"endliche" QFTs und Kurzstrecken-Singularitäten und verschwindende Betafunktionen

Ich bin mir nicht sicher, ob ich diese Frage kohärent genug formulieren kann - sie entspringt verschiedenen Dingen in QFT, über die ich in letzter Zeit nachgedacht und gelesen habe. Vielleicht sind diese Gedanken fehlgeleitet, aber es würde trotzdem helfen zu wissen, warum sie so sind, wenn sie es sind! Ich würde gerne einige Diskussionen darüber hören.

  • Ich denke, es gibt QFTs, die "exakt" oder "endlich" sind, da sie keinen Regler oder Grenzwert benötigen, um ihre Partitionsfunktion zu definieren (.. und ich denke, man kann die Partitionsfunktion genau auswerten ...) Ich denke, die wirklich nicht trivialen "endlichen" QFTs wären solche, die auch in nicht kompakten Raumzeiten so sind. Gibt es solche?

  • Ich denke, es gibt QFTs, die eine nicht störende 0-Beta-Funktion haben. (wie N = 4 SYM?)

Sind die beiden oben genannten Eigenschaften verwandt?

So wie "endlich" impliziert, dass es genau ist 0 Beta-Funktion oder umgekehrt? (..scheint nein..siehe unten..)

  • Ich denke, CFTs (..oder jede QFT, die an einer Null ihrer Beta-Funktion sitzt - "kritisch"?..) haben per Definition eine 0-Beta-Funktion, aber sie haben nicht-triviale OPEs, die von Kurzstrecken-Singularitäten kommen. Dies ist irgendwie nicht intuitiv, weil man naiverweise gedacht hätte, dass ein großer Impuls wie ein kurzer Abstand ist und daher, wenn die Theorie keinen Regler benötigt und daher keine große Impulsdivergenz hat, sie dementsprechend auch keine Singularität auf kurze Entfernung haben sollte. Aber das scheint falsch zu sein - daher wird man wohl zu der Annahme verleitet, dass eine Beta-Funktion von genau 0 nichts damit zu tun hat, dass die Theorie endlich ist.

Mir ist nicht klar, dass es eine direkte Beziehung zwischen dem Vorhandensein von Singularitäten auf kurze Distanz und der Tatsache gibt, ob Impulsraumintegrale divergieren oder nicht (..was möglicherweise implizieren sollte, dass die Partitionsfunktion ebenfalls divergiert..) (..Wie Yuji Tachikawa in den Kommentaren weist auf den einfachen Fall hin, dass sogar die Theorie freier Bosonen eine Kurzstrecken-Singularität aufweist, aber da es keine Schleifenprozesse darin gibt, macht es wohl keinen Sinn zu fragen, ob Impulsraumintegrale konvergieren, aber ich denke, ihre Partitionsfunktion ist nicht immer gut. definiert..)

Wie auf Seite 441 sagt Weinberg in seinem Band 1 seiner QFT-Bücher kursiv, dass „die Renormierung von Massen und Feldern nichts direkt mit dem Vorhandensein von Unendlichkeiten zu tun hat und sogar in einer Theorie notwendig wäre, in der alle Impulsraumintegrale wären konvergent"

Um meine Frage zusammenzufassen - sagt man, dass es in einer QFT konzeptionell unterschiedliche mehrere Quellen der Unendlichkeit gibt, wie z.

  1. Divergenz der Impulsraumintegrale
  2. Kurzdistanz-Singularität
  3. divergierende Partitionsfunktionen
  4. Kopplungskonstanten, die von der Beta-Funktion ins Unendliche gesendet werden

(.Ich dachte daran, auch das Phänomen des Landau-Pols in die obige Liste aufzunehmen, aber ich denke, das ist keine so grundlegende Eigenschaft und nur ein Hinweis auf das Versagen der Störungstechnik ... dachte, ich könnte mich irren ...)

Gibt es also eine Möglichkeit, sich diese "verschiedenen" Unendlichkeiten als Ursache und Wirkung voneinander vorzustellen?

Oder ist es möglich, dass eine beliebige Kombination davon in einigen QFT auftaucht?

Und/wie hängen diese mit der Eigenschaft der Beta-Funktion zusammen, ob sie störungsfrei 0 ist oder nicht? (..mit Ausnahme des "per Definition"-Falls, dass für nicht-perturbative 0-Beta-Funktion (4) nicht passieren kann..)

