Bogomol'nyi-Prasad-Sommerfield (BPS) stellt fest: Mathematische Definition

Was ist die richtige mathematische Definition von BPS-Zuständen?

In der Stringtheorie entsprechen die BPS-Zustände entweder kohärenten Garben oder speziellen Lagrangians der Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit, abhängig von der Art der betrachteten Stringtheorie. Aber in SUSY-Quantenfeldtheorien in 4d gibt es meines Wissens keine CYs (was sehr wenig ist), und in Gravitationstheorien entsprechen diese einigen Schwarzen Löchern. Was ist also die allgemeine mathematische Definition von BPS-Zuständen, die unabhängig von der betrachteten Theorie ist, sagen wir eine allgemeine SUSY-Quantenfeldtheorie, sei es QFT, Stringtheorie, Gravitation und in jeder Dimension.

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In jeder supersymmetrischen Theorie ist ein BPS-Zustand ein Zustand, der einen Teil der Supersymmetrie bewahrt.

Wenn wir als Definition einer supersymmetrischen Theorie eine Theorie (klassisch oder Quantentheorie) nehmen, die eine Lie-Superalgebra von Symmetrien zulässt, dann ist ein BPS-Zustand (oder eine Konfiguration) einer solchen Theorie einer, der durch ein ungerades Element ungleich Null vernichtet wird Superalgebra.

Die ursprüngliche Bedeutung stammt natürlich aus der Untersuchung magnetischer Monopole. Lösungen der Bogomol'nyi-Gleichung sind genau diejenigen, die eine Grenze sättigen, die sogenannte Bogomol'nyi-Prasad-Sommerfield (BPS)-Grenze .

Die Beziehung zwischen den beiden Begriffen hängt mit der Tatsache zusammen, dass Monopolkonfigurationen als Konfigurationen in einem Vierdimensionalen gedacht werden können N = 2 supersymmetrische Eichtheorie, die die Hälfte der Supersymmetrie bewahrt.

Hier ist eine weitere Frage eines Mathematikers: Einige Physiker haben mir gesagt, dass man sich im Zusammenhang mit der 4d-Eichtheorie BPS-Zustände als Kohomologie des entsprechenden Modulraums von Instantonen vorstellen kann (aber einige andere Physiker bestreiten dies). In welcher Allgemeinheit kann man so etwas behaupten? Was passiert zum Beispiel, wenn man von der reinen Eichtheorie zu einer Eichtheorie mit Materie übergeht (der Instanton-Modulraum ändert sich nicht ...)? Was passiert, wenn wir uns die 5d-Theorie verdichtet anschauen S 1 ? Gibt es eine Möglichkeit, solche Fragen allgemein zu beantworten?
Alexander: Die Interpretation der BPS-Zustände hängt sehr stark von den Details der betrachteten supersymmetrischen Theorie ab. Solche pauschalen Verallgemeinerungen sind nicht möglich. Im Kontext der topologisch verdrehten Yang-Mills-Theorie werden die BPS-Zustände tatsächlich durch den BRST-Operator vernichtet, was als de Rham-Differential im Modulraum von Instantonen interpretiert werden kann. (Genauer gesagt ist es die äquivariante Version der BRST-Kohomologie, die so interpretiert werden kann, aber dies ist typisch im Kontext der Eichtheorie.)
Ist es wichtig, welche topologische Wendung Sie nehmen? Ich nehme an, Sie meinten den, der zur Donaldson-Theorie führt? Auch der Kontext, in dem ich diese Aussage traf, erwähnte keine topologische Verdrehung - zum Beispiel im letzten Abschnitt von Wittens Aufsatz "Geometrische Langlands aus 6 Dimensionen".
Alexander: Tatsächlich entsprechen verschiedene Wendungen verschiedenen Differentialen. Für 4-d N=2 supersymmetrische Yang-Mühlen sind jedoch alle topologischen Drehungen äquivalent. Die Geschichte ist jedoch anders in N = 4, was der Kontext von Wittens Artikel sein könnte.
In diesem Teil von Wittens Arbeit ist keine topologische Wendung vorhanden. Lassen Sie mich jedenfalls die Frage in umgekehrter Richtung formulieren: bei gegebenem bestimmten Modulraum (z. B. Modulraum von Instantonen on R 4 , oder ähnlicher Raum für R 3 × S 1 ), für welche Theorien können Sie ihre (äquivariante) Kohomologie mit dem Raum der BPS-Zustände dieser Theorie identifizieren? Kannst du das machen K -Theorie statt Kohomologie? Was tun, wenn der Modulraum singulär ist? Ich denke, dass ich das Allgemeine des Yoga über solche Dinge kenne, aber ich würde gerne wissen, wie genau es an konkreten Beispielen funktioniert.
Alexander: Ich schlage vor, Sie stellen diese Frage auf der Website. Ich bin mir nicht sicher, ob ich Ihnen bessere Antworten geben kann, als Sie vielleicht von anderen hier bekommen. (Ich habe mir diese Arbeit von Witten eine Weile nicht angesehen, aber ich wäre überrascht, wenn dies nicht im Zusammenhang mit einer topologisch verdrehten N = 4 Theorie. Die geometrische Langlands-Korrespondenz ist im Grunde eine elektromagnetische Dualität, die auf eines der möglichen angewendet wird N = 4 verdreht, wenn ich mich recht erinnere.)
Danke - ich werde versuchen, es später als separate Frage zu posten. Nur ein Kommentar: Geometrisches Langlands ist verwandt mit N = 4 4d-Theorie, aber der Teil von Wittens Artikel, nach dem ich gefragt habe, ist es nicht: Er spricht von einem höherdimensionalen Analogon von geometrischen Langlands, und da müssen Sie direkt mit der (2,0) -Theorie

Die BPS-Grenze wurde unabhängig von der Supersymmetrie entdeckt, aber dann besser als allgemeines Merkmal der Supersymmetrie-Algebra verstanden. Sehen Sie sich die Originalarbeit von Witten und Olive an . BPS-Zustände sind Zustände, die die BPS-Grenze sättigen und "kurze" Darstellungen einer erweiterten Supersymmetrie-Algebra bilden. Solche Darstellungen haben besondere Eigenschaften, die oft als Folge eines Bruchteils der Supersymmetrie angesehen werden können, die in ihrer Anwesenheit verbleibt. Die von Ihnen angeführten Beispiele sind Spezialfälle, in all diesen Fällen ergibt sich die besondere Eigenschaft der von Ihnen erwähnten Objekte aus der Anforderung, dass die beteiligten Zustände eine kurze Darstellung der Supersymmetrie-Algebra bilden.

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