quad \forall i,j\quad \iff\quad \alpha <1$ Wenn

A = 0

$A=0$ dann ist das Ergebnis offensichtlich.

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Mia

Surb

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Surb

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