Stabilität der Nulllösung in einem autonomen System

Ich soll die Instabilität der Nulllösung des folgenden (autonomen) Systems untersuchen:

{ X ' = − X + j − X 2 j ' = 3 X − X 2 − 2 j
Mein bisheriger Vorsatz und meine Probleme. Offensichtlich arbeiten wir mit dem Formular mit einem autonomen System z ' = F ( z ) , Wo z ' = [ X ' j ' ] T Und F ( z ) = F ( X , j ) = ( − X + j − X 2 , 3 X − X 2 − 2 j ) . Offensichtlich, F ∈ C 1 In R 2 Und F ( 0 , 0 ) = ( 0 , 0 ) ( ( 0 , 0 ) ist ein Gleichgewichtspunkt). Lassen Sie uns den Jacobi von berechnen F .
J F ( X , j ) = ( − 1 − 2 X 1 3 − 2 X − 2 ) ⇒ J F ( 0 , 0 ) = ( − 1 1 3 − 2 )
Nun berechnen wir die Eigenwerte von J F ( 0 , 0 ) und wir erhalten folgendes Ergebnis:
λ 1 = − 3 + 13 2 ∨ λ 2 = − 3 − 13 2
Was uns zu dem Schluss kommen lässt J F ( 0 , 0 ) ist nicht Hurwitz (es hat einen positiven reellen Eigenwert).

Ich kann also mit dieser Methode nichts über die Stabilität der Nulllösung schließen. Ich würde jetzt versuchen, eine Lupyanov-Funktion zu finden und ihre direkte Methode zu verwenden, da dies die beiden Methoden sind, die mir beigebracht wurden. Ich habe mehrere Lupyanov-Funktionen ausprobiert und kann keine herausfinden, die für diesen Fall tatsächlich funktioniert. Das ist also meine Frage, wenn mir jemand helfen kann, eine Lupyanov-Funktion zu finden, wäre ich wirklich dankbar.

Brauchen Sie wirklich die Lyapunov-Funktion? Ein positiver reeller Eigenwert und ein negativer reeller Eigenwert implizieren, dass Null ein Sattelpunkt ist, der instabil ist: Sie können das lineare System einfach lösen und es sehen. Wenn Sie Lyapunov trotzdem verwenden möchten, ziehen Sie es in Betracht v ( X , j ) = X 2 + j 2 . Das wirst du sehen ∇ v J F ( 0 , 0 ) ( v ) > 0 für jeden Eigenvektor v entsprechend dem positiven Eigenwert.
Danke @Timur Bakiev! Ich habe meine weiteren theoretischen Zweifel zur Antwort von Lutz kommentiert, können Sie sie sich ansehen und antworten, wenn möglich?
ok, mache ich später
Danke schon einmal :D

Antworten (3)

Sie haben einen streng positiven und einen streng negativen Eigenwert. Das linearisierte System hat also einen Sattelpunkt. Dies gilt auch im lokalen Bild für die Störung des ursprünglichen nichtlinearen Systems.

Diese Art der Persistenz der Charakterisierung des stationären Punktes ist nur dann zweifelhaft und kann verletzt werden, wenn einer oder mehrere der Eigenwerte null sind oder null Realteil haben. Siehe „ Beispiel einer ODE mit einem asymptotisch stabilen Gleichgewicht, das in der entsprechenden Linearisierung instabil ist “ für ein Beispiel dafür, wie „instabil“ (im übertragenen Sinne) diese Situation ist.

Hallo @Lutz Lehmann! Danke für deine Antwort! Bedeutet dies, dass ich die bekannten Ergebnisse für das lineare System (mit konstanten Koeffizienten) in allen Szenarien auf das linearisierte System anwenden kann? Damit meine ich folgendes: Wenn das linearisierte System einen oder mehrere Eigenwerte mit rein positivem Realteil hat, ist die Nulllösung instável ;; Wenn wir NUR Eigenwerte mit streng negativem Realteil haben -> assimptotisch Stanley ;; Wenn wir NUR Eigenwerte mit Realteil negativ oder 0 haben (und wenn diese einfach sind) -> Nulllösung stabil? Noch einmal vielen Dank
instável bedeutet instabil und Stanley bedeutet stabil. Autokorrektur
Meistens ja, bis zuletzt. Wenn einige der Eigenwerte den Realteil Null haben, hängt das, was passiert, wirklich von den nichtlinearen Termen ab. Wie das Beispiel zeigt, können Sie immer noch ein polynomiales Wachstum erhalten. Siehe Satz von Grobman-Hartman.
Ich denke ich habe es. Also im Grunde: Wenn für einen Eigenwert λ wir haben R e ( λ ) > 0 dann können wir durch den Satz von Grobman-Hartman sofort schließen, dass die Nulllösung instabil ist. Andererseits, wenn für einen Eigenwert λ wir haben R e ( λ ) = 0 , müssen wir nach einer Lyapunov-Funktion suchen (da wir mit der Prä-Methode nichts schließen können). Ist das richtig? Vielen Dank für Ihre Zeit
Ja, wenn Sie eine Lyapunov-Funktion finden, dann ist die Situation wieder klar. Andernfalls benötigen Sie andere Methoden, was funktioniert, kann von der jeweiligen ODE abhängen. Manchmal gibt die Annäherung an die zentrale Mannigfaltigkeit ausreichende Informationen.
Danke @Lutz Lehmann! Wirklich gute Erklärung und Antwort!

Methode: Setze die Ableitungen gleich 0, zeichne die beiden Parabeln. Stecken Sie + oder - in jede Region getrennt ein, um zu sehen, ob Lösungen direkt neben (0,0) zum Ursprung tendieren oder weg, wenn Sie sich in der Nähe von (0,0) befinden. Wenn sie alle in Richtung tendieren, stabil, wenn alle weg instabil, ansonsten semistabil.

Nur eine Illustration (daher cw):

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Mit Mathematica-Code erstellt

With[{M=.01},StreamPlot[{-x+y-x^2,3x-x^2-2y},{x,-M,M},{y,-M,M}]]
Stabilität der Nulllösung in einem autonomen System
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