Bitte formulieren Sie Ihre Frage neu. Sogar eine Theorie der freien Bosonen ϕ hat eine Kurzdistanz-Singularität in seiner Zweipunktfunktion ⟨ ϕ ( x ) ϕ ( j ) ⟩ .
@Yuji: Ist diese Schlepppunktfunktion in Berechnungen einer freien Bosonenfeldentwicklung involviert?
@Yuji Danke für den Kommentar - ich habe einige der Sätze umformuliert. Ja - die freie Bosonentheorie ist ein Beispiel für eine QFT, bei der die Zweipunktfunktion divergiert und diese Theorie keinen Regler benötigt, aber ich denke, sie ist nicht "endlich", da ihre Partitionsfunktion höchstwahrscheinlich nicht konvergent ist - hat diese funktionale Determinante immer eine endliche Bedeutung? Das ist der Punkt meiner Verwirrung - was oder gibt es eine Beziehung zwischen diesen Eigenschaften, (keine) Kurzstrecken-Singularität zu haben, (keine) eine nicht-triviale Beta-Funktion zu haben und (keine) endliche Partitionsfunktion zu haben. Würde mich freuen, wenn du es erklärst
Stimme Yuji zu, Frage zu vage. Offensichtlich impliziert Endlichkeit keine konforme Invarianz. Nehmen Sie zum Beispiel ein riesiges freies Feld. Alle Korrelationsfunktionen an getrennten Punkten sind endlich, aber die Theorie ist nicht konform. Alternativ nehme man N=4 um einen Massenterm verformt. Das UV kennt die Masse nicht und somit sind alle Korrelationsfunktionen aller Grundfelder endlich. Die Theorie ist eindeutig nicht konform. Auch eine konforme Theorie muss nicht endlich sein. Man braucht nur zu fordern, dass die Divergenzen so konspirieren, dass sie durch eine Feldneudefinition beseitigt werden können.
@Zohar Komargodski Danke für deine Antwort. Ich weiß nicht, wie ich die Frage präzisieren soll, aber ich denke, Experten wie Sie würden wissen, welches Konzept erklärt, worüber ich unscharf bin. Ich weiß auch nicht, was die richtige Terminologie ist - MIT "endlich" meinte ich nicht, dass Korrelationsfunktionen bei endlicher Trennung ungleich Null endlich sind - ich habe diesen Begriff verwendet, um zu bedeuten, dass die Partitionsfunktion wohldefiniert ist - das heißt Es braucht keinen Regler etc.
@Zohar Vielleicht können Sie den Zusammenhang zwischen der Konformität (nicht störende 0-Beta-Funktion) und den 4 "verschiedenen" Arten von Singularitäten, die ich aufgelistet habe, näher erläutern.
@Anirbit, selbst in der Freifeldtheorie gibt es ein Schleifenintegral, das divergiert: dh ein Einschleifendiagramm ohne Scheitelpunkt. Dies entspricht der Nullpunktsenergie freier Oszillatoren, wodurch die Zustandssumme im UV divergiert. Ihre Punkte 1,2,3 gelten also bereits für die Theorie eines freien Bosons und sind immer da.
fünf Cent mehr: In QM, das Sie wahrscheinlich gut kennen, ist die Partitionsfunktion divergierend. Es sollte also nicht allzu alarmierend sein, dass die Partitionsfunktion in QFT divergent ist. Es gibt auch a priori keine Verbindung zwischen 1 und 4. Es gibt viele Theorien mit Divergenzen (dh QCD), die niemals unendliche Kopplung oder irgendeine andere Singularität treffen.
Ich denke, die wichtigste Beobachtung, nach der Sie suchen, ist, dass eine CFT keine Renormalisierung erfordert. Dies liegt daran, dass eine Möglichkeit, über Renormierung nachzudenken, darin besteht, die Konstanten der Theorie von der UV-Grenze abhängig zu machen, aber für eine CFT kann es aufgrund der Skalierungssymmetrie keine solche Abhängigkeit geben.
@Zohar Dass die Partitionsfunktion divergent ist, ist nicht überraschend, aber was ich verstehen möchte, ist, ob das irgendwie mit den anderen Formen der Divergenz wie der der Feynman-Graphen, Kurzstrecken-Singularitäten zusammenhängt?
@Yuji Ja ... die Freifeldtheorie hat all diese Arten von Singularitäten. Der Punkt ist, was die möglichen Teilmengen dieser "schlechten" Dinge sind, die eine QFT haben kann? (.. wie Weinberg in dieser Aussage darauf hinweist, dass eine Renormierung auch dann erfolgen kann, wenn alle Graphen konvergieren..) Oder, was noch wichtiger ist, verhindert das nicht-perturbative Verschwinden der Beta-Funktion irgendwie irgendeine dieser 4 Singularitäten? Ist Kurzdistanz-Singularität ein wesentliches Merkmal jeder QFT? Gibt es endliche QFTs auf nicht kompakten Raumzeiten?
Anirbit: Der Zweck meines QM-Beispiels war es zu zeigen, dass es keinen Zusammenhang zwischen Divergenzen der Partitionsfunktion und Divergenzen von Korrelationsfunktionen an getrennten Punkten gibt. Tatsächlich fehlen letztere im QM.
@Zohar Ich denke, Sie beziehen sich auf QM-Beispiele mit einem unendlichen Spektrum, bei denen die Konvergenz in Frage gestellt wird - aber für endliche Zustandssysteme ist die Partitionsfunktion nur eine endliche Zahl - gibt es Analoga dazu in QFT? Dies hängt mit meiner anfänglichen Frage zusammen - gibt es nicht-triviale (oder nicht!) QFTs für nicht-kompakte Raumzeiten, die eine endliche Partitionsfunktion haben? Ist die Zustandssumme in kompakten Raumzeiten immer endlich? Sagt das Verschwinden oder Nichtverschwinden der Beta-Funktion etwas über die Endlichkeit der QFT aus?
Die Partitionsfunktion wäre im nicht kompakten Raum immer volumendivergent. Im kompakten Raum könnte es immer noch UV-divergent sein, aber manchmal könnte sich die UV-Divergenz aufheben (z. B. wenn SUSY vorhanden ist). Wie ich versucht habe anzudeuten, hat dies nichts mit der Beta-Funktion zu tun.
@Zohar Das ist eine ziemlich aufregende Aussage, die Sie machen, dass die Beta-Funktion, die nicht störend 0 ist, keinen Einfluss auf mögliche Divergenzen der Partitionsfunktion oder der Korrelationsfunktionen hat. Können Sie bitte Beispiele oder Referenzen für SUSY-QFTs geben, bei denen sich die UV-Divergenz der Partitionsfunktionen aufhebt? Und wollen Sie sagen, dass nichts die Divergenz in nicht kompakten Raumzeiten retten kann? Was wissen wir über die Partitionsfunktion oder 2-Punkt-Korrelationen von N=4 SYM, die eine nicht-störende 0-Beta-Funktion hat?

Antworten (1)

Dies ist eine ziemlich subtile Frage, da sich auch auf klassischer Ebene herausstellen könnte, dass die Parameter der Theorie auf endliche Weise neu definiert werden. Aber, wie Sie vielleicht wissen, kennen wir uns mit freien Theorien sehr gut aus und diese treten meistens als Fixpunkte für bekannte Theorien auf. Wenn Sie ein Beispiel wollen, können Sie einen Blick auf die Skalarfeldtheorie werfen. Sie können eine Standardaktion wie betrachten

S = ∫ d 4 x [ 1 2 ( ∂ ϕ ) 2 − λ 4 ϕ 4 ]

Diese Theorie ist trivial, und das bedeutet, dass sie sowohl bei Ultraviolett als auch bei Infrarot einen trivialen Fixpunkt erreicht, der es nutzlos macht, Physik zu beschreiben, es sei denn, es wird irgendwo explizit eine Grenze eingeführt. Aber im Infrarotbereich bekommst du eine Beta-Funktion wie in Gang gesetzt

β ( λ ) = 4 λ + c 1 λ + Ö ( 1 / λ )

und so, wenn Sie eine Startkupplung haben λ = λ 0 Sie erhalten eine laufende Kupplung, die auf Null geht p 4 Absenken von Impulsen. Die Theorie wird frei, aber diese freien Erregungen sind alle massiv mit einer Masse proportional zu λ 0 1 4 wie auch aus Gitterberechnungen ersichtlich ist. Sie können daraus ersehen, dass sich, obwohl wir es mit einem trivialen Fixpunkt zu tun haben, alle Parameter der Theorie als richtig neu definiert und auf endliche Weise herausstellen!

Die Bedeutung davon ist, dass die Renormierung nur eine physikalische Eigenschaft einer Quantentheorie ausdrückt: Die einfache Tatsache, dass die Wechselwirkung alle Parameter einer gegebenen Theorie ändert, wenn die Kopplungen eingeschaltet werden. Aber eine Spur davon findet sich in den Fixpunkten der Theorie selbst.

Wenn Sie sich nun die klassische Theorie ansehen, können Sie sie genau lösen, aber die Lösungen haben keine endliche Energie, es sei denn, Sie arbeiten mit einem endlichen Volumen oder definieren die Kopplung neu λ , genau wie es mit der Quantentheorie geschieht. Auch in diesem Fall erhalten Sie eine Masse, selbst wenn Sie von einer masselosen Theorie ausgegangen sind, und Ihre Kopplung wird laufen.

Wieder sehen wir, dass der Effekt der Wechselwirkung die Tatsache ist, dass die Kopplung λ nicht Null ist, genau alle Parameter einer Theorie zu modifizieren.

Wie Sie sehen, gilt dies unabhängig davon, ob Sie mit Unendlichkeiten fertig werden oder nicht.

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